Blog divulgativo sulla matematica applicata

La matematica delle epidemie

Le epidemie che hanno flagellato l'uomo nel corso della storia rappresentano un capitolo di grande importanza scientifica, che ha peraltro fortemente influenzato la letteratura fin dai tempi antichi.

la-peste-nera-nobili-vestiti-e-mascheratiTucidide e Lucrezio ci hanno lasciato pagine di grande intensità drammatica, rese continuamente attuali dalle periodiche esplosioni epidemiche che si sono verificate nel tempo fino ai giorni nostri.

La peste soprannominata la 'morte nera' che dal 1347 al 1352 ha terrorizzato l’Europa producendo 25 milioni di vittime sembra ormai lontana, ma i grafici mostrati nella figura sottostante relativi alle vittime di Ebola in Africa di appena un anno fa ci ricordano che le epidemie sono un problema sempre presente.

epidemia-ebola

In questo articolo voglio presentare alcuni semplici modelli matematici per descrivere e prevedere l'andamento della diffusione di certe epidemie.

Alla base dell'elaborazione di tali modelli c'è sicuramente l'analisi statistica: la raccolta dei dati su larga scala e la loro elaborazione ha infatti permesso di sviluppare ipotesi sulla diffusione e sull'evoluzione delle varie malattie, che sono caratterizzate da una particolare periodicità. C’è dunque una struttura temporale la cui analisi spesso porta all'identificazione dei meccanismi che regolano lo sviluppo delle varie epidemie.

Per curiosità al link http://www.census.gov/ipc/www/idb/ sono pubblicati sistematicamente dati relativi alla popolazione mondiale (censimenti, analisi demografiche e dati sulla diffusione di certe infezioni).

Un po' di storia

Uno dei primi scienziati ad occuparsi del problema del controllo e della diffusione delle epidemie fu Daniel Bernoulli (1700-1782).

Nei primi anni del 1700 il problema della diffusione del vaiolo era di grande attualità in quanto colpì pesantemente anche la famiglia reale di Luigi XIV (il Re Sole).

images

Virus del vaiolo

Il matematico-fisico francese, servendosi di un'argomentazione teorica ispirata al modello di crescita esponenziale, mostrò i vantaggi possibili conseguenti da una vaccinazione preventiva che fino ad allora era stata considerata pericolosa per la salute. Le sue idee, esposte nel saggio 'Nuova analisi della mortalità causata dal vaiolo e studio dei vantaggi connessi alla vaccinazione preventiva' (1760), precedono di quasi quaranta anni il lavoro del medico Edward Jenner, noto per l'introduzione del vaccino contro il vaiolo risalente al 1798.

Da quel momento in poi la vaccinazione fu considerata il principale metodo di prevenzione delle epidemie di vaiolo, e fu una delle prime volte in cui la matematica e la medicina iniziarono a parlarsi !!!

Il prototipo da cui è seguito ogni altro modello matematico di evoluzione epidemica risale ai primi del Novecento, ed è dovuto a Kermack e McKendrick, contemporaneo dei modelli di popolazione di Lotka e Volterra. Successivamente questi modelli vengono ripresi e sviluppati a partire dagli anni '70, nel corso della ripresa generale di interesse per i problemi di dinamica delle popolazioni.

Modelli matematici

Nel passaggio dai dati al modello è necessario operare varie semplificazioni. Ad esempio si assume che gli individui di ogni popolazione in esame si possano ritenere identici nel comportamento, trascurando differenze di struttura quali età, sesso, differenze di collocazione geografica e così via.

Una popolazione cui si può applicare l’ipotesi in questione si dice omogenea e il suo stato è determinato solo dal numero di individui presenti; la sua evoluzione è descrivibile quindi con una singola funzione N(t) che ne rappresenta il numero di individui al tempo tAltre ipotesi esemplificative che facciamo sono le seguenti: la popolazione non è soggetta a immigrazioni o emigrazioni, non ci sono tempi di incubazione della malattia, tutti gli individui sono ugualmente contagiosi.

Il significato della derivata

Molto spesso, nei modelli di diffusione di epidemie, è interessante studiare quanto varia velocemente nel tempo il numero di individui della popolazione colpita. Consideriamo dunque la funzione N(t) che rappresenta come abbiamo detto il numero di individui della popolazione in esame all'istante di tempo t; se vogliamo conoscere la variazione del numero di individui rispetto a un certo intervallo di tempo si considera la quantità:

\frac{\Delta N}{\Delta t}=\frac{N(t)-N(t_0)}{t-t_0}.

Poiché ci interessa scrivere un modello che descriva la popolazione istante per instante, supponiamo che N(t) sia derivabile e possiamo scrivere la derivata prima:

N'(t_0)=\displaystyle{\mbox{lim}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta N}{\Delta t}}=\displaystyle{\mbox{lim}_{t\to t_0}\frac{N(t)-N(t_0)}{t-t_0}}

che rappresenta la velocità istantanea di crescita (o decrescita) del numero di individui.

