Blog divulgativo sulla matematica applicata

Messi, il mondo dei più, come si fanno gli alberi e la funzione esponenziale

San Sebastian, 18 Febbraio 2015

Insomma vado due minuti a trovare mia cugina e ci trovo Andrea che mi chiede subito per che squadra tifo in Spagna.

Gli dico nessuna e lui subito mi parla male della Real di San Sebastian, così gli rispondo per dovere di campanile che guarda che si è vinto lo scudetto spagnolo alla fine degli anni settanta, lui mi fa cosa ne penso di Messi --- alla radio hanno detto: il più grande giocatore della storia --- e non so bene più perché ci mettiamo a discutere sulla sua probabile data di nascita. Con Salvatore ci inventiamo sbagliando che sarà anche lui più o meno della fine degli anni settanta, e subito Andrea che ci fa cartellino giallo e ci corregge che no, che è vero che i suoi anni se li porta male, che peró Messi è più giovane di quello che sembra, ha circa vent'anni e già guardate dove sta.

Ecco, ora siamo in inferiorità calcistica e umana rispetto a Messi e ad Andrea — sta crescendo sempre più svelto, che mi ricordi è la prima volta che ci becca in questo modo in una discussione, ma guarda queste giovani generazioni che sveglie — non resta che mescolare disonestamente le carte in tavola e così gli rispondo in maniera confusa che l'apparizione di Messi è cosa ben normale, vista la massa di giocatori in circolazione, e il fatto ovvio che nella massa di giocatorini abbiamo mezzi migliori che in passato per trovare quelli buoni davvero. Dice in che senso, così rispondo strattonando l'amo che aspettava nell'esca: è che al momento ci sono più giocatori vivi di tutti quelli che hanno giocato nella storia dell'umanità messi insieme.

La conversazione si interrompe — mi guardano strano. Forse ce l'ho fatta, posso fare il sapientino — e magari rimontare la figuraccia di prima --- o nobile scopo.

Tutti suggeriscono con sospetto che la storia dell'efficienza nel trovare i Messi magari sí, ma che i giocatori vivi siano più di quelli morti proprio no, e infatti si dice che il tale 'se ne è andato al mondo dei più per dire che è crepato.

Rispondo che il mondo dei più siamo noi, che naturalmente dipende da come si fanno gli alberi.

Come si fanno gli alberi
------------------------messi1

Ecco: quelli qua sopra sono un albero, un albero e un albero. Sotto ci si mette un tronco, sopra i rami che diventano sempre di più.
Sono fatti come ventagli aperti, come triangoli rovesciati in bilico sulla punta con cui toccano terra. In un sacco di punti c'è un ramo più grosso in basso che si divide in rametti piccoli. Diciamo che questi punti li chiamiamo 'nodi'. Poi, per semplicità, facciamo che il numero di rametti in cui il ramo un po' piú grosso 'di sotto' si apre è sempre uguale a seconda dell'albero: due per il primo, tre per quello di mezzo, e due per quello sulla destra. Vedete che l'angolo fra i rami non conta troppo: il primo e l'ultimo sono quasi uguali.

Si potrebbe fare: un generatore automatico di alberi...

messi2I tre qua sopra invece non sembrano proprio alberi: i rami che fanno lo stecco non si dividono abbastanza salendo verso l'alto, la radice è chiaramente un albero al contrario, e il pioppo (una conifera qualsiasi?) facciamo che in questo gioco non vale: che bello che è fare le regole mentre si sta già giocando...

Se siamo d'accordo che gli alberi si dividono sempre di più verso l'alto, e per semplicità facciamo che il numero delle divisioni è costante mentre si sale, ci vengono fuori alberi come quelli qua sotto.

messi3Quello di sinistra si divide sempre due volte, quello di destra sempre tre.

Dividiamoli in tre livelli. Il numero di rami cresce andando verso su.
Se chiamiamo il primo Livello 0, il secondo Livello 1 e il terzo come vi immaginate voi, e ci mettiamo a contare quanti rami ci sono per ogni livello, vediamo che per ogni livello ci sono due (a sinistra) o tre (a destra) rami elevato alla potenza del numero del livello: se chiamiamo questo numero con la lettera L, 2^L e 3^L rispettivamente, e in generale N^L dove con N misuriamo il numero (medio?) di ogni ramo quando si divide in rametti.

Facciamo così: visto che il numero di livello fa da esponente del numero N, diciamola così: il numero di rami cresce "esponenzialmente".

Quante foglie ci sono su un albero alto tre metri
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messi4Altre caratteristiche tipiche degli alberi si vedono nel disegno qua sopra.

Il numero di nodi per livello L abbiamo già deciso che è N^L.

