Probabilità al Ristorante Cinese (Parte Prima)

Aperitivo: introduzione 

Ho sempre stimato quelle donne alle quali gli uomini preferiscono regalare un vestito piuttosto che un invito a cena (sebbene in un ristorante cinese!). Soprattutto se le donne in questione si dilettano con la Matematica ed in particolare con la Probabilità.

Del resto, chiederemmo davvero troppo all’ipotetico accompagnatore; dovrebbe da un lato sostenere la causa ”spaghetti di soia,  nuvole di drago e gelato fritto al cioccolato = pasto molto equilibrato”  e dall’altro fingersi interessato al celeberrimo Processo del Ristorante Cinese. E questo tutto in una sera.

Fortunatamente non faccio parte di questa categoria di donne, perchè per me un pasto molto equilibrato richiederebbe in aggiunta della delicatissima carne bianca, pollo fritto ad esempio. Inoltre, non parlerei mai del Processo del Ristorante Cinese. Non senza aver dato precedentemente al mio interlocutore le nozioni di base della Teoria delle Probabilità.

Antipasto: intuizione e Probabilità

Iniziamo allora con un esempio classico: lanciamo 30 volte una moneta equilibrata, una T indica se un lancio ha dato testa mentre una C croce. Consideriamo due  possibili risultati:

$$TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT$$

$$TCTCTTTCCCTCTCCTTCTCCCTTTCTCCTT$$

Sono equiprobabili?  Di certo non bisogna essere esperti di Calcolo delle Probabilità per rispondere a questa facile domanda. O no? Il punto è che l’intuizione e la Probabilità non vanno per niente d’accordo. Infatti potremmo pensare che ottenere tutte teste sia un fatto eccezionale e raro. Erroneamente. Le due sequenze hanno esattamente la stessa probabilità di verificarsi.

Un altro esempio illuminante: il Gioco del Lotto. Frasi come ”puntiamo sul numero 23 che sono mesi che non esce sulla ruota X” sono del tutto prive di senso (probabilistico-matematico). Infatti ad ogni estrazione settimanale, il 23 ha esattamente la stessa probabilità di uscire (come del resto ogni altro numero)! Questo perchè le estrazioni sono indipendenti. 

Primo piatto: spazi di Probabilità 

Per iniziare cercherò di essere formale, ma non troppo. Definiamo cos’è uno spazio di Probabilità: è una terna $$(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$$ dove $$\Omega$$ è lo spazio campionario, $$\mathcal F$$ è una $$\sigma$$-algebra su $$\Omega$$ (l’insieme degli eventi) e $$\mathbb P$$ è una misura di probabilità sullo spazio misurabile $$(\Omega, \mathcal F)$$.

Possiamo pensare $$\Omega$$ come l’insieme di tutti i possibili risultati del fenomeno aleatorio che stiamo studiando e (per ora) $$\mathcal F$$ come l’insieme delle parti di $$\Omega$$, cioè l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $$\Omega$$. Invece $$\mathbb P : \mathcal F \to [0,1]$$ è una mappa che associa ad ogni evento (ogni elemento di $$\mathcal F$$) un numero compreso tra $$0$$ e $$1$$, tanto più grande quanto più il verificarsi dell’evento è ”probabile” (da intendere nel senso comune). Si richiede che debba valere $$\mathbb P(\Omega) = 1$$ e che $$\mathbb P$$ sia $$\sigma$$-additiva, cioè per ogni famiglia al più numerabile $$\lbrace A_n \rbrace_n \subset \mathcal F$$ di insiemi mutuamente disgiunti valga $$\mathbb P( \cup_n A_n ) = \sum_n \mathbb P(A_n)$$. Come vedete, le cose si stanno un po’ complicando… facciamo un esempio.

Lanciamo 2 volte un dado.  Qual è la probabilità che il risultato del primo lancio sia strettamente maggiore del secondo?

Costruiamo uno spazio di probabilità ad hoc. $$\Omega$$ è l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri da 1 a 6:

$$\Omega = \lbrace (\omega_1, \omega_2) : \omega_i \in \lbrace 1, \dots, 6 \rbrace, i=1,2 \rbrace$$

$$\mathcal F$$ è l’insieme delle parti di $$\Omega$$ e definiamo la misura di probabilità $$\mathbb P$$ per $$A\in \mathcal F$$ come

$$\mathbb P(A) := \frac{|A|}{|\Omega|}$$

dove $$| A|$$ denota la cardinalità dell’insieme $$A$$.

Ora non ci resta che scrivere formalmente l’evento a cui siamo interessati e calcolare la sua cardinalità e quella di $$\Omega$$.

$$A = \lbrace (\omega_1, \omega_2)\in \Omega : \omega_1 > \omega_2 \rbrace$$

Ovviamente si ha: $$|\Omega| = 6^2$$ mentre per la cardinalità di $$A$$ il ragionamento da fare è: se $$\omega_1 = 1$$, siamo fregati. Se $$\omega_1=2$$, allora $$\omega_2=1$$ , se $$\omega_1 =3$$, allora $$\omega_2=1$$ oppure $$\omega_2=2$$ ecc. Dunque $$|A| = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$, ottenendo

$$\mathbb P(A) = \frac{15}{36}\ .$$

Ci sarebbero tante proprietà da trattare adesso, il mio intento però in questi post iniziali non è quello di farvi un corso base di Teoria delle Probabilità ma stimolare la vostra curiosità affinchè possiate approfondire personalmente gli argomenti brevemente accennati.

Breve pausa digestiva

A questo punto della cena una breve pausa ci sta tutta. Dovremmo avere un’idea di cosa è la Probabilità (o meglio, a cosa serve)  e dovremmo aver capito che anche formalizzare eventi semplici come il lancio di un dado non è cosa banale.

Vi invito ad approfondire l’argomento esposto e vi aspetto ovviamente nei prossimi post per finire la cena e trattare argomenti più avanzati, come le variabili aleatorie ed i processi… magari anche per scoprire cos’è questo Processo del Ristorante Cinese. Ovviamente vi ringrazio per la lettura!

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