Blog divulgativo sulla matematica applicata

MCD e mcm, dolcetti di Pasqua e fumetti

Ciao di nuovo a tutti i lettori!

Dopo i miei post sull’aritmetica modulare (vedi qui) e sulla crittografia (vedi qui e qui), ho pensato che forse era il caso di smetterla di parlare di divisioni e numeri e magari cambiare argomento. Però mi sono anche detto “beh, ci sono ancora un sacco di cose che posso dire a riguardo, perché dovrei smettere?!”. E così, per vostra immensa gioia, eccomi di nuovo qui.

minimo-comune-multiplo

L'idea di oggi è quella di presentarvi alcuni problemi che possono essere agevolmente risolti da chiunque. Si parla infatti di massimo comun divisore (MCD) e minimo comune multiplo (mcm). Questa volta non vi è richiesta nessuna e dico assolutamente nessuna conoscenza che va oltre i numeri! Spero che lo troviate interessante.

[romanesco mode on] E nun me venite a di che n'se capisce n'tubo come ar solito! So stato bravo sta botta! [romanesco mode off]

MaCheDice Euclide?

Tutti conoscono e ricordano il Massimo Comune Divisore. Come dice le parola, il MCD tra due numeri naturali è un numero naturale che divide entrambi i precedenti ed è il più grande con questa proprietà.

Che ho detto?! Panico e disperazione?! No no, calma calma. Niente di grave! Vediamo un esempio. Prendiamo i numeri 12 e 16 ed elenchiamo i divisori comuni. Questi sono 1 , 2 e 4. Il più grande è 4, ed è quindi il MCD tra 12 e 16.

Facile fin qui…ma se vi chiedessi: qual è il MCD tra 2310313 e 3194287 ? Mo’ che facciamo? Stavolta i divisori comuni sono difficili da trovare a occhio!

Un bel giorno di una marea di tempo fa, il signor Euclide (se non lo conosci [cavolo è assurdo, come si fa?!] vedi qui) si pose lo stesso problema e lo risolse inventando quello che ora va sotto il nome di algoritmo di Euclide!

Non pretendo di spiegarvi il motivo per cui funziona, quello se avete voglia potete cercarvelo da soli! Vediamo come funziona: si prende il numero più grande e lo si divide per il più piccolo. Il resto ottenuto è detto primo resto. Si prende ora il più piccolo e lo si divide per il primo resto, il resto di questa divisione è detto secondo resto. Si divide ora il primo per il secondo resto e si chiama il resto di questa divisione terzo resto. Si procede così con le divisioni fin quando non si ottiene che l’ennesimo resto è 0. A quel punto di vede l’ultimo resto non nullo; quello sarà il MCD tra i due numeri iniziali.

Sembra complicatissimo ma in realtà non lo è. Vediamo tra 16 e 12: 16 diviso 12 fa 1 con il resto di 4 (primo resto). Poi faccio 12 diviso 4 ottenendo resto 0 (secondo resto). Dato che il secondo resto è 0, il precedente resto (4) è il MCD tra 16 e 12.

In generale non è così facile: per i numeri 2310313 e 3194287, la procedura è lunga ma facendo i conti la successione dei resti sarà:

r_1=883974

r_2=542365

r_3=341609

r_4=200756

r_5=140853

r_6=59903

r_7=21047

r_8=17809

r_9=3238

r_{10}=1619

r_{11}=0

Quindi, il MCD è 1619! Invece di perdere la vita tentando di fattorizzare quei numeri, Euclide ci ha fornito una brillante soluzione!

Nella Massima vita di (quasi) tutti i giorni

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La scorsa Pasqua io e la mia ragazza abbiamo comprato degli ovetti e dolcetti per i nostri amici. Erano di diversi tipi e ovviamente volevamo fare tutti sacchetti uguali (e questo non perché sono un matematico ossessivo!). Per farlo abbiamo usato la buona vecchia maniera di equidistribuire i dolcetti nei sacchetti, cioè sceglievamo un tipo, mettevamo un dolce di quel tipo in ogni sacchetto e poi ricominciavamo il giro fin quando non vedevamo che i dolci di quel tipo erano meno del numero di sacchetti. In sostanza che stavamo a fa'?! Una divisione!

Un problema è che ci sono avanzati dei dolci. Alla fine hanno fatto una brutta fine...cioè ce li siamo mangiati…ma al momento questo non è importante!

Ma una cosa a cui ho pensato è stata: ma con questi dolci, quanti sacchetti uguali posso farci senza che mi avanzi alcun dolcetto? La soluzione al problema non è unica e dipende da quanti dolci diversi e da quanti dolci di ciascun tipo ho. Se ad esempio avessi 12 dolci tutti uguali, posso sicuramente fare 12 sacchetti da 1 ma anche 4 sacchetti da 3.

Dato che vogliamo che il problema abbia una sola soluzione imponiamo che il numero di sacchetti deve essere il più alto possibile. Quindi nel caso dei 12 dolcetti uguali, la risposta è 12 sacchetti da 1.

Il problema ovviamente si complica quando ho due tipi diversi. Mettiamo di avere 16 dolci del tipo A e 12 del tipo B. La risposta al problema è 4 sacchetti, dove in ognuno metto 4 dolci del tipo A e 3 del tipo B. Il fatto che venga 4 non vi accende la lampadina? E’ il MCD!

