Blog divulgativo sulla matematica applicata

Una (Breve) introduzione ai campi finiti

L’Algebra è la disciplina matematica che si occupa dello studio di strutture astratte (ebbene si, ancora più astratte della già astratta matematica!). Incredibilmente, queste strutture hanno molti collegamenti con le applicazioni ed in generale con il mondo che ci circonda (nei prossimi post inizieremo a vederne alcune). Infatti, molte di queste strutture astratte sono state definite e studiare perché direttamente collegate a problemi concreti provenienti dai più svariati ambiti, mentre altre volte si è iniziato lo studio in maniera del tutto teorica di determinate strutture, per poi rendersi conto dopo anni (o qualche volta anche decenni) che in realtà queste strutture hanno un diretto utilizzo in una dei mille collegamenti che la matematica ha con il mondo “concreto”.

Campi. Scopo di questo breve articolo è la generalizzazione di un concetto che dovrebbe essere familiare a tutti coloro che hanno studiato matematica alle superiori, o perfino alle scuole medie (quindi, credo a tutti!). Ci occuperemo di una particolare struttura algebrica che prende il nome di “campo”. Come accennavo poco fa, questa struttura dovrebbe essere molto familiare alla maggior parte delle persone, in quanto l’insieme dei numeri reali, spesso indicato con  \mathbb{R}, ne è un esempio. Per poter definire però in maniera formale un campo, bisogna iniziare dal definire cosa sia una “operazione”.

Operazione Binaria. Sia dato un insieme  A, assumiamo per semplicità che sia non vuoto, una “operazione binaria” su  A è semplicemente una funzione  \oplus : A \times A \to A. Il termine “funzione” indica semplicemente che ad ogni coppia di valori  (a,b) di elementi di  A viene associato un unico elemento di  A, ovvero il risultato dell’operazione  \oplus . Spesso si scrive  a \oplus b invece di  \oplus(a,b) per indicare il risultato dell’operazione  \oplus sugli elementi  a,b \in A. Una operazione può soddisfare le seguenti proprietà:

  1. associatività :  a\oplus(b \oplus c)= (a\oplus b) \oplus c, per ogni  a, b, c \in A;
  2. commutatività :  a\oplus b= b \oplus a, per ogni  a, b\in A;
  3. esistenza dell’elemento neutro :  \exists {\bf 0} \in A tale che  {\bf 0} \oplus a= a \oplus {\bf 0}=a;
  4. esistenza dell’elemento inverso : per ogni  a \in A esiste  -a \in A tale che  -a \oplus a= a \oplus -a={\bf 0}.

Un insieme  A nel quale sia definita una operazione  \oplus: A \times A \to A che goda delle proprietà 1) - 4) prende il nome di  “gruppo commutativo” o “gruppo abeliano” (in onore del grande matematico norvegese Niels Henrik Abel).

Francobollo in onore di Abel

Francobollo in onore di Abel

Come notazione, diremo che  (A,\oplus, {\bf 0}) è un gruppo abeliano o commutativo. Ora siamo in grado di definire formalmente un campo.

Definizione Campo. Un campo è una quintupla  (\mathbb K, \oplus, \odot, {\bf 0}, {\bf 1}), dove

  1.  \mathbb K è un insieme non vuoto che contiene almeno due elementi distinti {\bf 0}, {\bf 1};
  2.  \oplus : \mathbb K \times \mathbb K \to \mathbb K è una operazione binaria tale che  (\mathbb K,\oplus, {\bf 0}) è un gruppo abeliano;
  3.  \odot : \mathbb K \times \mathbb K \to \mathbb K è una operazione binaria tale che  (\mathbb K \setminus \{{\bf 0}\},\odot, {\bf 1}) è un gruppo abeliano.

