Blog divulgativo sulla matematica applicata

La matematica della simmetria: fluidi ed equazioni

Introduzione 

Da giovane universitario sognavo che un giorno avrei fatto la tesi su argomenti astrattissimi come spazi di Hilbert e di Banach, o teoremi di immersioni compatte in chissà quali spazi funzionali! Durante la mia tesi di laurea scelsi invece di approfondire le equazioni differenziali, ovvero delle equazioni con cui si cerca di descrivere il comportamento di certi fenomeni naturali.

La cosa impensabile fino a qualche mese prima è stato che quell'argomento mi ha appassionato così tanto da continuare a studiarlo anche durante il mio dottorato.

Lo studio delle equazioni alle derivate parziali (PDE, partial differential equations) è, infatti, un tema di ricerca largamente trattato in ambito accademico. In particolare, lo studio delle soluzioni e delle corrispondenti proprietà di queste equazioni riveste un ruolo fondamentale in tutte le discipline applicate: infatti numerosi modelli sono regolati da tali equazioni.

Per chi non dovesse conoscere il concetto di equazione differenziale, possiamo dire (semplificando un po') che mentre un'equazione (algebrica), come per esempio $latex mx+q=0,$ si risolve ricavando (se esiste) un valore numerico che verifichi questa identità, le equazioni chiamate differenziali hanno invece come soluzione una funzione al posto del numero. Per trovare questa funzione si parte dal fatto che in queste equazioni, vengono date informazioni su come le derivate della funzione soluzione variano nello spazio e/o nel tempo.

I miei primi interventi su questo blog si concentreranno, quindi, sul parlare delle equazioni differenziali.

In questo post faremo vedere come alcuni risultati matematici sullo studio delle PDE abbiano effetti e interpretazioni fisiche conseguenti, in particolare nello studio del comportamento di alcuni fluidi.

Quest post è da considerarsi come un primo step verso il problema ampio e complesso della modellizzazione di fenonemi fisici attraverso PDE. Il modello matematico che governa certe situazioni è il punto di partenza delle scienze applicate; è impossibile trattare tutti gli aspetti analitici e tecnici: l'obiettivo è proprio quello di mostrare appunto l'assetto matematico che si cela dietro alla realtà.

Nei post che seguiranno tratteremo pure il caso dei cosiddetti fluidi elettroreologici (ER), ossia fluidi che modificano la loro viscosità sotto l'azione di un campo elettrico.

ER1

Lo studio di questo tipo di fluidi ha recentemente conosciuto una grande diffusione poiché nella tecnologia attuale il loro utilizzo potrebbe consentire di controllare in modo più rapido, preciso ed efficiente valvole, frizioni idrauliche, e ammortizzatori. Numerose applicazioni si troverebbero nel controllo remoto di bracci robotici (si pensi all'impatto nella tecnologia aereospaziale).

astronauta

Le versioni magnetiche di questi fluidi (MR) vengono già utilizzate in vari tipi di macchine e nelle sospensioni di automobili, ma hanno bisogno di grandi magneti per essere attivate. Le versioni elettriche, invece, erano finora troppo morbide per essere sfruttate in modo appropriato: tipicamente, quando sono solide, raggiungono a malapena la consistenza di un budino. Attualmente numerosi risultati sono stati ottenuti (da un gruppo di ricercatori dell'Università della Scienza e della Tecnologia di Hong Kong, http://www.ust.hk/) nella progettazione della composizione di fluidi ER che raggiungano una consistenza quasi solida (confrontabile a quella della gomma dura).

In definitiva questi materiali hanno potenzialmente la capacità di cambiare radicalmente la progettazione elettromeccanica futura delle macchine per cui è previsto il loro utilizzo.

Modelli Matematici e risultati di Simmetria

Prima di addentrarci nell'argomento vorrei in questo primo post focalizzare l'attenzione sulla modellizzazione del comportamento di fluidi sotto l'azione della gravità e delle forze di tensione superficiale, così da generalizzare (in post che seguiranno) poi tali risultati anche al contesto anisotropico degli ER.

Consideriamo un fluido viscoso incompressibile in risalita lungo un tubo capillare di sezione data. Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano nello spazio euclideo tridimensionale con l’asse z diretto come il tubo (si veda la Figura sottostante).

fluido

La velocità di flusso u lungo il tubo di sezione Ω è solo funzione di x e y, ed inoltre soddisfa la seguente equazione di Poisson:

 \Delta u -\kappa=0\quad \mbox{in }\Omega\subset R^{2},

ove κ è una costante che dipende dalla viscosità, dalla densità e dalla pressione differenziale del fluido lungo il tubo per unità di lunghezza.