Infatti il numero di sacchetti deve essere un numero che divide tutti i numeri dei dolcetti dei vari tipi e deve essere il più grande con questa proprietà (la richiesta è appunto che il numero di sacchetti sia massimo!).

Questo problema è quindi risolto! La risposta è che il numero massimo di sacchetti uguali che posso fare è il MCD dei numeri coinvolti!

Ovviamente questo non è solo un problema mio!! Se un fiorista avesse 24 rose, 50 camelie e 60 girasoli e volesse fare tutti bouquet uguali, quanti ne può fare al massimo? La risposta è MCD(24,50,60)=2! Mettendo 12 rose, 25 camelie e 30 girasoli in ognuno dei due bouquet. Un po’ troppi no? Quindi forse ha bisogno di comprare accuratamente il numero dei suoi fiori, in modo da ottimizzare gli sprechi. Si sa, i fiori dopo un po’ appassiscono e i soldi finiscono, solo la matematica resta! [Chiedo perdono ma questa è poesia!].

Un altro esempio è dato da chi deve organizzare un banchetto, poiché vorrà sicuramente sapere, date le quantità delle pietanze, quanti piatti uguali e ben forniti (è un banchetto di lusso) si possano fare al più; oppure da un commesso in un negozio di vestiti che sta facendo delle offerte promozionali su capi di abbigliamento.

Quindi se avete amici fioristi, somelier, commessi o quant'altro potete certamente andare da loro a fare i saputelli! Sta a voi!

Insomma, questo problema è risolto e l’abbiamo fatto con della matematica davvero elementare!

mAMMA cHE mACELLO

Il minimo comune multiplo è un altro degli amici che abbiamo incontrato alle scuole medie (se non prima). Dati due interi, il mcm tra di essi è il più piccolo multiplo comune ad entrambi. Facciamo un esempio! Prendo 4 e 6. Elenchiamo i multipli di 4: 4, 8, 12, 16, 20, …; ed elenchiamo i multipli di 6: 6, 12, 18, 24, … . Vediamo subito che il primo multiplo che hanno in comune è 12, quello sarà il loro mcm!

Sembra più facile del MCD, ma come prima è una proprietà che dipende molto dai fattori primi che dividono i due numeri. Per farla breve, esiste un modo per ricavare il mcm partendo dal MCD. Dati due numeri a e b, il loro mcm è il risultato della divisione tra ab e il MCD di a e b. Ad esempio, riprendendo 4 e 6: il loro prodotto è 24 e il loro MCD è 2. 24 diviso 2 fa esattamente 12, il mcm.

Ovviamente questo metodo è efficace se si conosce il MCD, ma grazie a Euclide abbiamo un metodo! Quindi keep calm and use Euclid's algorithm!

Nella mINIMA vita di (quasi) tutti i giorni

Non si può dire che io sia un fissato di fumetti, ma ne seguo qualcuno e periodicamente vado a comprarli in fumetteria. Lo svantaggio di non avere la fumetteria dietro casa è che devo prendere la macchina per andare a comprarli ed è un po' una scocciatura. Così mi sono chiesto se c'era un modo per minimizzare i viaggi da fare...e diciamo che un modo c'è!

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Per farvi capire, vi faccio un esempio pratico. Supponete di seguire due fumetti, A e B, i cui nuovi volumi escono ogni 35 giorni per A e ogni 25 giorni per B. Se oggi è il giorno 0, il 25 giorno potrei andare a comprare B e dopo dieci giorni potrei andare a comprare A, e così via...cioè potrei comprarli man mano che escono, ma mi sembrano troppi viaggi. Una prima idea è quella di aspettare 35 giorni e comprarli insieme (B sarà già uscito nel frattempo) e la volta successiva fare in modo di comprare di nuovo i due volumi insieme.

Però si parla ancora di un viaggio al mese...non c'è modo di diminuire i viaggi?

Se per esempio ci andassi dopo 175 giorni, sarebbero usciti 5 volumi di A e 7 volumi di B e potrei comprarli tutti insieme. Inoltre, dopo 175 giorni è come essere di nuovo al giorno zero. Voglio dire che 175 è sia multiplo di 35 che di 25, quindi in quel giorno entrambi gli ultimi volumi di A e B saranno usciti. Andando quindi in fumetteria 2 volte l'anno, riuscirei ad ottimizzare i miei viaggi! ['nto so' forte]

Beh, forse l'avete capito ma...175 è il mcm di 35 e 25!

Insomma, questo tipo di problemi si può risolvere utilizzando il mcm!!!

Tanto per fare un altro esempio: se sapessi che un treno passa per la città di Paperopoli ogni 12 ore e un altro ogni 15 ore, dopo quante ore li trovo entrambi in stazione? La risposta è il mcm di 12 e 15, che è 60. Quindi la risposta è: ogni 60 ore! Magari a voi non ve ne frega niente, ma credo che al capostazione possa interessare!

Minimassima comun conclusione

Con questo post quindi, l'idea che volevo lasciarvi è che con della matematica semplice si possono risolvere dei bei problemi che magari possono aiutare e semplificare la vita di tutti i giorni. Il mio obiettivo era quello di divertirvi e spero in qualche modo di averlo fatto!

A presto!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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