Blog divulgativo sulla matematica applicata

La matematica e la fisica dei RADAR (parte1): tra meteo, multe e allarmi antiaereo

Cosa hanno in comune un allarme antiaereo che suona in una notte londinese del 1942,radar_multa_eccesso_velicita
una multa per eccesso di velocità e le previsioni del tempo ?

Un minuto per pensarci.

Driiiin! Tempo scaduto.

La risposta è: si basano tutti sullo stesso sensore, il RADAR (nel quiz: radar di sorveglianza aerea, radar Doppler e radar meteorologico).

A chi non avesse indovinato suggerisco almeno di leggere i titoli dei post con maggiore attenzione ...

Per essere precisi, il RADAR (RAdio Detection And Ranging) non è l'unico sensore attivo che si basa sul principio fisico di inviare un'onda e misurare l'eco riflesso dall'eventuale ostacolo (da cui il significato del termine: attivo). Nella terza parte esamineremo brevemente anche il SONAR (SOund Navigation And Ranging) che invia un'onda acustica e il LIDAR (LIght Detection And Ranging) che invia un fascio laser.

Poiché comunque rispondono allo stesso principio di funzionamento e soddisfano identiche equazioni (cambia soltanto la lunghezza d'onda della sorgente) li considereremo da qui in poi equivalenti; le differenze sono soltanto di natura tecnica e (soprattutto) applicativa.

Qui di seguito inserisco un indice degli argomenti trattati. Per la seconda e terza parte dovrete aspettare i prossimi post che saranno pubblicati a breve (quindi tornate a trovarci!)

Indice

  • Prima parte: Funzionamento
  • Seconda parte: Matematica 
    • L'Equazione Radar
    • Esempi sull'uso dell'Equazione Radar
  • Terza parte: Applicazioni 
    • La Radar Cross Section (R.C.S.)
    • L'invisibilità al radar
    • La Radar Signature
    • Tipologie di radar e applicazioni
    • Il Radar Meteorologico
    • Il Radar per Telerilevamento
    • Conclusioni

Guerra e Pace. Breve storia del Radar

Hertz_Marconi_Tesla

Il principio che un'onda elettromagnetica potesse essere ricevuta e riflessa (tutta o in parte) da un oggetto solido era stato teorizzato da Maxwell e venne sperimentato, tra gli altri, da Hertz (1886), Marconi (1897) e Tesla (1900). In realtà si trattava solo di speculazioni accademiche senza applicazione, poiché la scarsa potenza e pessima qualità di antenne e trasmettitori non permetteva la propagazione dell'onda riflessa oltre il chilometro.

Fu dagli anni '30 che iniziò lo sviluppo del radar moderno; gli americani investirono molto nella ricerca e sperimentazione profonda e sistematica (presso i laboratori del NRL, l'istituto di ricerca della marina); data la loro iniziale posizione di neutralità nella seconda guerra mondiale, comunque, il loro progetto andò un po' a rilento.

la matematica e la fisica dei RADAR: Watson-Watt

Immagine del Britannico Sir Watson-Watt pioniere della tecnologia RADAR

Al contrario, i britannici si mossero in ritardo e un po' disordinatamente, ma con lo stimolo e l'ostinazione di dover contrastare i temuti bombardamenti tedeschi ottennero da subito buoni risultati. Tra questi citeremo anche il tentativo fallito di Sir Robert Watson-Watt di costruire un' "onda radio di morte" (1935) per fulminare in volo gli aerei tedeschi: infatti il suo trasmettitore ad alta potenza si dimostrò efficacissimo nel rilevarli, e Watson-Watt è oggi annoverato tra i pionieri della tecnologia radar.

L'idea del raggio della morte è  poi entrata nell'immaginario collettivo, ed è stata ripresa innumerevoli volte nella fantascienza, oggi come negli anni '40 (come si vede dalle figure che seguono).

raggio_morte_death_ray_zagor

Già nel 1937 l'Inghilterra pullulava di radar di ogni tipo, e dal 1938 gli inglesi iniziarono, per primi, ad installarli sistematicamente a bordo degli aerei più grandi. E' dello stesso periodo l'introduzione sui velivoli del radar-altimetro, un geniale strumento di navigazione che determina l'altezza dal suolo inviando un'onda radar verso il terreno e misurando il ritardo (il "bersaglio" è il terreno sottostante); si usa ancora oggi. Il maggiore problema in questi anni rimane negli oscillatori e negli amplificatori di segnale, costruiti con valvole spesso rudimentali, che limitavano di molto le frequenze (e le potenze) disponibili.