Ricordiamo che se u=u(x , y) allora il laplaciano di u è dato da: \Delta u= \dfrac{\partial ^{2}u}{\partial^{2}x}+\dfrac{\partial^{2}u}{\partial^{2}y}.

All’equazione di Poisson sopra scritta va aggiunta la condizione di aderenza u = 0 su ∂Ω (bordo di Ω). Inoltre la tensione tangenziale per unità di superficie lungo la parete del tubo è data da μ∂nu, ove μ è la viscosità e ∂nu la derivata normale. Dunque la nostra situazione fisica è modellizzata da un complesso problema sovradeterminato del tipo:

 \Delta u -\kappa=0\quad \mbox{in }\Omega\subset R^{2},\qquad u=0, \partial_{\nu}u=cost. \quad\mbox{su }\partial\Omega.

Purtroppo per questo tipo di problemi (come per la maggior parte di PDE) non è possibile scrivere esplicitamente la soluzione. Conosciamo l'equazione che lega le derivate di una funzione, ma non conosciamo la legge della funzione soluzione. Una tecnica che in analisi matematica è spesso sorprendente è la tecnica nota come 'moving planes'. Sviluppata da Alexandroff-Serrin questa tecnica permette di provare la simmetria della soluzione del nostro problema, attraverso delle riflessioni. L'idea principale è che la simmetria radiale del dominio dell'equazione (la palla) induca tali soluzioni a essere radialmente simmetriche, cioè dipendenti dalla variabile spaziale solo attraverso la distanza dal centro del dominio. L’idea euristica è la seguente: la soluzione u per punti vicino al bordo del dominio decresce in direzione (uscente) perpendicolare al bordo (lemma di Hopf). Non insisto nei dettagli tecnici ma illustro il bellissimo teorema che con questo metodo e l'utilizzo di Principi di Massimo si può dimostrare.

Teorema. Sia Ω un dominio limitato di R2 con bordo di classe C2. Sia inoltre u∈C2(Ω) soluzione del problema sovradeterminato di Poisson. Allora Ω è una palla e u è una soluzione a simmetria radiale tale che u(r) = (R2r2)/4, ove R è il raggio della palla e r la distanza dal centro della palla.

La dimostrazione in tutti i dettagli di questo Teorema è dovuta a Pucci e Serrin (cfr. 'The maximum Principle', Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 73 , Birkhauser, Verlag Basel 2007).

Ricordando il significato fisico di u sopra detto il Teorema afferma quindi che la componente tangenziale della tensione lungo la parete del tubo è la stessa in tutti i punti della parete se e soltanto se il tubo ha sezione trasversale circolare.

Esattamente la stessa equazione, con le medesime condizioni al bordo, sorge nella teoria lineare della torsione di una barra solida rettilinea di sezione trasversale. In questo caso il Teorema prova che se una barra solida rettilinea è soggetta a torsione, la trazione risultante che si esercita sulla superficie della barra è independente dalla posizione se e soltanto se la barra ha sezione trasversale circolare.

Sorprendente è il fatto che il teorema sopra può essere generalizzato (come fanno notare Pucci e Serrin nel testo sopra citato) e ci può permettere di dimostrare che e se = u(, y) descrive la superficie superiore del fluido come in figura, allora la richiesta che l’angolo γ che il liquido forma con la parete interna del tubo risulti costante, conduce alla condizione al bordo

 \partial_{\nu}u=\cot \gamma=cost\quad\mbox{su }\partial\Omega.

ove v è il versore normale uscente. 

Dunque, supponendo che l’angolo γ sia diverso da π/2, si può dimostrare che un liquido risale con stessa altezza in ogni punto del tubo capillare se e soltanto se il tubo ha sezione trasversale circolare (si veda la Figura). Quando γ = π/2 l’unica soluzione è u ≡ 0 per qualsiasi sezione trasversale del tubo.

Sorprendente vero???? Una complessa PDE descrive un fenomeno che è più vicino di quanto si creda !!!!!!!

Nel prossimo post vedremo come si possano dare equazioni e risultati anche nel caso di fluidi ER, con presenza di anisotropia.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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