Probabilità al Ristorante Cinese (Parte Seconda)

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A volte ritornano…

Sì lo so, lo so… sono fuggita nel bel mezzo della cena. Un disastro. Devo confessare che mi stavo annoiando un po’ anche io con tutte queste formule, questi $$\Omega$$, $$\mathcal F$$, $$\mathbb P$$… per far che poi? Lanciare dadi e monete. Ma si può sapere chi è che si sollazza nel 2015 ancora con queste attività a costo zero??? Me lo sono sempre chiesta. Ed inoltre questo Processo del Ristorante Cinese… un processo? In che senso?!? Ma non sarebbe meglio pensare ad organizzare la vacanza in Sardegna che tanto agosto è praticamente arrivato?!?

Lecito è chiedersi se il nostro accompagnatore sia ancora al suo posto o stia già imprecando perchè il furbone di turno (nella sua mente: lA furbonA di turno) ha parcheggiato in doppia fila impedendogli la fuga. Aspettate, fatemi vedere… è ancora lì!!!

AHAHAHAHAH!!! Disperato. Non ce la fa più. Spera solo che l’amatissima cugina di terzo grado della nonna – che, precisiamo, durante i pranzi con i parenti lo chiama ancora Lillo de’ casa – finisca le pillole e lo contattino d’urgenza per cercare una farmacia di turno.

…e, se ritornano, non facciamoli scappare

Ecco, diciamo che sarebbe alquanto preferibile non provocare nell’altra persona una siffatta reazione. Ma come fare?!? Devo ringraziare il Prof. P.Baldi a tal proposito per i suoi consigli. Vediamo se sono in grado di metterli in pratica. Ah, dimenticavo… ringrazio anche Adriana che mi ha spinto a velocizzare la scrittura del secondo post: per colpa tua invece di fare shopping primaverile oggi, l’ho fatto solo ieri, 2 giorni fa e nello scorso weekend.

Allora, dove eravamo rimasti… ah sì, spazi di Probabilità $$(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$$, il lancio dei due dadi… bene. Dovremmo aver capito che, in poche parole, quello che si fa è assegnare un numeretto tra 0 e 1 ad ogni evento, secondo alcune regole. E tale numeretto è tanto più grande quanto più l’evento è ”probabile” (da intendere nel senso comune e senza lasciarsi ingannare troppo dall’intuizione). Possiamo pensare che stiamo misurando tali eventi. Ad esempio, nel caso del lancio di un dado, degli eventi sono: (A) l’uscita di un numero pari, (B) l’uscita di un numero maggiore strettamente di $$3$$ ecc. Come gestire però le ”operazioni” tra eventi? Cioè qual è la Probabilità che si verifichino gli eventi (A) e (B) insieme? Che si verifichi (A) e non (B)? E che non si verifichi (A)?

Secondo piatto: formule semplici ma carine

Ok dai, vediamo di finire questa cena. Dato un evento $$A\in \mathcal F$$, nel suo complementare $$A^c$$ mettiamo tutto quello che non è contenuto in $$A$$. Pensiamo all’evento ”esce un numero pari” nel lancio di un dado. Allora il suo complementare è ”esce un numero dispari”. Dovrebbe essere intuitivo che

$$\mathbb P(A^c) = 1 – \mathbb P(A).$$

Definiamo ora l’unione tra due eventi $$A, B\in \mathcal F$$. Tale unione $$A\cup B$$ è l’insieme di tutti gli elementi che stanno in $$A$$ o in $$B$$. Pensiamo che $$A$$ sia l’evento ”esce un numero pari” e $$B$$ sia l’evento ”esce un numero maggiore strettamente di 3”, allora $$A\cup B$$ è l’evento ”esce un numero pari o maggiore strettamente di $$3$$” (per capirsi, vanno bene i numeri $$2,4,5,6$$). Invece l’intersezione $$A\cap B$$ è l’insieme degli elementi che stanno in $$A$$ e in $$B$$, quindi in tal caso i numeri $$4,6$$. Vediamo di commentare in modo intuitivo questa formula

$$\mathbb P(A\cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb P(B) – \mathbb P(A\cap B).$$

Pensiamo, invece di calcolare la Probabilità, di voler contare gli elementi che stanno in $$A\cup B$$: ci sono gli elementi di $$A$$ + gli elementi di $$B$$ ma in questo modo contiamo due volte gli elementi che stanno sia in $$A$$ che in $$B$$ quindi dobbiamo sottrarre una volta gli elementi che stanno in $$A\cap B$$. Importante è anche il fatto che se $$A\subseteq B$$, cioè l’evento $$A$$ ”sta dentro” $$B$$, allora

$$\mathbb P(A) \le \mathbb P(B).$$

Ragionando come prima cioè pensando di contare gli elementi, dovrebbe essere facile intuire il senso della precedente formula. Ok ok, la smetto. Basta formule per ora (per quelli invece che ne vogliono sapere di più wikipedia in genere aiuta abbastanza).

Dolce, finalmente.

Potrei parlarvi di eventi indipendenti, di Probabilità condizionata… ma preferisco chiudere in un altro modo e rimandare queste nozioni che richiedono ancora formalismo ai prossimi post.

Quest’anno ho il piacere di seguire come tutor i matematici del corso di Probabilità e Statistica. Un esercizio proposto dalla professoressa titolare del corso (che ringrazio) che ha riscosso abbastanza successo è il seguente:

In un mazzo di $$n$$ chiavi, una sola chiave apre una certa porta. Per aprire la porta, si prova una chiave alla volta e se non è quella giusta la si elimina dal mazzo. Calcolare la probabilità di aprire la porta al $$k$$-esimo tentativo (con $$k=1, \dots, n$$). 

Secondo voi, supponendo di avere $$3$$ chiavi, la Probabilità di aprire al primo tentativo è la stessa di aprire al terzo? Ovviamente darò la risposta nel prossimo post, ma magari provate a pensarci due minuti…

Ci tengo a precisare che non trascorro le mie giornate a lanciare dadi, nè monete, nè contare palline rosse estratte da urne con palline rosse, bianche e gialle… la Probabilità è molto di più e soprattutto ci permette di fare tanto di più. Ad esempio, prossimamente vi parlerò, oltre che di variabili aleatorie, processi ecc, anche di come sia possibile studiare la radiazione cosmica di fondo (che arriva a noi dal BIG BANG) tramite modelli probabilistici.

Inoltre, tanto per essere chiari, eviterei di affrontare tali argomenti a cena visto il risultato che hanno avuto sul nostro accompagnatore… o magari cambiate accompagnatore. A presto e grazie!

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