Alea iacta est

Alcune parole mi affascinano. Non so bene perchè ma credo c’entri qualcosa la loro storia.

Ad esempio, una parola che ho sempre trovato interessante è aleatorietà – dal latino alea (dado). Trovo inoltre nell’espressione “Alea iacta est” una potenza antica, la forza del taglio netto con il passato, la paura e la voglia di non poter tornare indietro. Poche volte nella vita ci è concesso di pronunciare per davvero questa frase ma sono sicura che quelli sono i momenti di maggior valore.

Sarà poi un caso… ma proprio la probabilità (di cui mi occupo) è piena di aleatorietà.

Variabili aleatorie 

Cosa sono? Sembra ci si riferisca a qualcosa di poco definito, o definito a caso. Niente di più sbagliato. Una variabile aleatoria è una funzione (misurabile). Punto. Lanci un dado equo,  e definisci la variabile aleatoria X che assume i valori $$1,2,\dots, 6$$, ognuno con probabilità $$\frac16$$. Dici che $$X=i$$ significa che è uscito il numero $$i$$.

Per essere più precisi, dato uno spazio di probabilità $$(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$$, una variabile aleatoria X (reale) è una funzione misurabile

$$X:\Omega \to \mathbb R$$

(di solito su $$\mathbb R$$ si considera la $$\sigma$$-algebra di Borel).

La sua legge (che poi è spesso la cosa più importante) $$\Lambda_X$$ è semplicemente la misura di probabilità che viene indotta su $$\mathbb R$$: dato un sottoinsieme $$A\subseteq \mathbb R$$ misurabile,

$$\Lambda_X(A) := \mathbb P(X\in A).$$

Potete pensare che la parola “misurabile” sia sinonimo di buono, bello, qualcosa con cui si può lavorare… tutto ciò che non è misurabile non mi piace poi tanto.

Tralasciando la definizione matematica, una variabile aleatoria ci permette quindi di modellizzare qualcosa (un fenomeno, un esperimento ecc), permettendoci inoltre di “dimenticare” lo spazio di probabilità di partenza – guardando solo alla sua legge. Alcuni la chiamano numero casuale, che forse rende meglio l’idea (almeno nei casi più semplici).

Processi stocastici

Sì, è una parola un po’ strana… dal greco stokhastikós. Però dai, è affascinante anch’essa. Un processo stocastico è una famiglia di variabili aleatorie indicizzate da un parametro reale, diciamo per semplicità il tempo

$$(X(t))_{t\ge 0}.$$

Possiamo vedere un processo come la descrizione dell’evoluzione (aleatoria) di un fenomeno nel tempo, ad esempio di una particella che si muove, del numero di telefonate che arrivano in un centralino o del prezzo di un’opzione (call, put…).

Per lavorarci un po’ su, in genere si richiede almeno la misurabilità della mappa $$X:\Omega\times [0,+\infty)\to \mathbb R;\quad (\omega, t)\mapsto X(\omega, t)$$ rispetto alla $$\sigma$$-algebra prodotto.

Un argomento davvero interessante sono le EDS (Equazioni Differenziali Stocastiche)… diciamo un’equazione la cui soluzione è un processo stocastico!

Su questo argomento ci sarebbe davvero un libro (e più) di cose da dire… L’importante per ora è capire a cosa servono questi strumenti matematici e a non spaventarsi quando si parla di “cose” stocastiche.

Finalmente posso parlarvi (brevemente) del processo del ristorante cinese, che pare fosse un po’ piaciuto al pubblico. In realtà, durante una conferenza, ho sentito parlare anche del processo del buffet indiano…

Supponiamo di avere un ristorante cinese con infiniti tavoli, numerati con $$1,2,\dots$$, ognuno dei quali ha infiniti posti per i clienti. Al tempo $$1$$, il primo cliente entra nel ristorante e si siede al tavolo $$1$$. Al tempo $$n$$, l’$$n$$-mo cliente entra e si siede “a caso” in uno dei tavoli già occupati o al primo tavolo libero (a caso = con una certa probabilità che dipende dal numero di clienti già seduti a quel tavolo). Al tempo $$n$$, ho quindi una partizione degli $$n$$ clienti (in base ai tavoli che occupano).