Se chiamiamo h il numero massimo di livelli --- una specie di altezza dell'albero --- allora il numero n totale di nodi dell'albero cresce come N^h, come nella figura della prossima pagina.

Se poi chiamiamo n questo numero totale di nodi dell'albero, allora il numero di foglie è (n+1)/2, mentre il numero di nodi interni --- quelli colorati in marrone nella figura sopra, non in verde come le foglie --- è (n-1)/2.

Ripeto: il numero delle foglie è sempre più grande di tutti i nodi interni.

Le foglie come giocatorini di calcio
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Se da un albero passiamo a un albero genealogico, allora andare dal basso verso l'alto significa andare dal passato al presente, che corrisponde al livello foglie.

Le foglie in un albero genealogico sarebbero le persone vive, l'ultima generazione insomma.

Una di loro è Messi-il-pallone-d'oro-in-persona.

I suoi antenati fino ad Adamo, come abbiamo detto, sono di meno dei suoi fratelli e e cugini e contemporanei, foglie insieme a lui.

Il numero medio di figli per coppia sarà molto cambiato lungo i secoli, però la forma dell'albero non cambia troppo: il numero vero di rametti in cui si divide un ramo grosso come abbiamo visto funziona più o meno come un fattore di scala.messi5

Chiamiamo con la lettera e il numero di figli per coppia. In generale, se ogni coppia fa circa e figli, alloramessi6

o almeno così dice l'algebra, o no?

Una bella conseguenza finale: come batteri in un barattolo di vetro
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Finale: abbiamo un barattolo di vetro con tanto zucchero dentro. Appoggiamo sul fondo un batterio. Guarda che svelto che è: dopo un secondo si divide in due. E non si ferma lì: ogni secondo uno dei batteri si divide di nuovo sempre in due.messi7

Guardiamo l'orologio. All'ora zero abbiamo messo un batterio nel barattolo vuoto.

A una certa ora --- facciamo mezzanotte, l'ora vera dipende da quanto è grande il barattolo --- i batteri hanno riempito del tutto il barattolo, e rimangono lì tutti schiacciati.

Domanda: a che ora i batteri avevano riempito esattamente metà del barattolo?

Risposta: a mezzanotte meno un secondo, poi ognuno di loro si è diviso in due e hanno occupato l'altra metà.

Lo hanno fatto con una crescita esponenziale come quella dell'albero di Messi.

È quella che una volta si chiamava "la bomba demografica": man mano che riempiamo il barattolo del nostro pianeta avremo sempre più Messi --- e sempre più Picasso e così via, se riusciamo a evitare di essere tutti uguali.

Sarà una specie di Rinascimento definitivo.
Un secondo dopo, resteremo tutti schiacciati.

messi8

Referenze bibliografiche di zeri e uni
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* Per 'il mondo dei più': http://dizionari.corriere.it/dizionario-modi-di-dire/M/mondo.shtml#13 e poi un post de Il Post sul tema, che però non riesco più a ritrovare.

* Il libro degli alberi, http://www.bookoftrees.info/

* Per le proprietà della funzione esponenziale, un video importante di YouTube: Albert Bartlett, https://www.youtube.com/watch?v=F-QA2rkpBSY

 

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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2 commenti

  1. Anonymous's Gravatar Anonymous
    marzo 3, 2015    

    Buonasera
    Ho letto il suo articolo, devo dire che non capito quasi nulla ...
    Io ho ragionato così:
    Supponiamo di avere una coppia (2 individui). Ogni coppia si riproduce e lascia un numero di figli pari a 2*e (con e>=1 se si vuole continuità della specie). Dopodichè per semplicità i genitori muoiono immediatamente, i 2*e figli si accoppiano ("e" coppie) e producono altri 2*e figli, all'infinito.
    Sia ad esempio e=1.1
    Data la prima coppia si hanno 1.1 coppie che producono ciascuna 1.1 nuove coppie.
    Quindi alla terza generazione: progenitori: 1 + 1.1 coppie (2.1 coppie = 4.2 individui). Morti.
    Ultima generazione: 1.1*1.1 = 1.21 coppie = 2.42 individui. Vivi.

    Continuando il ragionamento, dopo 230 generazioni, si avranno:
    e^230 = 1.1^230 = 3.3 miliardi di coppie (6.6 miliardi di individui vivi)
    i progenitori saranno: SIGMA[i=0, i<=(n-1)] e^i = (1-e^n)/(1-e)
    nel caso di n=230 si ottengono 33 miliardi di coppie di antenati (66 miliardi di progenitori morti)
    O sbaglio ?

  2. ruphus's Gravatar ruphus
    maggio 15, 2015    

    mah, secondo stime che si trovano in rete, il numero di umani attualmente viventi rappresenta circa il 7% degli umani mai esistiti...

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