Blog divulgativo sulla matematica applicata

Distanza euclidee e non: la proposta francese di andare al lavoro in bici, i tassisti e il concetto matematico di distanza

francia_in_bicicletta_al_lavoro

Qualche giorno fa, chiacchierando con alcuni colleghi in ufficio la discussione è presto caduta su una nuova legge approvata dal parlamento Francese su invito del ministro dell'economia d'oltralpe Ségolèn Royal.

In breve, la legge prevede un rimborso monetario da parte delle aziende ai loro dipendenti che si recano a lavoro in bicicletta in funzione della distanza percorsa.

Dopo un attimo di esitazione, quasi contemporaneamente, a tutti è balenata in mente la stessa domanda “Come viene calcolata la distanza percorsa?” La risposta, giunta in modo ancora più repentino, ci ha lasciato tutti a bocca aperta “Viene considerata la distanza più breve”. Ancora una volta si pone il problema di come calcolare la distanza tra due punti nello spazio.

Il modo più semplice e rapido per calcolare la distanza tra due punti è mediante quella che viene definita distanza Euclidea. Per capire come essa funzioni immaginiamo un dipendente di un azienda che viva in un punto A situato ad una certa distanza dall'azienda stessa posta nel punto B. Supponiamo che tra il punto A e il punto B vi sia un vasto prato senza alberi ne costruzioni. Il dipendente che la mattina vorrebbe recarsi da casa verso lavoro si muoverebbe dritto dal punto A al punto B fiducioso del fatto che la strada diretta sia anche quella più breve. Tale distanza è proprio la distanza Euclidea tra i due punti e coincide con la lunghezza di un segmento di retta che unisce i due punti.

Immagine_1

Per chiarire le idee supponiamo di avere dei riferimenti, in particolare facciamo ricorso ad un sistema di riferimento cartesiano monometrico ortogonale. In tale sistema di riferimento, rispetto ad un punto arbitrario chiamato origine del sistema sia il punto A che il punto B avranno delle specifiche coordinate.

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La distanza tra i due punti può essere scritta come

d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}

davvero molto semplice.

Non c'è solo la distanza Euclidea

Supponiamo ora che, per opera del processo di civilizzazione, tra la casa del nostro amico e l'azienda in cui lavora vengano costruiti degli edifici. Il nostro amico non potrà più recarsi a lavoro muovendosi in linea retta da casa sua (il punto A) fino alla sua azienda (il punto B); esso dovrà seguire il percorso libero tra gli edifici.

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Il nostro amico dovrà ora percorrere tre blocchi in direzione orizzontale e due blocchi in direzione verticale. Per lui, ora, questa è la distanza più breve tra casa sua e la sua azienda (un vero colpo per l'azienda che deve rimborsare il dipendente in base ai chilometri percorsi). Tale distanza prende il nome di distanza del tassista o anche di distanza Manhattan. Ritornando al nostro sistema di riferimento possiamo scriverla come

d=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|

Ma al giorno d'oggi, si sa, l'economia non procede spedita come una volta e la nostra fantomatica azienda decide di rimborsare al nostro amico solo la distanza maggiore percorsa lungo i blocchi orizzontale o verticale che sia. Questa condizione definisce un nuovo tipo di distanza detta distanza dell'infinito e nel nostro riferimento cartesiano si scriverebbe come

d=max(|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|)

In questo modo per l'azienda sarebbe certamente conveniente in quanto la distanza dell'infinito risulta essere inferiore alla distanza del tassista e anche a quella Euclidea.

La nostra azienda potrebbe risparmiare ulteriormente pagando ancora meno il suo dipendente? Certo che potrebbe; potrebbe farlo rimborsando la distanza, orizzontale o verticale che sia, minore percorsa. Questa misura di distanza si definisce distanza del minimo e si scriverebbe come

d=min(|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|)

Come abbiamo visto esistono numerosi modi per misurare la distanza tra due stessi punti. Qui sorge il vero dilemma. Quale di questi metodi è quello più corretto? Uno di questi metodi risulta essere più valido degli altri? E, in definitiva, quanti altri modi esistono per definire la distanza tra due punti?

Possiamo fare un piccolo sforzo di immaginazione e rispondere all'ultima domanda. Esistono infiniti modi per misurare la distanza tra due punti. In generale, da un punto di vista matematico, qualsiasi equazione che coinvolga la differenza tra coordinate di due punti è una distanza. Questa risposta, però, solleva molti più dubbi di quanti ne risolva e rende ancora più pressante la necessità di stabilire quale tra queste infinite distanze sia quella corretta.

In generale non è possibile definire una distanza corretta ne, tanto meno, stabilire quale sia il modo migliore di misurare una distanza. Quello che possiamo fare è definire alcuni criteri basilari che una distanza deve rispettare.

Essa deve essere definita positiva. Intuitivamente la distanza tra due punti non può essere minore di zero (non vorremmo che debba essere il nostro amico a rimborsare l'azienda).

