Blog divulgativo sulla matematica applicata

La matematica e la fisica dei RADAR (parte2): tra radar cross section, aerei invisibili e droni

Eccoci tornati a parlare di RADAR. Sono sicuro che dopo ilRadome2 precedente post tutti voi ora saprete ciò che accomuna cose apparentemente diverse come le previsioni meteorologiche, una multa per eccesso di velocità e l'avvistamento a distanza di un aereo.

Dopo avervi incuriosito, però, è arrivato il momento di andare un po' più in profondità ad analizzare la matematica che c'è dietro.

In questa seconda parte della nostra trattazione sui radar descriveremo le equazioni matematiche soddisfatte da un sistema radar, con adeguate semplificazioni ma senza trascurare ciò che è importante per poter fare i calcoli.

Per aiutare tutti a mantenere il filo del discorso inserisco nuovamente l'indice degli argomenti che tratterò

Indice

L'Equazione Radar

marine_radar_antenna

Abbiamo introdotto in precedenza il problema dell'ambiguità in range, dovuta alla ripetizione degli impulsi con periodo (PRT) pari a TR.
Fortunatamente è sufficiente scegliere un periodo maggiore della portata del radar (questa frase potrebbe fare inorridire qualunque fisico, ma come già detto nel radar tempo e spazio sono intercambiabili...) per evitare ambiguità. Ma qual è la portata di un radar ?

Per calcolare la portata del radar RMAX è necessario legare in qualche modo la potenza del trasmettitore (perfettamente nota) con la potenza del segnale ricevuto dall'eventuale target e confrontarla con la sensibilità del ricevitore; infatti è questo che deve rilevare la presenza del target.

Riassumendo, la portata è intrinseca al ricevitore, ma a sua volta la potenza del segnale ricevuto dipende dal trasmettitore, dalla distanza e dalle caratteristiche del target (oltre che dalle condizioni di propagazione dalle perdite e dal rumore ambientale, che però trascureremo per semplicità).

Sia Pt la potenza in trasmissione di un'antenna ideale (antenna isotropica) che trasmette un'onda elettromagnetica che si propaga uniformemente in tutte le direzioni. Ad una certa distanza R, la densità di potenza Su (potenza per unità di superficie, che è poi una sfera di raggio R) risulta semplicemente:

 S_u = \frac{P_t}{4\pi R^2}

Supponendo di utilizzare un'antenna direttiva ovvero in grado di concentrare la potenza su una direzione specifica (la direzione del target), sia G l'incremento di potenza lungo quella direzione (lungo le altre direzioni la potenza dispersa sarà nulla o trascurabile):

S_g=S_u G = \frac{P_t G}{4\pi R^2}

un target a distanza R intercetterà l'onda incidente con densità di potenza Sg e la ri-irradierà in direzione del radar. Se la superficie (detta "assoluta") del target è A si potrebbe pensare che la potenza totale ricevuta (e, in condizioni ideali, ri-irradiata) dal target sia semplicemente:

Pirr = Sg A

In effetti però solo una parte della potenza incidente verrà riflessa dal target lungo la direzione del radar (l'unica utile ai fini della ricezione); una parte verrà assorbita, una parte verrà riflessa lungo direzioni differenti e così via.

Definiamo Radar Cross Section (R.C.S.) e indichiamo con σ (unità di misura: m2) la superficie equivalente del target così come viene visto dal radar. Si tratta a tutti gli effetti dell'area elettromagnetica equivalente del target rispetto al radar. Per la sua importanza verrà trattata più dettagliatamente in un prossimo paragrafo. Occorre ricordare che G e σ sono funzione della frequenza del segnale radar incidente, che è tipicamente un parametro costruttivo.
Quindi in effetti: G = G(λRADAR) e σ = σ(λRADAR).

Dalla definizione di superficie equivalente della R.C.S., risulta che la potenza totale effettivamente re-irradiata dal target dipende da questa e non dalla superficie assoluta A:

 P_{irr}= S_g\sigma = \frac{P_t G\sigma}{4 \pi R^2}

B-2_Spirit_original

Facendo uso di vernici conduttive e superfici sfaccettate, i velivoli stealth permettono di ottenere una cross-section veramente minima

 

Ragionando come in precedenza, la potenza per unità di superficie ri-irradiata da un target a distanza R risulta:

 S_{irr} = \frac{P_t G \sigma}{(4 \pi R^2)(4 \pi R^2)}

e la potenza totale ricevuta dall'antenna posta sul radar, supponendo che abbia un'area effettiva Ae risulta:

 P_r = S_{irr} A_e = \frac{P_t G \sigma A_e}{(4 \pi)^2 R^4}

L'equazione qui sopra per la sua importanza prende il nome di Equazione Radar. Descrive il comportamento in range del radar in funzione solo del target e dei parametri costruttivi (quindi, noti a priori).

