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Formule Incredibilmente Belle Osano Numerare Anche i Conigli! Che Ilarità! [parte 3]: Equazione aurea, formule esplicite e parti frazionarie

Ricomincio da tre..

Tool, Fibonacci, Lateralus

Eccoci qui! Per questa entusiasmante terza parte di fuoco!

La scorsa volta avevamo parlato della costante aurea e di come Fibonacci vi entrasse in modo predominante. Oggi continuiamo su quella scia, andando un po’ più a fondo nella matematica che c’è dietro.

Nel seguito troverete dei MATH MODE ON/OFF per segnalare delle parti per gli esperti. Ovviamente chiunque è libero di leggerle ma, se non ve la sentite o se il dottore vi ha suggerito di non farlo, potete benissimo tralasciarle!

Per chi si fosse perso le prime due parti, vi consiglio di leggerle: parte 1, parte 2.

Beh che dire..buon divertimento!

L’equazione aurea

Finora non abbiamo mai ottenuto esplicitamente la costante aurea, quindi direi che è proprio giunto il momento!

Lo scopo è trovare una equazione di cui la nostra \Phi sia una delle soluzioni. Vi ricordate la definizione? La \Phi è il rapporto tra due numeri a,b tali che a+b:a=a:b.

MATH MODE ON: partiamo da \Phi = a:b=a+b:a. Dalla prima uguaglianza si ha a = \Phi b. Sostituendo tale valore e usando l’altra uguaglianza si ottiene il rapporto b(\Phi + 1 ) : b \Phi = \Phi b : b. Semplificando b, si ha \Phi^2 = \Phi +1, cioè \Phi^2 - \Phi - 1 = 0. MATH MODE OFF

Tale equazione è x^2 -x -1 = 0. La \Phi risolve tale equazione, ma…sappiamo trovarne una esplicita formula?!?!

Risolvendo l’equazione, osserviamo che le sue due soluzioni sono date da \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}, ma quale delle due è \Phi?

Dato che la \Phi è il rapporto tra a+b e a, essa dev’essere maggiore di 1! Quindi \Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Questa è la sua vera rappresentazione esplicita, carina no?

Il gioco delle parti

Generalmente si possono definire la parte intera e la parte frazionaria di un numero. Dato tale numero, la sua parte intera è il numero intero immediatamente più piccolo di esso mentre la sua parte frazionaria è la differenza tra il numero e la sua parte intera. Sembra arzigogolato ma non lo è!! Facciamo qualche esempio chiarificatore:

5.625: la sua parte intera è 5, la sua parte frazionaria è 5.625-5=0.625 .

-1.2: la sua parte intera è -2, la sua parte frazionaria è -1.2-(-2)=-1.2+2=0.8 .

4: la sua parte intera è 4, la sua parte frazionaria è 4-4=0 .

Come vedete non è niente di particolarmente difficile!

MATH MODE ON: riguardo la notazione, preso il numero x, la sua parte intera si denota con [x] e la sua parte frazionaria con \{x\}. Quindi in formule abbiamo che [x]=\max(k \in \mathbb{Z} \; | \; k\leq x) e \{x\}=x-[x]. MATH MODE OFF

In tutto ciò, cosa c’entra la costante aurea? Esso è l'unico numero non naturale con la proprietà che la sua parte frazionaria è uguale a quella del suo reciproco e anche del suo quadrato.

Per intenderci abbiamo che: \Phi = 1,61803...,

\frac{1}{\Phi} = 0,618033... e

\Phi^2 = 2,618033...

Come notiamo, la parte frazionaria dei tre numeri qui sopra è a stessa. Meraviglioso!

MATH MODE ON: Quello che stiamo cercando di dire è che \Phi risolve contemporaneamente le due equazioni \{x\}=\{x^2\} e \{x\}=\{\frac{1}{x}\}. Come facciamo a dimostrare questa cosa? Riprendiamo l’equazione aurea: x^2-x-1=0. Quindi x^2=x+1. Passando alle parti frazionarie, notiamo che il secondo membro ha la stessa parte frazionaria di x, infatti aggiungendo 1 essa non può cambiare. Perciò \{x^2\}=\{x+1\}=\{x\}.
Per avere l’altra equazione, partendo da x^2=x+1 e dividendo per x si ha: x=1+ \frac{1}{x}. Vale quindi lo stesso discorso. MATH MODE OFF

Esplicite ricorsioni

Torniamo un attimo alla successione di Fibonacci. Dato che esiste una formula ricorsiva per calcolare i suoi termini, potremmo chiederci se esiste una formula esplicita per la successione di Fibonacci? Ovvero..si può trovare, per esempio, il 25° numero senza conoscere i precedenti???

La risposta è assolutamente si!!

Esistono vari modi di arrivarci e tutti questi sono incomprensibili ad un non-addetto ai lavori. Ne propongo una nella MATH MODE ma siete liberissimi di saltarla a piè pari!

MATH MODE ON: definisco il vettore x_n = ( F_n , F_{n-1} )^T dove F_n è l’n-esimo numero di Fibonacci. Si nota che x_{n+1} è il prodotto tra la matrice A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} e x_n. Iterando il procedimento si ottiene: x_{n+1}=A^n x_1. Dato che x_1=(1,1), tutto sta nel calcolare A^n. Per farlo diagonalizzo A e una volta fatto segue facilmente la formula esplicita per l'ennesimo numero di Fibonacci. MATH MODE OFF

Tale formula è: F_n = \frac{\Phi^n - (-\Phi)^n}{\sqrt{5}}. Un po’ strana, lo riconosco. La cosa su cui riflettere è che per ogni n questo è un numero intero!!!

Quindi tornando alla richiesta del 25° numero esso è 75025!

Tanto per concludere

Signore e signori, siamo alla fine della nostra storia su Fibonacci. Giusto per chi è curioso suggerisco una bella visita su wikipedia alla pagina dedicata a Fibonacci e alla sua serie e quella dedicata alla costante aurea.

Per gli ancora-più-curiosi do due consigli spassionati:

1) Esiste un cortometraggio della disney dal titolo “Paperino nel mondo della matemagica”. E’ veramente bello e merita di essere visto, se ne avete occasione fatelo. Ovviamente anche lì si parla della costante aurea. Eccolo qui sotto!

2) I “Tool” hanno scritto un brano musicale dal titolo “Lateralus” che si ispira liberamente alla successione di Fibonacci. La scansione degli accenti delle parole segue appunto i numeri della successione. Merita, quindi eccolo qui sotto!

E con questo si conclude la terza e ultima parte su Fibonacci e dintorni. Spero abbiate apprezzato. Non esitate a commentare, correggere, chiedere spiegazioni!

Au revoir!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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