Infine, è del 1940 il perfezionamento del diodo/oscillatore di potenza Magnetron a cavità multiple che ha permesso finalmente l'invio di segnali a frequenze elevate e a potenze superiori al kW. (Nota, ancora oggi è usato nella quasi totalità dei forni a microonde).

A chi fosse poco pratico di elettronica delle alte potenze, segnalo che gli amplificatori di potenza utilizzati nei radar più grandi (si arriva ai MW) sono tuttora costruiti perfezionando i tubi a vuoto brevettati negli anni '30-'40 (Klystron, TWT, oltre al citato oscillatore Magnetron) e raffreddati per mezzo di radiatori a liquido. I moderni transistor al silicio usati negli Hi-Fi più alla moda vaporizzerebbero se provassero ad erogare le potenze richieste dai radar ...

I primissimi display usati per i radar erano... delle cuffie acustiche, infatti gli operatoriradar-silent-weapon-wwii-october-1945
"ascoltavano" la riflessione dell'onda sugli eventuali aerei nemici. Successivamente si utilizzarono degli oscilloscopi riadattati. In breve tempo, durante il periodo bellico 1935-1945, il radar divenne l'apice della tecnologia dell'epoca, analogo a quello che oggi potrebbero essere i supercomputer o le missioni spaziali.

Lo stesso Alan Turing, grande matematico ma anche profondo conoscitore delle tecnologie della sua epoca era esperto di radar. Nel 1945, dovendo realizzare il prototipo di uno dei primissimi calcolatori, non essendo stati ancora inventati i negozi di elettronica dissezionò un radar e riutilizzò il display a tubo catodico, le valvole a bassa potenza e le memorie (che all'epoca erano analogiche, tipicamente delay line acustiche). Quindi il primo computer di Turing altro non era che un radar dotato di logica ...

Oggi i radar sono usati nella la navigazione aerea e marittima, a qualsiasi livello. Ma anche nelle automobili (persino nelle biciclette) ed in una gamma sempre maggiore di sensori e strumenti. Ne analizzeremo alcuni nella terza parte.

Il ranging. La relazione tempo-distanza

Un esempio di RADAR: visto che durante le mie ferie stavo scrivendo questo post non ho potuto fare a meno di fotografare questo RADAR incontrato all'aeroporto di Olbia

Un esempio di RADAR: durante le mie ferie stavo scrivendo questo post e non ho potuto fare a meno di fotografare questo RADAR incontrato all'aeroporto di Olbia

Nella sua forma più elementare, un radar è costituito da quattro entità:

  • Un oscillatore, generalmente di elevata potenza (o equivalentemente un oscillatore seguito da un amplificatore di potenza)
  • Un'antenna, che trasmette il segnale continuo o impulsato prodotti dall'oscillatore
  • Una seconda antenna (che può anche coincidere con la precedente) che intercetta il segnale riflesso dall'eventuale ostacolo (detto eco) e lo invia al ricevitore
  • Un ricevitore ad elevato guadagno.

 La forma d'onda più semplice (e anche la più comune e la prima ad essere stata usata) è una semplice oscillazione sinusoidale inviata per un breve intervallo temporale (ovvero, un treno d'onda a frequenza costante). L'eventuale ostacolo rifletterà il segnale incidente, che tornerà indietro al ricevitore dopo un tempo Δt.

A velocità costante vale la semplice relazione:

s = v⋅Δt 

dove s è la distanza complessiva percorsa dall'onda (nel suo tragitto di andata e ritorno) e v è la sua velocità di propagazione (che per un'onda elettromagnetica nel vuoto è pari a c, 3⋅108 m/s).

radar_chap1_pic2

In termini radar la relazione sopra si chiama misura di ranging e differisce per un fattore 2 dall'equazione scritta sui libri di fisica:

R = c (Δt/2) = (c/2) Δt 

Dove R, range, è per definizione la distanza dell'ostacolo (detto "target") e il tempo viene dimezzato per tenere conto di uno solo dei due tragitti dell'onda, ipoteticamente identici per bersagli fermi o in lento movimento (percorso di andata: onda incidente, percorso di ritorno: eco). La relazione sopra determina anche una proporzionalità fissa (con costante c/2) tra tempo e distanza. Infatti è chiamata relazione (o equivalenza) tempo-distanza.

Il risultato è che nel linguaggio radar è indifferente dire che il target ha un range di "150 metri" o di "1 μsecondo".

Ovviamente un trasmettitore che inviasse un unico segnale al target non avrebbe utilità pratica: dopo un certo tempo il segnale deve essere ri-trasmesso, per aggiornare numero e posizione dei target. Definiamo TR il periodo di ripetizione dell'impulso (anche chiamato PRT, Pulse-Repetiton Time. Il suo reciproco PRT -1 è chiamato PRF).

