Blog divulgativo sulla matematica applicata

La creazione passa per la distruzione... delle certezze: Meccanica Quantistica e Matematica

Neoda

Ciao a tutti, mi presento: mi chiamo Nunzia e, non so voi, ma io sono nel caos più totale. Si può sapere se Darwin aveva ragione oppure no? Sono la cugina di un gorilla?! Beh a vedere certi scimmioni che guastano le serene e festaiole domeniche agli stadi direi proprio di si.

Poi però ti dicono che manca un tassello nell’evoluzione, manca un ominide a completare il puzzle. E allora dicono che ci hanno creato in vitro, gli alieni! E dove sono finiti? Infidi colonizzatori tornate e finite di indottrinarci! Chi sono? Dov’è l’oro? Come finisce il Trono di Spade? ... Calma, calma, lo sanno tutti che siamo creature di Dio. . . che abbiamo peccato, per una mela. Eva, almeno potevi mangiarti un vassoio di bignè al cioccolato con la panna, dico io! Una mela. La donna appena creata s’era già messa a dieta! Maledetta dieta della mela! Una cosa è certa però, ci ha aperto la strada della conoscenza... e chiuso il cancello della vita (eterna) -  per decriptare le mie affermazioni potete leggere la Genesi e/o massacrarvi di video complottistici sugli Anunnaki, Nibiru e quello che volete-.

Ma cosa conosciamo? Io non molto. Il bene e il male, e in mezzo le azioni. Si nasce e si muore, e in mezzo la vita. Le stelle e gli atomi,e in mezzo gli umani. Gli umani che studiano gli atomi e le stelle. In effetti qual è il modo migliore per capire chi siamo e come siamo stati creati se non quello di capire come sono fatti imattoni che formano il nostro corpo, tutta la materia e tutta la non-materia?

LA FISICA DEI QUANTI

Et voilà, i mattoni ultimi di tutta la materia, animata e non, sono gli atomi!

Questi a loro volta sono composti da un nucleo (protoni più neutroni) e da elettroni che gli ruotano attorno, secondo orbite circolari prestabilite, un po’ come i pianeti girano attorno al sole - questo paragone potrà apparire troppo semplicistico per i più esperti visto che le forze che tengono uniti i pianeti al sole sono diverse da quelle che tengono unito l'atomo e che le orbite dei pianeti sono ellittiche mentre quelle degli elettroni non sono del tutto circolari, ma per un primo approccio mi accontenterei di questo modello (ringrazio @Popinga1 per la sua puntualizzazione)-. Gli elettroni e tutte le particelle subatomiche di primo acchito possiamo pensarle dunque come “palline”.

modello_atomo

Ma si comportano veramente come tali? In parte! Vediamo un primo aspetto innovativo del modello. Molto probabilmente saprete che in un atomo ci sono tanti elettroni tanti quanti sono i protoni nel nucleo (il cui numero potere reperire nella tavola periodica degli elementi). Ad esempio il carbonio ha numero atomico pari a 6, cioè ha 6 protoni nel nucleo e 6 elettroni che gli orbitano attorno. Quest’ultimi si dispongono in orbite che possono contenere un numero massimo di elettroni! La prima, più vicina al nucleo, infatti ne può contenere solo 2 e i restanti (4 nel caso del carbonio) si dispongono nella seconda che però rimane incompleta (ne può ospitare al massimo 8) e così via. Quindi in pratica non è consentito agli elettroni di scorazzare liberamente all’interno del guscio atomico. Le orbite sono ben distinte nello spazio. E’ possibile che gli elettroni si spostino da un’orbita all’altra soltanto per effetto della perdita o acquisizione di una quantità ben precisa di energia! Infatti affinché un elettrone passi dalla sua orbita a quella superiore è necessaria somministrare una “pillola” di energia, supponiamo di 10 eV - Per le nanoparticelle l’energia si misura in eV (elettronvolt) anziché Joule date che in quest’ultimo caso si avrebbero valori di energia dell’ordine 10^{-19} se non di meno -.

