Blog divulgativo sulla matematica applicata

Numeri e numerazione: “conta” quel che piace!

Ciao a tutti i lettori!

L'idea per questo post mi è venuta qualche tempo fa ma me ne sono ricordato da poco. Così durante un viaggio mattutino in treno da Norwich a Cambridge mi sono detto “aoh...so' le 5 del mattino, che faccio?” ed ho capito che il momento era propizio (nonostante il sonno)!
Oggi volevo parlarvi di numeri e di sistemi di numerazione. "Ancora co 'sti numeri?!" Ebbene sì! Stavolta però mi concentrerò sul perchè utilizziamo i numeri che tutti conosciamo sin da piccoli come 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... .

Contare-su-di-te

Sembra scontato e spesso non ci si fa caso. Qualcuno ci ha detto nella nostra vita che questi sono i numeri arabi. Infatti, perlomeno per quanto riguarda l'Italia, questi numeri furono “importati” da un famosissimissimo matematico pisano di cui parleremo dopo!
Prendiamola leggermente alla larga: come facevano i romani a fare le operazioni con quel loro strambo sistema numerico??

Quoque tu, summa, operatione mea!

Come presumo tutti sappiano, i numeri romani erano lettere. Questa idea non era nuova, già altri popoli dell'asia minore e della mesopotamia utilizzavano un metodo simile.

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In sostanza i simboli usati erano: I, V, X, L, C, D e M; ed il loro significato era rispettivamente: 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000. Fin qui non ci piove. Le altre regole da seguire erano: non più di 4 simboli uguali di fila, scrittura in ordine decrescente, la sottrazione si fa invertendo l'ordine.

Così in sostanza XL è 40 (non la taglia!), IX è 9, MLIII è 1053 e MCMXC è 1990. In realtà, per quanto questo sia un modo come un altro per scrivere i numeri, non è molto funzionale!

Infatti...come facciamo le operazioni? Se Cicerone doveva fare 9+13, come faceva?

Poteva usare le dita, certo. Ma vorremmo un metodo generale! I numeri in ballo sono 9=IX e 13=XIII. Prima di tutto si scrivevano i numeri in forma estesa, ovvero senza inversioni. Quindi 9=VIIII e 13=XIII. Poi, si univano i simboli ottenendo XVIIIIIII. Per concludere, si riportava questo nella forma contratta XXII per ottenere il risultato: 22! Come potete vedere, è un po' laborioso. E questo nonostante il fatto che 9 e 13 sono numeri piccoli. Immaginatevi voi di fare 1274+722 con i numeri romani, roba da pazzi! E siccome sono un pazzo, eccovi questa somma:

MCCLXXIV + DCCXXII = MCCLXXIIII + DCCXXII = MDCCCCLXXXXIIIIII = MCMXCVI, ovvero 1996. Chiaramente veniva usato un abaco per queste cose ma non è poi così pratico!

Ma non vi ho detto la cosa più bella: le moltiplicazioni! Se dovevano fare 5 per 3, loro consideravano 5=V e lo sommavano 3 volte con se stesso. Cioè riconducevano ogni moltiplicazione a somma. Certo, ovviamente era giusto, ma che fatica! Quindi nel nostro caso V+V+V = VVV = XV = 15, ma come sempre vi invito a provare numeri più grandi, tipo 12234*349. Sommate voi 12234 con se stesso 349 volte, io di certo non lo faccio! Sarò anche pazzo, eh, ma a tutto c'è un limite!

Leonardo, pensaci tu!

Quello che molti di voi non sanno è che il sistema romano è stato usato in Italia fino al 1200!!! I numeri arabi furono infatti introdotti in Italia da un matematico pisano di nome Leonardo, meglio noto come Leonardo di Pisa, ancor più noto come Leonardo figlio di Bonacci, ovvero Fibonacci.

