Blog divulgativo sulla matematica applicata

Dalle distanze non Euclidee alle geometrie non Euclidee

In un suo film Totò chiedeva ad un improbabile vigile tedesco "per andare dove devo andare, per dovetoto devo andare?"

La stessa domanda, in modo meno emblematico e pittoresco ce la poniamo anche noi ogni volta che dobbiamo recarci in un punto. Talvolta definire la distanza minima tra due punti risulta essere piuttosto intuitivo, altre volte risulta essere decisamente più complicato.

Non tutte le distanze sono uguali

Consideriamo, ad esempio, uno spazio metrico in cui la metrica definita sia sia quella Euclidea. In tale spazio, e questo risulta evidente a tutti, la distanza minima è rappresentata dal segmento di retta che unisce i punti di partenza ed arrivo.

minima_distanzaCosa avviene alla distanza minima tra due punti se cambiamo la metrica usuale per lo spazio. Passiamo, dunque, ad una metrica del tassista e proviamo ad immaginare come possa essere la distanza minima tra due punti. Essa è la spezzata che percorre meno blocchetti.

distanza_minima_tassistaIl primo concetto importante che traspare da quanto detto è che, per talune metriche, la distanza minima non è univoca. In alcuni casi esistono più distaze minime diverse tra loro.

 Una retta è davvero una retta?

Il concetto di linea retta ci è davvero molto familiare. Dati due punti tracciamo una linea dritta che unisce direttamente i due punti. Ma una linea retta è davvero, in ogni caso, una quell'entità geometrica che ci è cosi tanto familiare e con cui tutti noi ci troviamo a nostro agio?

La risposta, sorprendentemente, è no. In alcuni spazi metrici una linea retta non è un segmento di retta, in altri spazi (sempre metrici) una line retta non esiste nemmeno. In generale la linea retta coincide con la minima distanza tra due punti. Se questa minima distanza esiste ed è unica essa rappresenta il concetto di linea retta tra due punti.

Per uno spazio metrico in cui la metrica di riferimento è quella del tassista non esiste il concetto di linea retta. Se, invece, adoperiamo la metrica Euclidea la distanza minima è unica e coincide con il concetto di linea retta per quello spazio.

Infine immaginiamo un ipotetico spazio composto solo da quattro linee; un ipotetico abitante di quello spazio è capace solo di vedere queste quattro linee e muoversi solo lungo di esse.

multilineaIn questo caso la linea che rappresenta la distanza minima tra i due punti è la linea rossa. Per un abitante di quello spazio la linea rossa rappresenta il concetto di linea retta tra due punti in quanto rappresenta al distanza minima tra i due punti. Per noi che siamo al di fuori dello spazio metrico definito dalle quattro linee e abbiamo una percezione spaziale ampliata appare evidene che quella rossa non è una linea retta.

Anche noi siamo ingannati

Noi, purtroppo non siamo più fortunati del nostro amico. Anche noi siamo ingannati dalla nostra limitata percezione spaziale e, inoltre, ingannare noi è ancora più semplice. Dite di no?

Facciamo un esempio molto banale. State camminando lungo i binari di una ferrovia, andate sempre dritto. Vi state muovendo in linea retta? Vi concedo qualche secondo per pensarci.

binariNo, non vi muovete affatto in linea retta, stiamo percorrendo una curva di minima lunghezza che collega due punti sulla superficie terrestre.

Questo avviene perché percepiamo la Terra come piatta, siamo esattamente come dei puntini su un piano bidimensionale. La nostra altezza, rispetto al raggio terrestre, è talmente piccola che non riusciamo a percepirne la curvatura. Tutto ciò che percepiamo è uno spazio bidimensionale.

Quando ci muoviamo sulla superficie terrestre non ci accorgiamo di muoverci lungo una curva in quanto tutto ciò che vediamo è il percorso che stiamo facendo e tanti altri percorsi ma di lunghezza maggiora per cui, per noi, quella rappresenta la minima distanza tra i due punti e quindi realizza il nostro concetto di linea retta.

distanza_terraIl vero concetto di distanza Euclidea non risulta applicabile al percorso che noi compiamo tra due punti sulla superficie terrestre. Quello che noi possiamo misurare è la lunghezza del tratto viola mentre la reale distanza dei due punti è correttamente rappresentata dalla linea rossa che li unisce e non tiene conto della superficie terrestre.

La differenza di lunghezza tra la curva rossa e quella viola dipende dalla reale distanza dei due punti. Se ci muoviamo da un capo all'altro di un campo di calcio la distanza percorsa, rispetto al raggio terrestre, risulta essere davvero molto piccola per cui l'errorre che commettiamo è piccolissimo e possiamo eguagliare le due distanze.

