Blog divulgativo sulla matematica applicata

Le passeggiate salutiste: Eulero e la teoria dei grafi

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La domanda è: perché?

Data la mia specializzazione in Didattica e Storia della Matematica, quando mi è stato proposto di contribuire a questo blog ho avuto qualche dubbio. La faida tra teorici e applicati spazia quasi in tutte le discipline scientifiche universitarie: basti pensare a chi studia gli spazi normati infinito-dimensionali equipaggiati con la topologia indotta dalla norma e a chi applica le equazioni di Navier- Stokes sotto le ipotesi di un fluido chimicamente non omogeneo e non reagente. Figuratevi io, che delle cose scritte qui sopra non ci capisco un'acca, come possa trovare spazio in un blog divulgativo di matematica applicata.

Però, dopo aver riflettuto un po' su ciò, mi sono detto: quante sono state, storicamente parlando, le scoperte matematiche nate in contesti "applicati" o che hanno avuto importanti attuazioni nella realtà? La risposta è che, ovviamente, sono state innumerevoli.

Ecco, quindi, la soluzione: in questo blog avrei parlato di esempi storicamente importanti di matematica applicata evidenziando anche quanto abbia inciso la Storia della matematica nello sviluppo della civiltà, della modernizzazione e delle applicazioni nel mondo reale.

Sarà dunque questo il mio obiettivo: dar luce su alcuni avvenimenti storici che hanno aperto nuove strade alla Matematica Applicata!

Concludo, quindi,  questa premessa con una citazione di Robert A. Heinlein,  un autore di libri fantascientifici del Novecento, che mi servirà anche da inizio simbolico vero e proprio di questo post:

Una generazione che ignora la storia non ha passato… né futuro.

Iniziamo qui di seguito, quindi,  a vedere un esempio storico e per farlo ho pensato che non potevo partire se non con la  storia relativa a queste passeggiate salutiste citate nel titolo di questo post.

Un salto nella storia: Königsberg

La nostra storia inizia a Kaliningrad, una città russa che si affaccia sul mar Baltico, attraversata dal fiume Pregel. Nella metà del diciottesimo secolo, era nota con il nome di Königsberg, allora capoluogo della Prussia Orientale. All'epoca i signorotti locali amavano passeggiare per la loro città, soprattutto nei pressi del fiume. Per avere un'idea, eccovi una mappa della zona interessata:Konigsberg_bridges

nella mappa, possiamo notare due aree principali della città e due isole estese collegate tra loro con un totale di sette ponti.

In fondo, a chi non piace una sana e salutare passeggiata? Quel che piace un po' di meno (dipende dai giusti!) è guardarsi intorno con una curiosità intellettuale tale fa porsi delle domande anche sulle cose più semplici, tipo: posso farmi una passeggiata attorno ai ponti in maniera da passare sopra ognuno di essi una e una volta sola?

I signorotti ci provarono e riprovarono ancora ma, ahimè, non riuscirono mai nell'impresa... Il caso ha voluto che in quel periodo, nella cittadina di Königsberg, soggiornasse una personalità scientifica che gli intellettuali dell'epoca (ed i posteri, ovviamente) riconoscevano come un grande pensatore, un dotto fisico, ma soprattutto un eccellente matematico: lo svizzero Leonhard Euler. Per gli amici, Eulero.

Leonhard_Euler

Un approccio diverso

Da buon matematico, Eulero, pensò di sintetizzare il problema e "stilizzarlo" (adesso i matematici direbbero "modellizzarlo")  con le sole caratteristiche importanti, i lembi di terra e i ponti. Per cui ad ogni zona calpestabile ha associato un punto, ad ogni ponte un arco che congiunge i due lembi di terra:

Grafo1

invece di farsi le passeggiate, si studiava tutto da casa con foglio e penna. Meno salutare, ma decisamente più furbo!

Il problema dei sette ponti di Königsberg era diventato il seguente:

In una disposizione fissata di quattro punti e sette archi così disposti, è possibile passare per tutti gli archi una e una sola volta partendo da un punto a piacere?

Nel tentativo di risolverlo, Eulero osservò che se modifichiamo la situazione attuale, aggiungendo o togliendo qualche ponte, si arrivava ad una soluzione: ad esempio, congiungendo i quattro punti (da adesso li chiameremo nodi) con quattro tratti (archi) a configurare un anello, partendo dal nodo A si arriva di nuovo allo stesso punto passando per tutti e quattro gli archi.

Su come Eulero arriva alla soluzione ne parleremo nel prossimo articolo! Nel frattempo, invito chiunque voglia cimentarsi a lavorare come fece Eulero in quel di Königsberg ed arrivare quindi a dimostrare se effettivamente la camminata si possa fare o, al contrario, dimostrare che ciò non è possibile!

Nel prossimo articolo vedremo la soluzione di tale problema e di come lo studio avanzato di questo tipo di strutture (chiamate grafi) ha inciso su alcuni problemi di matematica applicata, come l'importantissimo risultato del teorema dei quattro colori,  il problema di ottimizzazione del commesso viaggiatore o l'applicazione della teoria dei grafi per schematizzare uno schema prettamente informatico, le p-reti.

N.B. : ovviamente in rete la soluzione la trovare, ma il mio consiglio spassionato è di provarci da soli! Ad esempio, cosa succede nel caso che, alla configurazione del problema iniziale, si aggiunge un ponte?

Buon lavoro!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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