E se si fornisse 11 eV? L’effetto è quello di prima, elettrone promosso di un’orbita. E con 9 eV? Nulla da fare, deve ripetere la sua orbita attuale. Si parla allora di quanti di energia per indicare i pacchetti di energia acquistati e ceduti dagli elettroni per spostarsi tra queste orbite prestabilite, dette stazionarie.

Uno degli esperimenti più conosciuti per studiare la natura delle particelle è quello di far passare un fascio di elettroni tra due fessure e di collocare un pannello dotato di sensori oltre l’ostacolo. Se gli atomi si comportassero sempre come un corpo rigido dovremmo vedere due “ombre” proprio in corrispondenza delle fessure. Ciò che accade in realtà è che si osserva il passaggio degli elettroni anche in zone dove si presupporrebbe impossibile e che le “ombre” si predispongono a intervalli regolari, tutte le volte che si ripete l’esperimento con lo stesso tipo di particelle subatomiche.

Morale della favola, l’unico modo per spiegare questo comportamento è presupporre che gli elettroni si comportino come onde! Quindi sono onde? Ehm in parte. Sono sia “palline" che onde. Questa caratteristica delle particelle subatomiche, come appunto l’elettrone, viene definita dualismo onda-particella.

INTRODUZIONE ALLA MECCANICA QUANTISTICA

Generalmente un corpo è un oggetto tangibile, palpabile, che seppur spesso considerato puntiforme, possiede una massa m. Il programma della meccanica classica consiste nel determinare la posizione della particella, in ogni istante di tempo, x(t ). Una volta nota questa funzione, possiamo calcolare la velocità  v= \frac{dx(t)}{dt} , la quantità di moto p= mv, l’energia cinetica  T= \frac{1}{2}mv^2   o qualunque altra variabile cinetica che ci interessi. In particolare, nel caso di forze conservative  F=-\frac{\partial V}{\partial x} , ovvero forze esprimibili come la derivata di una funzione energia potenziale, la seconda (famosissima) legge di Newton F=ma (per essere pignoli F_{RIS}=\sum_i F_i=ma) diventa:

 m\frac{d^2x(t)}{dt^2}=-\frac{\partial V}{\partial x},

che insieme ad opportune condizioni iniziali - tipicamente la posizione e la velocità al tempo t=0 - determina x(t ).

Ricapitolando, un corpo è caratterizzato da una massa m, una traiettoria x(t ) da cui ricavare posizione x(t_1) e velocità v=\frac{dx}{dt}(t_1) in ogni istante di tempo t_1.

Un’onda invece è l’effetto della propagazione di energia in un mezzo o nel vuoto. Le onde si dicono trasversali quando le particelle del mezzo in cui si propaga l’onda oscillano perpendicolarmente alla direzione di propagazione oppure longitudinali quando invece le particelle del mezzo oscillano parallelamente alla direzione. In ogni caso vengono anch’esse descritte con l’ausilio di opportune funzioni. Descriviamo ora un particolare tipo di onda trasversale.

Chiameremo funzione d’onda (sinusoidale) la funzione che esprime lo spostamento y dalla posizione di equilibrio di ogni punto sollecitato dall’onda. Essa dipende dal tempo e dallo spazio, cioè dalla posizione del punto, e ha quindi la forma:

y=f(x,t)=Acos(\omega t-kx),

dove A è l’ampiezza dell’onda, cioè la massima variazione dalla posizione di equilibrio, \omega è detta pulsazione mentre k è il numero d’onde. Tutte queste costanti determinano la “morfologia" dell’onda e viceversa. Si noti che il fatto che la funzione d’onda dipenda da 2 variabili rende difficile la sua rappresentazione grafica che viene spesso sintetizzata nelle sue due proiezioni sui piani xy e ty.