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Infatti in uno dei suoi viaggi venne in contatto con questo nuovo sistema e ne comprese il valore e l'utilità. Chiaramente è difficile cambiare il punto di vista popolare ed introdurre questo nuovo sistema, specialmente se le persone intorno a te sono poco e mal istruite. Così lui decise di scrivere un libro: il Liber Abaci (libro d'abaco). Fin qui niente di nuovo...l'ennesimo libro di testo! La vera e propria potenza di questo libro stava nel fatto che non era destinato ad un pubblico istruito ma al popolo. In particolare aveva come bacino di lettori tutti coloro che nella vita dovevano far fronte a mille operazioni con numeri romani, ovvero mercanti e banchieri! Infatti lui spiega come svolgere le operazioni con i numeri arabi e come risolvere problemi nella vita quotidiana, tutto in un linguaggio accessibile a tutti.

E' stata una vera e propria rivoluzione ed ha portato a profondi cambiamenti nella società.

Innanzi tutto il sistema che introduce è quello posizionale. Ovvero, da destra a sinistra le varie cifre indicano le unità, le decine, le centinaia, le migliaia e così via. Questo agevola di molto le operazioni!
Inoltre aggiuge lo 0!!! Eh sì, non era scontato! I romani non lo usavano! E' evidente l'utilità di avere il numero zero, già anche semplicemente per risolvere il quesito “Se avevo due mele e ne ho mangiate due, quante ne restano?”.
Infine, invece di un abaco, è sufficiente un pezzo di carta anche per lunghe e complicate operazioni.

Chiaramente il sistema numerico più utile e semplice e che più seppe adattarsi ai bisogni del popolo sopravvisse, e sappiamo (a nostre spese) quale è sopravvissuto. Bye, bye mie cari numeri romani!

Questo sistema viene detto appunto decimale perchè utilizza 10 cifre, dallo 0 al 9.

A questo punto però, viene da chiedersi se non ci sia un metodo migliore del sistema arabo. E se invece considerassimo un po' meno cifre...o un po' di più...cosa accadrebbe?

Su che base dici questo, scusa?!

E' abbastanza naturale chiedersi (almeno per me lo è!): perchè gli arabi scelsero il 10 come base? La risposta non credo si sappia ma ho sempre pensato fosse perchè abbiamo 10 dita. Usiamo quelle per contare sin da quando siamo bambini. Ma allora una idea potrebbe essere quella di usare una mano sola...oppure aggiugere i piedi!

Nel primo caso avremmo una numerazione in base 5, ovvero dobbiamo e vogliamo poter esprimere ogni numero utilizzando le cifre 0,1,2,3 e 4. Si può fare? Ma certo!

Riflettiamo: quando scriviamo un numero usiamo la scrittura posizionale, cioè da destra verso sinistra mettiamo le unità, le decine, le centinaia, ecc ecc. Ma cosa succede nella nostra testa?

Prendiamo il numero 234. Le unità sono 4, le decine 3 e le centinaia 2. In poche parole il nostro cervello ha scomposto il numero: 234= 2*100 + 3*10 + 4 = 2*10^2 + 3*10^1 + 4*10^0. Siamo abituati a farlo sin dalla scuola primaria! Come vedete compaiono 10^0 = 1, 10^1 e 10^2...quindi che dobbiamo fare se la base è 5 anziché 10?

L'obiettivo è scrivere il numero in questa forma n = \sum_{k=0}^{\infty} a_k 5^k = a_0 + a_1 * 5 + a_2 * 5^2 + \cdots.

Sembra complicato ma in realtà non lo è. Torniamo a 234. Vediamo qual è la potenza massima di 5 che è più piccola di 234. 5^1=5, 5^2=25, 5^3=125, 5^4=625. Quindi è 5^3. Sottraiamo 125 a 234 e otteniamo 109. Ora 109 = 4*25 +1*5+ 4. Perciò si è ottenuto che 234 = 1*5^3 + 4* 5^2 + 1* 5 + 4 = (1414)_5.

