Blog divulgativo sulla matematica applicata

Camminare sulle acque con le equazioni differenziali

Esistono materiali che possono cambiare istantaneamente le loro caratteristiche, per esempio passando da liquidi a solidi? Come possono essere impiegati nello sviluppo tecnologico?
Queste domande attuali trovano sicuramente una risposta positiva nell'utilizzo di fluidi elettroreologici (ER).
Come accennato nel mio post precedente,  si tratta di sostanze innovative a base di materiali nanostrutturati che possono modificare la loro viscosità sotto l'azione di un campo elettrico.

Ricordiamo che la viscosità di un fluido è una grandezza che indica la resistenza di un fluido allo scorrimento; in altre parole a livello microscopico si manifesta con l’insorgere, nello scorrimento di uno strato rispetto all'altro, di tensioni tangenziali più o meno elevate a seconda della natura del corpo.

Un fluido ER è un caso particolare di fluido non - Newtoniano, cioè la cui viscosità varia a seconda dello sforzo di taglio che viene applicato. Di conseguenza, i fluidi ER non hanno un valore definito di viscosità. Oltre agli ER anche molte soluzioni polimeriche sono fluidi non newtoniani.

Nel video che segue vediamo un'applicazione divertente di fluido non-Newtoniano!

In realtà si può creare facilmente a casa un fluido non-Newtoniano e bastano pochi ingredienti: acqua, farina di mais e..... un po' di pazienza! Nel video che segue vediamo un tutorial per tale realizzazione.

I fluidi ER, costituiti da sospensioni di particelle 'sensibili' a campi elettrici, possono dunque cambiare istantaneamente e reversibilmente la loro viscosità interna da buoni fluidi non - Newtoniani, in modo proporzionale al campo elettrico applicato. In assenza di un campo applicato la sospensione garantisce un comportamento reologico di tipo Newtoniano, mentre, a seguito dell’applicazione di un campo sviluppano al loro interno una resistenza viscosa che dipende dall’intensità del campo stesso, effetto della polarizzazione indotta nelle particelle sospese, manifestando un comportamento non - Newtoniano.

Come nelle normali polarizzazioni il fenomeno si può spiegare supponendo che le particelle sospese assumano la struttura a dipolo (indotto) e conseguentemente si orientino disponendosi in modo da formare una struttura colonnare.
L’aumento quindi a livello macroscopico della viscosità della sospensione corrisponde a livello microscopico a una diminuzione della sezione utile per il libero movimento del liquido di sospensione dovuta alla «catena» di dipoli venutasi a creare.

Nel video successivo è possibile vedere un fluido elettroreologico in azione!!

Vediamo come il liquido nel contenitore si comporti in modi diversi: quando si immerge il dispositivo la prima volta (in assenza di corrente nel circuito interno e quindi in assenza di campo elettrico) il fluido rimane allo stato liquido; nella seconda immersione (con il dispositivo che genera un campo elettrico) si osservano fenomeni di solidificazione locale che dipendono dal campo applicato.

L’ interesse crescente che sta avendo negli ultimi tempi il mercato per questo tipo di fluidi deriva principalmente dalla loro capacità di costituire una rapida e semplice interfaccia tra il sistema di controllo elettronico e quello meccanico.
La progettazione di frizioni, freni, dispositivi di centraggio e bloccaggio, ammortizzatori e assorbitori d’urto sono solo alcuni esempi di possibili impieghi. In ambito aereospaziale il raggiungimento di prestazioni elevate dipende dal controllo a distanza di bracci robotici, controllo che può essere migliorato utilizzando questo tipo di fluidi.

Modelli matematiciiss_exp38_cygnus_captured

Ma in tutto ciò cosa c'entra la matematica?!

Naturalmente il linguaggio della matematica permette di descrivere il comportamento dei fluidi ER con delle equazioni differenziali!

Per sapere che cos'è un'equazione differenziale, rimando al link del precedente post.

Prima però dobbiamo osservare che la modellizzazione matematica di alcuni processi, che derivano dallo studio di fluidi ER, conduce naturalmente al concetto di anisotropia.

L'anisotropia è la proprietà per la quale un determinato materiale ha caratteristiche che dipendono dalla direzione lungo la quale vengono considerate. In un certo senso l'anisotropia di un mezzo si contrappone all'isotropia, poiché ci sono direzioni spaziali 'privilegiate'.

All'anisotropia si contrappone ovviamente l'isotropia: in una sostanza isotropa, le proprietà fisiche non dipendono dalla direzione in cui si analizza la sostanza stessa (ad esempio l'indice di rifrazione del vetro che indica che il comportamento della luce è uguale in tutte le direzioni).

Dal punto di vista matematico, l'anisotropia si traduce nelle equazioni differenziali con condizioni di crescita non-standard nelle equazioni, come vedremo tra poco.