Ora torniamo alle nostre particelle subatomiche, il modus operandi nel caso della micro fisica è dettato dalla meccanica quantistica. In questo caso si cerca una funzione detta funzione d’onda \Psi(x,t) della particella che otteniamo dalla soluzione dell’equazione di Schrödinger:

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi +V\Psi,

dove i^2=-1 e \hbar=\frac{h}{2\pi}=1.054573 \cdot 10^{-34}Js è la costante di Planck.

Analogamente date opportune condizioni iniziali - tipicamente \Psi(x,0) - l’equazione di Schrödinger determina \Psi(x, t ). Questa volta però non otteniamo informazioni a 360 gradi sull’onda-particella. Quello che ricaviamo è un’interpretazione statistica (detta di Born) secondo la quale  |\Psi(x, t )|^2 rappresenta la probabilità (vedesi articolo di Maurizia) di trovare la particella nel punto x al tempo t . Questa interpretazione è perfettamente in linea col principio di indeterminazione di Heisenberg: non è possibile conoscere un definito valore della posizione e della velocità, o quantità di moto, nello stesso istante con precisione assoluta.

CONCLUSIONI

Qual è la soluzione al rebus? Ad avercela. . . . Partiamo dal presupposto che quando si modellizza un evento il modello che si propone è solo una copia, più o meno dettagliata, della realtà. Quindi la risposta è che ora il modello ci permette di capire solo alcuni atteggiamenti in determinate condizioni delle nano particelle ma non certo di capirne appieno la loro natura.

Studiare ciò che non è visibile agli occhi è un lavoro difficile , soprattutto se l’occhietto del delfino curioso influenza l’andamento dell’evento stesso, e richiede una forte astrazione, un intuito non dettato da stereotipi e capace di creare dal nulla. In pratica dobbiamo abbandonare tutto ciò che si conoscere ed abbracciare le idee più surreali, nella speranza che tra queste si nasconda la verità!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Similar posts

3 commenti

  1. Francesco's Gravatar Francesco
    luglio 10, 2015    

    Fantastica introduzione anche per newbie sull'argomento come me! Mi piacerebbe se in futuro venissero trattati argomenti riguardo le teorie surreali che circolano attualmente negli ambienti accademici!

    • Nunzia Marotta's Gravatar Nunzia Marotta
      luglio 12, 2015    

      Grazie Francesco, mi fa piacere che l'articolo ti abbia suscitato interesse nell'argomento! Vuoi davvero aprire il vaso di Pandora??... Va bene ma io non risponderò delle conseguenze... ^_^

  2. Onos's Gravatar Onos
    agosto 25, 2015    

    Ciao
    Mi sembra una buona introduzione quella presentata, che esprime concetti riconosciuti.
    Secondo me la fisica del futuro indagherà anche su fenomeni come irradiazioni energetiche dalla materia anche non corrispondenti a salti quantistici, ovvero non corrispondenti ad emissione di fotoni, e alla previsione degli effetti che questi possono avere.
    Per esempio, si può spiegare il dualismo onda corpuscolo di alcune particelle, in determinate condizioni, come l'effetto di campi elettromagnetici prodotti da tutta la materia, anche quella di cui sono costituite le fenditure nell'esperimento riportato? Questo permetterebbe di superare il dualismo e trattare tali particelle solo come corpuscoli, relegando l'effetto ondulatorio all'azione di campi elettromagnetici.

Lascia una risposta

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

È possibile utilizzare questi tag ed attributi XHTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Canale Telegram dedicato alla Matematica

Iscriviti sul nostro canale Telegram

MIA15 - Nomination

Rimani aggiornato sui più interessanti articoli di divulgazione matematica e non solo!

Iscriviti alla nostra newsletter

Resta aggiornato sui nostri post e su quello che facciamo.

Seguici su Twitter

Tag Cloud

Grazie per il sostegno ai #MIA2015

Grazie a tutti per averci votato ai "Macchia Nera Awards 2015" nella categoria "Miglior Sito Tecnico-Divulgativo".

Siamo arrivati in finale grazie al vostro sostegno!

MIA15 - Nomination