Essa può essere al più nulla se i due punti sono coincidenti. Qui sorge un problema, la distanza del minimo non rispetta questa condizione. Supponiamo che il nostro amico cambi abitazione cosi che ora si trovi nella stessa strada della sua azienda. Orizzontalmente dovrà sempre percorrere tre blocchi mentre ne dovrà percorrere zero verticalmente.

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In questo caso la distanza del minimo tra la sua abitazione e la sua azienda sarebbe nulla. Una vera manna dal cielo per l'azienda che non dovrebbe rimborsare nulla. Purtroppo, per tale motivo, la distanza del minimo non è una misura di distanza accettabile.

La misura di distanza tra il punto A e il punto B deve essere la stessa indipendentemente dal fatto che ci si rechi da A a B o viceversa. Ovvero possiamo affermare, sempre in modo molto intuitivo, che la misura di distanza deve essere simmetrica.

Infine supponiamo che il nostro amico, una volta uscito di casa, prima di recarsi a lavoro accompagni i bambini a scuola che è situata nel punto C.

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Se la scuola si trova sulla strada che abitualmente compie per andare a lavoro non ci sarà un incremento della distanza percorsa; Tale colpo di fortuna, matematicamente, può essere scritto come

d(a,b)=d(a,c)+d(c,b)

Nel caso invece non sia cosi fortunato e il punto C non si trova sulla strada che abitualmente compie dovrà percorrere una distanza maggiora da casa fino alla sua azienda (ovviamente non rimborsata) e tale condizione si esprime come

d(a,b)<d(a,c)+d(c,b)

Mettendo insieme le due condizioni si ottiene che

{d(a,b)}\leq{d(a,c)+d(c,b)}

Tale condizione viene chiamata disuguaglianza triangolare e rappresenta l'ultima condizione che una misura di distanza deve rispettare per potersi definire tale.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

7 commenti

  1. ottobre 18, 2015    

    Occhio all'ultima disuguaglianza: manca un \
    Bell'articolo!

    • Davide's Gravatar Davide
      ottobre 18, 2015    

      Grazie della segnalazione.....abbiamo corretto il refuso!
      Grazie mille anche per i complimenti!

      Siamo contenti che questo articolo sia piaciuto! (speriamo sia così anche per gli altri)

      Davide
      Staff Math is in the Air

    • Pasquale Napolitano's Gravatar Pasquale Napolitano
      ottobre 20, 2015    

      Mi fa piacere che l'articolo sia piaciuto, mi scuso ancora per la svista.

  2. Fabrizio's Gravatar Fabrizio
    ottobre 18, 2015    

    Bell'articolo davvero... Ma manca il finale (anche se a lume di naso direi che quella più corretta rimanga la distanza del tassista teorica media, cioè quella presa da stradario tenendo conto che il tragitto da A a B possa essere differente da quello da B ad A a causa di eventuali sensi unici).

    • Pasquale Napolitano's Gravatar Pasquale Napolitano
      ottobre 20, 2015    

      Il finale, come suggerisci tu, potrebbe essere che la distanza corretta è quella del tassista con l'ovvia postilla sulla simmetria.
      In generale, Fabrizio, la tua affermazione è valida in un determinato e ristretto contesto. Per esempio per un aereo certamente la distanza del tassista non è quella più corretta (in realtà nemmeno la distanza Euclidea è corretta, di questo parlerò in un prossimo articolo sugli spazi metrici e topologici e sul concetto di geodetica che rappresenta, in definitiva, la misura di distanza applicabile in caso di un aereo).
      In un senso ancora più generale, dimenticando per un attimo tassisti, ciclisti ed aerei, il concetto di distanza non è univoco e qualsiasi valore di distanza è parimenti valido purché rispetti i tre criteri citati nell'articolo (definita positiva, simmetrica, valga la disuguaglianza triangolare) ma siccome in questo blog si parla di matematica applicata e non astratta per piccole geometrie assimilabili a geometrie Euclidee la distanza del tassista risulta quella più corretta. Per spazi di dimensioni maggiori (prendi la superficie terreste, la curvatura non è trascurabile e non può essere assimilata ad una geometria Euclidea) la distanza del tassista deve lasciare posto ad altri tipi di distanza.
      Spero di essere stato un po più esaustivo, grazie per il commento.

  3. ottobre 19, 2015    

    In bicicletta come fa ad accompagnare sulla canna più di un bambino a scuola?

  4. Francesco's Gravatar Francesco
    febbraio 24, 2016    

    Il ragionamento dell'articolo è intereressante,ma vorrei far notare che non risponde al quesito iniziale e cioè qual'è la distanza minima tra i punti A e B o altresì quanto pagherà l'azienda se l'impiegato lascia a casa la macchina e viene in bicicletta.Credo che se fosse stato fatto dando una risposta al quesito iniziale sarebbe stato molto ma molto più interessante e non solo a me ma ad un platea molto più larga di persone

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