Questa equazione ha diverse interpretazioni.

In forma diretta fornisce la potenza dell'eco ricevuto da un target posto ad una certa distanza R. Fissando come distanza la massima possibile (RMAX, massimo range richiesto da specifica) permette di calcolare la potenza dell'eco in questa condizione, PrMIN. E su questa deve essere dimensionato il ricevitore del radar:

 P_{r_{MIN}} = \frac{P_t G \sigma A_e}{(4 \pi)^2 R_{MAX}^4} (1)

Viceversa, fissando a priori PrMIN, minima potenza ammissibile di un segnale in ricezione (detta sensibilità del ricevitore) e risolvendola per R si può calcolare RMAX, la portata ottenuta dal radar:

 R_{MAX}= \frac{(P_t G A_e)^{1/4}}{((4 \pi)^2 P_{r_{MIN}})^{1/4} } \cdot \sigma ^{1/4} = const_{RADAR} \cdot \sigma^{1/4} (2)

che permette di rispondere alla domanda iniziale: determinare la portata di un radar (RMAX) in funzione solo dei parametri costruttivi e dei suoi tipici target.

Infine, risolvendo l'equazione (1) per σ si ottiene la terza interpretazione:

 \sigma_{min}= \frac{P_{r_{MIN}} (4\pi)^2R_{MAX}^4}{P_t G A_e} (3)

 che rappresenta la cross-section minima rilevabile nelle condizioni peggiori (massima distanza, potenza in ricezione uguale alla sensibilità del ricevitore, PrMIN).

Esempi sull'uso dell'equazione RADAR

Alcuni esempi per apprezzare l'importanza dell'equazione radar scritta nelle sue varie forme:

1. Supponiamo di avere un radar di sorveglianza con i seguenti parametri: Pt = 10kW, G = 1000, Ae = 10m2, TR = 60μs.

Calcoliamo la minima sensibilità richiesta dal ricevitore nel caso in cui il più piccolo target da rilevare abbia dimensione: σMIN = 10m2.

Dalla relazione tempo-distanza, la portata di questo radar risulta: RMAX = (c/2)⋅TR = 9Km. Dall'equazione (1) si ricava PrMIN= 9.65⋅10-10 W = -60dBm.
Che non richiede un ricevitore particolarmente complesso.

2. Supponiamo di aver dimensionato un radar aeroportuale con sensibilità del ricevitore PrMIN di -70dBm (10-10 W), Pt = 40kW, G = 250, Ae=10m2.
A che distanza massima la torre di controllo è in grado di intercettare un aereo ultraleggero (σ ≈ 1m2) pilotato da qualche scriteriato, scongiurando un incidente aereo?

Dall'equazione (2) la costante numerica associata al dimensionamento del nostro radar risulta 8900. Da cui si ottiene RMAX = 8.9 Km.
Poiché il divieto di sorvolo scatta entro i 5 Km, siamo perfettamente attrezzati per la rilevazione.

2.1. E se in volo ci fosse anche un drone (σ ≈ 0.01m2) pilotato a distanza dal figlio dello scriteriato, che riprende un video per YouTube ?

smart-drone

Ancora dall'equazione (2) la distanza minima a cui il piccolo drone viene rilevato è sotto i 3 Km, quindi già all'interno della zona di rischio dei 5 Km.

Questo dimostra la pericolosità dei droni per la sicurezza del traffico aereo.

3. Supponiamo infine di avere un radar nautico con portata RMAX di 30Km e sensibilità in ricezione PrMIN di -80dBm (10-11 W). Gli altri parametri sono: Pt=20kW, G=1000, Ae=5m2.

Calcoliamo la dimensione della più piccola imbarcazione rilevabile alla massima distanza RMAX.

Dall'equazione (3) si ricava facilmente: σMIN = 12.79 m2, corrispondente per dimensione ad un peschereccio.
Questo spiega perché sia così difficile individuare i piccoli motoscafi (σ ≤ 2 m2) su cui si spostano trafficanti e pirati oceanici.

Per oggi terminiamo qui. Mi auguro che le formule non vi abbiano spaventato... ma per la sua versatilità l'equazione radar non poteva essere tralasciata.
In compenso, avete acquisito abbastanza conoscenze da saper modificare il piccolo sensore di distanza fornito con le LEGO e costruire un radar di sorveglianza da far invidia a Fiumicino ...!

Nella terza e ultima puntata impareremo a diventare invisibili e vedremo alcune comuni (ma non sempre conosciute) applicazioni del radar.
Prometto che non introdurremo nuove formule.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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