Questa interpretazione cinematica della derivata è alla base di tutte le equazioni che vedremo.

Per descrivere l'evoluzione di malattie infettive possiamo ripartire l'intera popolazione studiata nelle seguenti tre classi epidemiologiche:

  • suscettibili sono gli individui sani passibili di contagio;
  • infettivi sono gli individui malati in grado di trasmettere la malattia per contagio diretto;
  • rimossi sono gli individui che avendo contratto la malattia sono diventati immuni oppure isolati oppure morti.

Le variabili di stato per descrivere la popolazione dunque sono S(t)I(t) e R(t) che rappresentano rispettivamente il numero di suscettibili, infettivi e rimossi al tempo t; poiché all'istante t il numero di individui è N(t), nelle nostre ipotesi sopra fatte, possiamo quindi scrivere N(t) = S(t) + I(t) + R(t).

In realtà le classi epidemiologiche che caratterizzano una malattia possono essere molte di più, ma per semplicità ci limitiamo alle classi sopra elencate. I modelli che presento sono di due tipi: SIS e SIR.

Modelli di tipo SIS

Si tratta dello studio dell'evoluzione di malattie contagiose ma non mortali come ad esempio il raffreddore. SIS sta per suscettibili - infetti - suscettibili poiché la malattia si sviluppa secondo un ciclo chiuso: un individuo sano si infetta per contatto con un malato, a sua volta infetta altri individui sani, poi guarisce ma ritorna suscettibile al contagio.

sis

Non producendosi immunizzazione, la classe dei suscettibili è continuamente alimentata dagli infetti che guariscono. Nella figura a lato le funzioni a(t) e b(t) denotano rispettivamente il tasso pro capite al quale gli individui suscettibili diventano infettivi e il tasso al quale gli infettivi guariscono. Il modello SIS è descritto dal seguente sistema di equazioni differenziali:

eqSIS

Per semplicità abbiamo supposto i tassi a e b costanti. L'analisi matematica di queste equazioni è piuttosto elaborata!

Per comprendere il fenomeno riportiamo la rappresentazione grafica delle soluzioni del sistema nella figura sottostante:

grafSISe

Soluzione del modello SIS

Ci sono due possibili scenari: o la malattia si estingue nel tempo oppure diventa endemica (cioè il numero di infetti si stabilizza nel tempo a un valore asintotico). Queste possibilità dipendono dalla relazione che lega il numero iniziale di individui (indicato con N) al valore soglia indicato con T=b/a.

Modelli di tipo SIR

Supponiamo di essere in presenza di una malattia infettiva tale che i malati o muoino o diventano immuni e non ritornano suscettibili alla malattia. Malattie di questo tipo sono ad esempio il morbillo, la peste e l'AIDS.

In questo caso il decorso è rasirppresentato dall'acronimo SIR, che sta per suscettibili - infetti - rimossi.

Il modello SIR è descritto dal seguente sistema di equazioni differenziali:

eqSIR

Si tratta di nuovo di un complesso sistema di equazioni differenziali ordinarie  ma ... niente paura !!!!

Infatti non ci occupiamo del suo studio analitico ma riportiamo infatti solo l'andamento grafico qualitativo delle soluzioni nella diagramma sottostante:

grfSIR

Soluzioni del modello SIR

Dunque di nuovo ci sono due possibili scenari: se il numero iniziale di suscettibili è inferiore al valore soglia T (sopra introdotto) allora l'epidemia non si innesca e il numero di infetti decresce fino ad annullarsi. Nell'altro caso invece il numero di individui infettivi inizialmente cresce (si innesca cioè una epidemia), raggiunge un massimo e poi, quando la popolazione suscettibile è stata sufficientemente ridimensionata, l'epidemia si attenua fino all'estinzione della malattia.

Uno scenario apocalittico....attenti agli zombies!

Il matematico P. Munz della Carleton University nel 2009 ha messo insieme una ricerca basata sull'utilizzo del modello SIR per creare un modello matematico per le invasioni di zombies che vediamo nei film!!!

images

Una scena dietro le quinte del telefilm cult 'The walking dead'.

Nel suo articolo “When Zombies Attack!: Mathematical Modeling of an Outbreak of Zombie Infection” l'idea di fondo è che in effetti il morso di uno zombie rende infetto e poi 'rimosso' un individuo suscettibile.

Successivamente queste bizzarre applicazioni del modello SIR sono state studiate e 'migliorate' dagli scienziati Witkowski e Blais come si può leggere in questo articolo http://motherboard.vice.com/it/blog/matematica-come-sopravvivere-apocalisse-zombie.

A tal proposito consigliamo pure la visione dei questo video https://www.youtube.com/watch?v=xGq4DU0GFb8 dedicato proprio alla....matematica degli zombies !!!!!

Approfondimenti e fonti

Fonti: G Gaeta, Modelli matematici in biologia, Springer

J.D. Murray, Mathematical Biology, Springer.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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