E' facile intuire che la ripetizione degli impulsi dà luogo ad una indeterminazione (o ambiguità) in range, pari proprio al PRT.

Supponiamo infatti di inviare ripetutamente un impulso ai tempi: 0, TR, 2⋅TR e soltanto dopo quest'ultimo di ricevere l'eco riflesso, con un ritardo rispetto al suo invio pari a Δt. Poiché gli impulsi sono identici è impossibile affermare che la riflessione ricevuta sia quella della terza onda (che ha viaggiato per un tempo totale Δt), oppure della seconda (che ha viaggiato per un tempo totale più lungo, TR+Δt) o addirittura della prima (che ha viaggiato per un tempo totale ancora più lungo: 2⋅TR+Δt).

Per cui la relazione precedente dovrebbe essere scritta in aritmetica modulare:

R ≡ (c/2)⋅Δt  modulo TR

 Per fortuna degli ingegneri (che non sanno risolvere le equazioni modulari...) e degli operatori che usano i radar (che, per l'ambiguità in range, non potrebbero distinguere un target distante 1800 m da uno distante, ad esempio, 5 Km) la potenza del segnale ricevuto si attenua fortemente con la distanza. Andando rapidamente al di sotto della soglia minima di potenza necessaria al ricevitore (detta sensibilità).

Quindi ciò che generalmente succede è di fissare a priori il massimo range rilevabile (RMAX, definita portata massima del radar), che è funzione solo della potenza in trasmissione e della sensibilità del ricevitore al target atteso. Per definizione, nessun target con range maggiore di RMAX (quindi, fuori portata) può inviare un eco che il radar è in grado di ricevere.

Vedremo nel prossimo articolo come si ottiene RMAX.

Supponendo di aver fissato RMAX possiamo calcolare facilmente il periodo minimo di ripetizione dell'impulso per non avere ambiguità. Basta scrivere la relazione tempo-distanza:

RMAX = (c/2)⋅Tunamb
 ed invertirla per estrarre Tunamb :

Tunamb = (2/c)⋅RMAX
 Per cui, scegliendo come periodo di ripetizione TR ≥ Tunamb la misura di range di un radar che invia impulsi con periodo TR non presenta ambiguità (oltre una certa distanza, gli echi non sono ricevibili) e può sparire l'operatore di modulo:

R = c⋅(Δt/2) = (c/2)⋅Δt  (purché TR ≥ Tunamb)
 Esempio: se la portata di un radar nautico è di 10 miglia (∼16 Km), per avere un ranging non ambiguo occorrerà fissare il periodo di ripetizione dell'impulso non inferiore a 123 μs

L'azimut

Affinché il radar possa avere una utilità pratica, la misura di range è necessaria ma generalmente non sufficiente. Occorre anche determinare la direzione del target, cioè la sua posizione angolare, o azimut, di solito espressa rispetto al Nord (o ad un riferimento fisso preso sul radar) tipicamente in senso orario.

Questo richiede che l'antenna del radar possa ruotare e che sia direttiva.

La rotazione dell'antenna avviene grazie ad un semplice motore posto alla base del radar (complicando non poco il passaggio delle cablature alle parti fisse). La velocità di rotazione è generalmente dell'ordine di qualche decina di giri/min (RPM).

La velocità è ovviamente funzione del PRT, in quanto l'eventuale target deve avere il tempo di essere irradiato dall'onda incidente ed inviare al ricevitore l'eco prima che il motore orienti l'antenna verso nuovi target. Non solo, generalmente un target deve venire irradiato da più di un impulso, di modo che i diversi campioni vengono integrati (sommati) e mediati nel tempo. Questo perché l'eco del singolo impulso potrebbe essere affetto da disturbi aleatori o rumore, e disporre di un unico campione porterebbe ad avere un rapporto segnale/rumore (SNR) inaccettabilmente basso. Indichiamo con NP il numero di impulsi in ingresso all'integratore. L'ordine di grandezza di NP è qualche decina di campioni almeno.

Un'antenna è definitiva direttiva se è in grado di concentrare parte della potenza emessa entro una porzione angolare stretta e ben definita. Le antenne più comuni neiRADAR a ventaglio radar_chap1_pic1radar_coverage radar sono quelle con fascio "a ventaglio"  in cui il lobo principale ha un'apertura angolare Δθ che misura qualche grado e il suo fascio è schematizzabile come la fetta di una torta circolare. Per effetto del motore, la "fetta" viene ruotata illuminando nuovi target. La risoluzione in azimut, cioè la possibilità di distinguere due bersagli separati, coincide esattamente con l'apertura angolare del fascio: infatti lo spazio radar viene diviso in sezioni (tante quante ne servono a coprire l'angolo giro, cioè 360/Δθ) e una sezione risulta "libera" se è priva di target e "occupata" se all'interno cade almeno un target o anche più di uno (il numero non è determinabile). Non è infatti possibile distinguere più di un target all'interno dello stesso fascio di apertura Δθ.