Possiamo modellizzare questo fenomeno (aleatorio) con un processo stocastico $$(X(n))_{n\in \mathbb N}$$ indicizzato dagli interi positivi, tale che $$X(n)$$ sia la variabile aleatoria che spiega la disposizione dei primi $$n$$ clienti (è quindi a valori nell’insieme delle partizioni degli $$n$$ clienti)… dal punto di vista matematico, si è interessati ad esempio alla legge di questa partizione aleatoria e al comportamento del processo quando $$n$$ diventa molto grande. Per molti più dettagli potete consultare queste note dell’Università di Princeton.

Campi aleatori e CMB

Negli ultimi anni ho lavorato con qualcosa che generalizza il concetto di processo stocastico: i campi aleatori. Ho ancora una famiglia di variabili aleatorie ma lo spazio dei parametri non è più $$\mathbb R$$, bensì “qualsiasi cosa”. Ad esempio, una sfera, un toro e più in generale un qualsiasi spazio topologico. Ora vi spiego una delle motivazioni per cui li studio (non pretendo di essere precisa ma solo intuitiva).

Tutti conosciamo la teoria del Big Bang… n miliardi (???) di anni fa era tutto molto molto caldo e denso, poi c’è stata una “esplosione”… l’universo ha cominciato ad espandersi ed a raffreddarsi ecc ecc. Il CMB (Cosmic Microwave Background) è la radiazione in cui è immerso l’universo e che arriva direttamente dal Big Bang. Uno studio approfondito di quest’ultima fornirebbe informazioni davvero importanti sulla storia del nostro universo, difatti molti progetti sono stati realizzati a tal fine (ad esempio Planck).

Che c’entra in tutto ciò la probabilità? Ebbene, supponiamo di poter misurare in “ogni parte del cielo” (la sfera $$\mathbb S^2$$) tale CMB. Otteniamo quindi, per ogni punto della sfera, dei dati e possiamo pensare che tale famiglia di informazioni quantitative sia la realizzazione di un campo aleatorio $$(T(x))_{x\in \mathbb S^2}$$ sulla sfera. Ma che tipo di campo è? Possiamo pensare che per ogni punto $$x$$ della sfera misuriamo un’ellisse (!!!) nel piano tangente alla sfera in quel punto. Quindi le variabili aleatorie in gioco sono un po’ più difficili di quelle usuali… non assumono valori scalari.

Tale ellisse è determinata da due “quantità”: temperatura e polarizzazione. Infatti, possiamo innanzitutto misurare la “temperatura” di tale radiazione e quindi abbiamo davvero per ogni punto della sfera un numero (tale temperatura). Inoltre, abbiamo informazioni sulla polarizzazione, che è un dato leggermente più difficile da spiegare. Per chi ha conoscenze di Teoria dei fibrati, la polarizzazione è una sezione di un particolare fibrato lineare sulla sfera (di spin $$2$$)… diciamo che per ogni punto della sfera misuriamo un qualcosa che ruota di un angolo $$2\alpha$$ non appena il piano tangente alla sfera in quel punto ruota di un angolo $$\alpha$$.

Uno degli strumenti matematici di base per studiare tali tipi di campi aleatori è l’Analisi di Fourier su gruppi di Lie compatti. Qui infatti non abbiamo EDS che descrivano il nostro fenomeno aleatorio… quindi tutta l’analisi stocastica non si può immediatamente usare. La prima idea è quella di scrivere il campo come una serie di campi aleatori più semplici

$$T(x) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} T_\ell(x), \quad x\in \mathbb S^2$$

– pensate alle serie di Fourier per funzioni $$2\pi$$-periodiche. Da qui, si iniziano a studiare i campi $$T_\ell$$ (che oltretutto sono autofunzioni aleatorie per il Laplaciano sferico), in particolare per le applicazioni (ad esempio in astrofisica) è importante capire cosa fanno questi campi $$T_\ell$$ quando $$\ell$$ cresce (va a $$+\infty$$). Entriamo quindi nell’ambito della Random Geometry ecc ecc.

Non pretendo di essere stata chiarissima, spero però di aver dato l’idea di quante cose si possano fare (e si fanno!) con la probabilità (in cucina, cosmologia, finanza, fisica matematica ecc). In realtà vi ho anche accennato alle motivazioni della mia tesi di dottorato 🙂

Per approfondimenti sul CMB potete ad esempio consulare il libro Random fields on the sphere: Representation, Limit Theorems and Cosmological Applications.

Vi ringrazio per l’attenzione, ciao ciao!

Ps: riguardo la domanda sulle chiavi dell’ultimo post, ovviamente la probabilità è la stessa. Perchè???

Ps2: ringrazio “l’anonimo” referee per la lettura attenta e i preziosi commenti 😉

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