Si tratta di un argomento piuttosto delicato e complesso dal punto di vista matematico, per questo motivo affronto alcuni aspetti della modellizzazione senza troppo insistere sui dettagli.
Per eventuali approfondimenti  rimando il lettore alla consultazione dell'articolo Maximum principles for anisotropic elliptic inequalities di Fortini, Mugnai e Pucci pubblicato sulla rivista 'Nonlinear Analysis: Theory Methods & Applications (Volume 70, Issue 8)'.

Come dicevamo questo tipo di fluidi non - Newtoniani, noti in letteratura anche come smart fluids, possono cambiare significativamente le loro proprietà meccaniche sotto l'azione di un campo elettromagnetico esterno; è proprio questa loro caratteristica fisica che produce l'anisotropia delle equazioni in gioco.

Nel paragrafo successivo farò riferimento al modello matematico che descrive il comportamento dei fluidi ER: si tratta di una matematica piuttosto avanzata e complessa, dunque il lettore meno esperto in materia può direttamente saltare alle conclusioni evitandosi un bel mal di testa!!

Matematica bizzarra

Recentemente i matematici Ruzicka e Rajagopal hanno sviluppato un interessante modello. Se indichiamo con E il campo elettrico esterno, con v la velocità del fluido e Jv il suo Jacobiano, allora il sistema di equazioni stazionarie che ne risulta è il seguente:

 {\textbf{rot E}}=\textbf{0},\quad\mbox{div}\,\textbf{E}=0,

\mbox{div}\, S(\textbf{E},J\textbf{v})-\textbf{Dp}-[J\textbf{v}]v=\textbf{f}-X(\textbf{E})[J\textbf{E}]\textbf{E},

\mbox{div}\, \textbf{v} =0

ove S è il tensore di extra stress, Dp è il gradiente della pressione e X(E) è la suscettibilità elettrica.

Con opportune trasformazioni si giunge alla seguente equazione:

\mbox{div}\, ((1+|Du|^{2})^{[q(x)-2]/2}Du)+B(x,u)=0\quad 1<q(x)\leq 2,

ove u=u(x) è una funzione reale definita in un dominio limitato Ω dello spazio tridimensionale, Du il suo gradiente e B un operatore scalare.

L'anisotropia prima citata la ritroviamo nella presenza dell'esponente variabile q(x).

L'equazione sopra ottenuta è scritta in una forma molto generale e il lettore non si deve lasciare spaventare dal suo aspetto 'poco invitante'!!

Si tratta di una generalizzazione del tipo di equazioni che abbiamo visto nel post precedente: infatti notiamo, ad esempio,  che quando l'esponente è una funzione costante e pari a 2 troviamo che

\mbox{div}\, ((1+|Du|^{2})^{[q(x)-2]/2}Du)=\mbox{div} (Du)=\Delta u,

operatore che abbiamo già incontrato in precedenza.... e dunque non ci può spaventare!

Per equazioni di questo tipo (e per addirittura corrispondenti disequazioni) si possono dimostrare (con molta fatica) teoremi di confronto per le soluzioni o principi di massimo che danno come applicazioni immediate stime sulla soluzione!

Ad esempio un'applicazione interessante di questi risultati è la seguente.

Utilizzando risultati piuttosto profondi e generali (contenuti nell'articolo sopra indicato) si può dimostrare che sotto opportune ipotesi di regolarità dell'esponente variabile q(x) e dei dati iniziali un problema del tipo:

\mbox{div}\, ((1+|Du|^{2})^{[q(x)-2]/2}Du)+B(x,u)=0,\quad\mbox{in }\,\Omega

u=u_{0}\quad\mbox{su }\partial\Omega

ammette un'unica soluzione in certi spazi funzionali.

Conclusioni....o forse!

Risultati di questo tipo sono fondamentali per la matematica applicata, in quanto permettono di stabilire l'unicità della soluzione di una certa classe di problemi e dunque la buona posizione del corrispondente modello fisico.

Si tratta naturalmente di una veloce introduzione al problema, ma vi assicuro che tanti problemi sono ancora aperti e aspettano solo di essere risolti!!!!!

Nei prossimi post vedremo come altri fenomeni naturali possano essere rappresentati e descritti da equazioni differenziali!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Similar posts

Nessun commento ancora

Lascia una risposta

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

È possibile utilizzare questi tag ed attributi XHTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Iscriviti alla nostra newsletter

Resta aggiornato sui nostri post e su quello che facciamo.

Canale Telegram dedicato alla Matematica

Iscriviti sul nostro canale Telegram

MIA15 - Nomination

Rimani aggiornato sui più interessanti articoli di divulgazione matematica e non solo!

Seguici su Twitter

Tag Cloud

Partecipa all’indagine “Io e la Matematica”

Clicca sull'immagine sottostante per rispondere al breve e anonimo questionario:

MIA15 - Nomination

Conviditi con i tuoi contatti questo link!

Grazie per il sostegno ai #MIA2015

Grazie a tutti per averci votato ai "Macchia Nera Awards 2015" nella categoria "Miglior Sito Tecnico-Divulgativo".

Siamo arrivati in finale grazie al vostro sostegno!

MIA15 - Nomination