Per concludere, tutti avrete visto almeno al cinema lo schermo di un radar, che è sempre perfettamente circolare, non rettangolare come gli schermi dei computer. Sapendo come funziona un radar, appare naturale che il display sia circolare con il radar posto al centro: infatti la posizione del target è calcolata dal radar direttamente in coordinate polari (ρ, θ) senza bisogno di nessuna conversione cartesiana ! La distanza dal centro (ρ in coordinate polari) è il range R del target e l'azimut, cioè la posizione θA dell'antenna nel momento in cui è stato ricevuto l'eco, altro non è che l'omologo angolo delle coordinate polari (l'unica differenza è sul verso di rotazione, per cui: θ = 360 - θA).

Il radar è a tutti gli effetti un "calcolatore analogico della posizione dei target funzionante in coordinate polari".

Esempio:

Un radar nautico con antenna a ventaglio ha una risoluzione in azimut di 2° ed una portata di 15 Km. Calcoliamo la PRF e la velocità di rotazione dell'antenna per poter mediare su almeno 50 impulsi.

Dalla relazione tempo/distanza: TR = (2/c)⋅RMAX = 100 μs, PRF = (PRT) -1 = 10 KHz.

Poiché l'apertura angolare Δθ dell'antenna (che coincide con la risoluzione in azimut) è di 2°, lo spazio attorno al radar risulta diviso in 180 settori. In ciascun settore il radar deve avere il tempo di inviare e ricevere almeno NR impulsi (50), corrispondente ad un intervallo minimo di: TR⋅NR = 5⋅10-3 s. In totale quindi il tempo per compiere l'angolo giro è di: 180⋅(5⋅10-3) = 0.9 s, pari ad una velocità di 66 RPM.

L'elevazione

Con lo stesso ragionamento fatto per l'azimut, per molte applicazioni può essere utile disporre di un'ulteriore parametro posizionale del target oltre al ranging ed eventualmente all'azimut: l'elevazione.

L'elevazione ε è definita come l'angolo tra il piano dell'orizzonte radar e la linea di vista del target, misurato sul piano verticale. Non va confusa con l'altitudine (h), generalmente misurata sul livello del mare. Un radar in grado di misurare ranging, azimut ed elevazione è anche detto 3-D.

Per poter misurare l'elevazione, l'antenna del radar deve potersi spostare lungo il piano verticale e deve essere direttiva in elevazione.

Sebbene alcuni radar, detti height-finders, potessero misurare solamente ranging ed elevazione (con un antenna direttiva solamente lungo questa direzione, il cui fascio è sostanzialmente un toroide sezionato), tali radar, non sono più in uso da decenni. La totalità dei radar moderni misurano ranging e azimut (2-D), oppure sono tridimensionali. Fanno eccezione radar/sensori per applicazioni industriali (misurare l'altezza di un oggetto in modo automatico, ad esempio).

Un'antenna direttiva in azimut ed elevazione ha un fascio sostanzialmente piramidale, con apertura angolare in azimut Δθ ed in elevazione Δε.

Per effettuare una scansione tridimensionale completa dello spazio utile, l'antenna dovrà compiere una prima scansione bidimensionale in azimut ad una certa elevazione iniziale ε0, poi ripeterla ad elevazione ε1 = (ε0+Δε) e così via. In pratica l'antenna avrà un movimento a spirale attorno al proprio asse di rotazione. Il periodo totale di scansione sarà uguale al periodo per compiere una rotazione bidimensionale moltiplicato per il numero di campionamenti in elevazione richiesti dall'applicazione.

Per concludere, la scansione in elevazione si può effettuare muovendo meccanicamente l'antenna (come avviene per le scansioni in azimut e come descritto sopra), oppure tenendo ferma l'antenna e deformando il suo fascio. Tali antenne, comunemente usate in tutti i moderni radar 3-D si chiamano antenne elettroniche; da cui il termine: electronic elevation-scanning.

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Esempio di phased array antenna

Un'antenna elettronica è tipicamente costituita da array indipendenti; la forma del fascio viene ottenuta per interferenza costruttiva e distruttiva degli elementi dell'array; non richiede parti meccaniche e permette di riposizionare il fascio in pochi millisecondi.

Chiudiamo qui questo primo articolo.
Il prossimo sarà un pochino più complesso. Descriveremo l'Equazione Radar, parleremo dei target (...che non sono tutti uguali!) ed impareremo a valutare le prestazioni di un apparato dalle sue specifiche.
A presto!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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