Primi Esempi. Con questa definizione si può facilmente provare che  {\bf 0} \odot a ={\bf 0} per ogni  a \in \mathbb K. Si lascia al lettore la verifica che con questa definizione, il campo  (\mathbb R,+,\cdot, 0,1), dove  + e  \cdot sono le usuali operazioni di somma e prodotto tra numeri reali, è in realtà il campo che tutti noi conosciamo fin dalle scuole medie.

Un altro esempio di campo è l’insieme dei numeri razionali  \mathbb Q dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto. Entrambi questi campi sono “infiniti”, ovvero hanno un numero infinito di elementi.

Con la definizione data precedentemente è possibile costruire esempi di campi con un numero finito di elementi.

Primi Esempi di Campi Finiti. Si scelga un numero primo  p, ovvero un numero maggiore di   1 e che è divisibile solo per  1 e per se stesso. Si consideri il seguente insieme  \mathbb{F}_p := \{0,1,\ldots, p-1\}, costituito da elementi che, con un piccolo abuso di notazione, identifichiamo con i numeri interi da  0 a  p-1. Definiamo una operazione  \oplus : \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p \to \mathbb{F}_p nel seguente modo. Presi due elementi  a e  b di  \mathbb{F}_p, la loro somma  a\oplus b non è altro che il resto della divisione di  a+b per  p, dove  a+b è l’usuale somma dei numeri  a e  b.  Ad esempio, supponiamo che p sia  7. Allora  5\oplus 4=2, in quanto  5+4=9 e il resto della divisione  9:7 è  2.

Definiamo un’altra operazione  \odot : \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p \to \mathbb{F}_p nel seguente modo. Presi due elementi  a e  b di  \mathbb{F}_p, il loro prodotto  a\odot b non è altro che il resto della divisione di  a\cdot b per  p, dove  a\cdot b è l’usuale prodotto dei numeri  a b. Sempre prendendo  p=7, allora si ha  5\odot 4=6, in quanto  5\cdot4=20 e il resto della divisione  20:7 è  6.

Si può dimostrare che per ogni numero primo  p che si sceglie,   (\mathbb F_p,\oplus,\odot, {\bf 0},{\bf 1}) è un campo, che prende il nome di campo di Galois di ordine  p, in onore del grande matematico francese Evariste Galois.

Ritratto di Evariste Galois

 

Questo è il primo esempio di campo avente un numero finito di elementi.

Solo Due Elementi! Si noti come è possibile creare un campo finito con soli due elementi, in quanto  2 è il più piccolo numero primo. In questo caso  (\mathbb F_2,\oplus,\odot, {\bf 0},{\bf 1}) ha una descrizione semplicissima, in quando gli unici due elementi del campo sono  0,1 e

0\oplus 0=0,

 0\oplus 1=1,

1\oplus 0=1,

 1\oplus 1=0,

0\odot 0=0,

 0\odot 1=0,

1\odot 0=0,

 1\odot 1=1.

Questo campo è, per la sua semplicità e maneggevolezza, alla base del funzionamento degli odierni compilatori.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Similar posts

1 commento

  1. Stefano Longagnani's Gravatar Stefano Longagnani
    settembre 3, 2015    

    E il classico esempio degli orologi?! :-)

Lascia una risposta

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

È possibile utilizzare questi tag ed attributi XHTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Iscriviti alla nostra newsletter

Resta aggiornato sui nostri post e su quello che facciamo.

Canale Telegram dedicato alla Matematica

Iscriviti sul nostro canale Telegram

MIA15 - Nomination

Rimani aggiornato sui più interessanti articoli di divulgazione matematica e non solo!

Seguici su Twitter

Tag Cloud

Partecipa all’indagine “Io e la Matematica”

Clicca sull'immagine sottostante per rispondere al breve e anonimo questionario:

MIA15 - Nomination

Conviditi con i tuoi contatti questo link!

Grazie per il sostegno ai #MIA2015

Grazie a tutti per averci votato ai "Macchia Nera Awards 2015" nella categoria "Miglior Sito Tecnico-Divulgativo".

Siamo arrivati in finale grazie al vostro sostegno!

MIA15 - Nomination