Geodetiche

L'errore che si commette, comme detto nel paragrafo precedente dipende assolutamente dalla distanza tra i due punti. Se erro risulta essere trascurabili in un raggio di poche centinai di metri non lo è, per esempio, in un volo intercontinentale tra Roma e New York.

Guardando un qualsiasi planisfero possiamo renderci conto che le due città giacciono sullo stesso parallelo, verrebbe dunque da pensare che per muoversi da una città all'altra basti andare diritto lungo il parallelo in modo da essere sicuri di percorrere la distanza minima tra le due. Ancora una volta la nostra percezione ci trae in inganno.

Sulla superficie sferica della terra la distanza minima si ottiene attraverso la geodetica che unisce i du punti. La geodetica è la circonferenza che si ottiene intersecando la terra con un piano passante per i due punti e per il centro della terra.  Ne consegue che i parallelli (eccetto l'equatore geografico) non sono delle geodetiche e quindi non rappresentano le curve di minima distanza tra due punti. I meridiani, invece, sono geodetiche. Un ipotetico aereo che viaggia tra Roma e New York non viaggerebbe lungo il meridiano ma lungo la geodetica che passa più a nord delle due città.

terrraIl concetto di geodetica fu per la prima volta postulato da Georg Friedrich Bernhard Riemann.

Un quinto postulato fallato

Quando nei suoi libri di Matematica Euclide si occupa di fondare le basi della moderna geometria si preoccupa di individuare una serie di affermazioni che sono alla base di qualunque altra affermazione. Euclide si preoccupa di definire poche semplici regole a partire dalle quali si possano ricavare tutte le altre regole. Questi concetti di base si dicono postulati o assiomi

Gli assiomi sono delle affermazioni certamente vere che non hanno bisogno di essere dimostrate e riguardano essenzialmente le entità geometriche di base (punti, linee, rette, angoli retti).

In particolare quello che per molto tempo ha fatto discutere è il quinto postulato di Euclide che recita qualcosa del tipo "data una retta ed un punto non appartenente ad essa, per quel punto passa una e una sola retta parallela alla prima" e per tanto è noto come il postulato delle parallele. Per molti anni si è tentato di dimostrare che il quinto postulato fosse una conseguenza dei primi quattro in quanto poco intuitivo. Per molto tempo si è cercato di trovare una dimostrazione a questo postulato a partire dagli altri quattro.

Per un attimo pensiamo a cosa sono le linee rette nella geometria Euclida, sono nient'altro che le curve di minima distanza tra due punti. Consideriamo allora la superficie sferica della Terra, quali sono le rette su questa superficie, ovvero quali sono le curve di minima distanza tra due punti? Per quanto detto fino ad ora risulta facile rispondere che sono le geodetiche (un cerchio che ha centro nel centro della terra e si estende sulla superficie, chiamato anche equatore), per tanto esse dovrebbero rispettare, come le normali linee rette, il postulato della parallela. Proviamo allora a tracciare un equatore sulla superficie terrestre e prendiamo un punto esterno ad esso sulla superficie stessa. Tracciamo un equatore passante per questo secondo punto.

Qui avviene la cosa interessante, i due equatori, le due curve di minima distanza e quindi le due rette, si incontrano in ben due punti. Possiamo ripetere questo ragionamento per tutti i punti della superficie terrestre e vedere che non esistono punti per cui due rette (leggasi equatori) non si incrociano mai. Ne consegue che il quinto postulato di Euclide è falso e che data una retta ed un punto fuori di esso non esistono rette passanti per quel punto e parallele alla prima.

Subito il quinto postulato di Euclide si rivela falso se applicato alla superficie curva della terra. Il ritenere falso il quinto postulato di Euclide ha dato vita ad un nuovo tipo di geometria chiamata geometria ellittica. In tale geometria tutti gli altri postulati di Euclide risultano essere veri e risultano essere vere le loro conseguenze. L'unico postulato che manca all'appello è il quinto che risulta falso come risultano false tutte le dimostrazioni che si basano sulla sua veridicità.

In fine, possiamo dire che esiste un altro modo in cui il postulato di Euclide può fallire; può fallire se si ammette che invece di nessuna o una sola esistano due o più rette parallale ad una retta date e passanti per un punto. Tale modo di fallire del postulato di Euclide genera una seconda geometria non Euclidea chiamata geometria iperbolica o geometria di Lobachevskij.

La geometria ellittica trova particolare importante per i problemi in cui la curvatura della Terra non è trascurabile come quelli di navigazione, posizionamento, orientamento e viaggi su lunghe distanze. La geometria iperbolica con l'aggiunta della quarta dimensione (rappresentata dal tempo) da vita alla geometria di Minkowski che è alla base della teoria della relatività per descrivere il comportamente dell'universo su grandi scale.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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