Interessante no? Quindi se avessimo usato una mano anziché due avremmo sicuramente numeri diversi. Il numero (10)_5 equivale a 5 nella base decimale e sorprendentemente (3)_5+(3)_5=(11)_5.

Chiaramente questo gioco si può fare considerando qualunque altro numero al posto del 10. Per esempio in informatica la base 2 (binaria) e la base 8 sono molto utilizzate. Da qui il detto: “Esistono solo 10 tipi di persone, quelle che capiscono il sistema binario e quelle che non lo capiscono”...infatti 10 in base 2 è il numero 2: (10)_2 = 2.

Ma non necessariamente la base deve essere più piccola di 10, ma può essere anche più grande!

Ad esempio gli antichi gallesi utilizzavano una base con 20 cifre! Mentre ai giardini pensili di Babilonia ne usavano addirittura 60 diverse! Una marea di simboli!

numeri_babilonia

In informatica si usa anche il sistema esadecimale, dove oltre alle 10 cifre usuali si aggiungono le lettere A,B,C,D,E,F che corrispondono ai numeri decimali 10,11,12,13,14,15.

Non mi scorderò mai di un'altra famosa lezione di un mio professore universitario (lo stesso della storia di Biancaneve...vedi qui) che introducendoci al concetto di cambio di base partì considerando un sistema dozzinale (con ciò non intendo scadente eh!!). Ovvero scrisse alla lavagna 12 cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\psi,\xi. E ovviamente diede dei nomi ai nuovi simboli: \psi = “sopra” e \xi = “alto”. Questi due corrispondono ai numeri decimali 10 e 11. Fin qui non c'era niente da ridere ma quando scrisse alla lavagna l'operazione \xi 4 + 5 \psi e ci chiese “bene, quanto fa altantaquattro più cinquantasopra?” potete immaginare l'ilarità (e alcune facce basite) degli studenti. Ovviamente per risolvere il quesito si può fare in due modi: o trasformiamo i numeri in decimali, li sommiamo e convertiamo di nuovo oppure li sommiamo in colonna in base 12.

Proviamo a seguire la seconda: la somma delle unità 4 + \psi è come aggiungere una unità a sopra per 4 volte. Quindi \psi \rightarrow \xi \rightarrow 10 \rightarrow 11 \rightarrow 12. Quindi scriviamo 2 e riportiamo 1. La somma delle decine \xi + 5 è come aggiungere una unità ad alto per 5 volte. Quindi \xi \rightarrow 10 \rightarrow 11 \rightarrow 12 \rightarrow 13 \rightarrow 14. Avevamo riportato 1, quindi 15. Perciò il risultato è 152 in base 12.

Controlliamo con l'altro metodo in nostro risultato: altantaquattro (\xi 4) equivale a 11*12 + 4 cioè 136, mentre cinquantasopra (5 \psi) equivale a 5*12 + 10 cioè 70. Se faccio la somma 136+70=206 in base decimale. Ora convertiamolo in base 12. Osserviamo che 12^2 = 144. Perciò 206=1*12^2 +5*12 + 2 = (152)_{12} cioè abbiamo riottenuto lo stesso risultato (e come direbbe un'altra insegnante che ho avuto “e meno male!”).

(Nella versione iniziale di questo paragrafo c'era un errore di notazione, ora e' corretto, grazie a Andrea Ferrer-Pacces per il suo commento su facebook)

Conclusione

E' strano, lo so, ma è anche divertente; in più non è così inusuale come si possa pensare. Infatti, alcune unità di misura inglesi e americane hanno conversioni bizzarre ed alcune anche in base 12. Ad esempio:

1 gallone = 8 pinte = 160 once

1 piede = 12 pollici

1 iarda = 3 piedi

1 miglio = 80 catene

e si può andare avanti ad oltranza!

Spero di avervi divertito con questo post! Alla prossima!!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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1 commento

  1. maurizia's Gravatar maurizia
    giugno 25, 2015    

    geniale!!!

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