Blog divulgativo sulla matematica applicata

Vicini troppo vicini... riflessioni sulla "vicinanza" fra spazi metrici e topologici

Richiami sulle distanze

richiamo_distanza

In un post precedente precedente ho parlato di distance Euclidee e non.

In quella occasione abbiamo introdotto il concetto di distanza Euclidea, distanza del tassista e distanza del massimo o dell'infinito. Abbiamo, invece, visto che la distanza del minimo non è una vera e propria distanza per cui non ha acquisito tale status.

Abbiamo visto che in generale la definizione di distanza è generica e che esistono infiniti modi per definirla purché vengano rispettate tre regole fondamentali:

  • deve essere definita positiva;
  • deve essere simmetrica;
  • deve rispettare la disuguaglianza triangolare.

Da quello stesso post è nata la curiosità e la voglia di approfondire alcuni concetti circa il concetto di distanza e di come esso influenzi il nostro modo di vivere e percepire il mondo circostante.

Breve excursus negli insiemi metrici

factory

Per un attimo immaginiamo che nella nostra fantomatica azienda non vi sia una sola persona che si rechi a lavoro in bici ma che ve ne siano n. Ognuna di queste n persone rispetto all'azienda (chiamiamola ancora B) dista una certa distanza; per ora non occorre preoccuparsi di quale distanza stiamo usando purché sia coerente con le proprietà che una distanza deve possedere. In generale ad ogni coppia di punti (B,n_{i}) possiamo associare un numero che genericamente chiamiamo distanza.

felixIn matematica l'unione dell'azienda e degli n ciclisti si chiama insieme. Un insieme nel quale sia definita una distanza viene invece chiamato spazio metrico. Gli spazi metrici furono ipotizzati all'inizio del XX secoli dal mateamtico tedesco Felix Hausdorff. Hausdorff era, in realtà, interessato a quelli che i matematici definiscono spazi topologici di cui gli spazi metrici sono un caso particolare.

La vicinanza

Cosa serve ad un insieme per essere uno spazio topologico? Occorre che in esso sia definito il concetto di vicinanza. Prima di affrontare in modo rigoroso questo argomento poniamoci due domande. Cosa vuol dire vicinanza? Cosa vuol dire che, dato un insieme, due oggetti sono tra loro vicini? Intuitivamente, ma in modo poco rigoroso, ci viene da rispondere che due oggetti sono vicini se la loro distanza è piccola. Ma piccola quanto? Piccola a piacere.

Possiamo introdurre la trattazione rigorosa del concetto di vicinanza con un esempio. Una cosa che a me capita di sovente il venerdì sera è mettersi d'accordo con gli amici sul dove andare a cenare. Più di una volta è capitato di sentirsi dire "andiamo in un posto vicino". Supponiamo (cosa assolutamente non vera ma che ci semplificherà la vita) senza ledere la generalità del discorso che io e i miei amici viviamo nello stesso palazzo e supponiamo (ancora con un grande sforzo di fantasia) che vogliamo recarci al ristorante a piedi. Dire che un ristorante vicino o è lontano, in questo caso, può essere reso semplicemente in relazione alla voglia di camminare e al tempo richiesto per arrivarci a piedi. Per cui, e sono sicuro che tutti saranno d'accordo con me, un ristorante che dista 500 metri rispetterà di certo il concetto di vicinanza; uno che dista 10 chilometri no. Per cui quello che possiamo fare è tracciare un cerchio con raggio 500 metri centrato nel nostro palazzo (su un piano bidimensionale il nostro palazzo sarebbe un punto) e dire che tutti i ristoranti che cadono in quel cerchio sono vicini, gli altri sono lontani. In matematica il concetto di vicinanza è esattamente questo, con la piccola correzione che al posto dei 500 metri si sceglie un raggio piccolo a piacere.

Da un punto di vista rigorosamente formale se due oggetti sono vicini si dice che si trovano nello stesso intorno. Tale intorno è definito come

B_{r}=(Q \in X | d(Q,P) < r)

 per cui un punto Q è vicino ad un punto P se è interno ad una palla di centro P e raggio r.

Ovviamente questa "palla" è puramente astratta. Non è detto che sia effettivamente una palla (o la sua proiezione su un piano bidimensionale, quindi un cerchio). Tale "palla" rappresenta un concetto astratto che sono nel caso della distanza Euclidea coincide con un cerchio.

Tutti i vicini sono uguali

Abbiamo appena asserito che un punto Q si trova vicino ad un punto P se si trova nel suo intorno, ovvero se si trova in una "palla" di centro il punto P e raggio piccolo a piacere. Abbiamo poi asserito che solo nel caso della distanza Euclidea tale "palla" è davvero un cerchio. Per chiarire il concetto supponiamo che il punto P sia posizionato nell'origine, che il punto Q abbia generiche coordinate (x,y) e che il raggio dell'intorno sia unitario.

Per il caso della distanza Euclidea abbiamo che

{d((x,y),(0,0))=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\leq{1}

palla_euclidea

Qualcuno dei lettori conosce o ha letto nel post precedente della distanza del tassista e della distanza dell'infinito. La domanda che ora nasce spontanea è di come debba essere definito l'idea di un intorno in accordo con questi diversi concetti di distanza.

Per la distanza del tassista abbiamo che

{d((x,y),(0,0))=|x|+|y|}\leq{1}

palla_tasssista

Per la distanza dell'infinito abbiamo poi che

{d((x,y),(0,0))=max(x,y)}\leq{1}

palla_infinito

Abbiamo duenque tre diversi modi di definire la distanza tra due punti e tre diversi modi di definire l'intorno di un punto e, come abbiamo visto, i due concetti sono intimamente legati. Proviamo ora a fare un ulteriore passo avanti e proviamo a renderci conto che questi tre intorni sono perfettamente uguali (anche se hanno diverse rappresentazioni grafiche).

Consideriamo ancora i due punti P e Q rispettivamente con coordinate (0,0) e (x,y) e un raggio unitario. Per la distanza Euclidea i due punti sono vicini se distano meno di uno; ciò equivale ad affermare che esiste una "palla Euclidea" che contiene il punto Q. Questa "palla Euclidea" contiene a sua volta una "palla del Tassista" di pari raggio r; tale palla del tassista contiene una "palla dell'Infinito" di raggio r' che è minore di r; infine, tale "palla dell'Infinito" contiene una "palla Euclidea" di raggio r'. Da qui il giro riprende identico.

palle_annidate

Quanto appena detto può essere reso in modo più rigoroso affermando che se un punto dista meno di uno dall'origine secondo una distanza, esiste quindi un raggio r che definisce un intorno dell'origine che contiene il punto, allora anche per le altre due distanze esiste un raggio r<1 tale da definire un intorno dell'origine che contiene il punto. Per cui se un punto è vicino all'origine per una delle tre distanze sopra definite lo sarà, automaticamente, anche per le altre due.

All'inizio abbiamo affermato che uno spazio metrico su cui sia definito il concetto di vicinanza è uno spazio topologico, quello che non abbiamo detto è che non è vero il contrario. In particolare uno spazio topologico è uno spazio in cui è definito quello che accade nell'intorno di ogni punto anche indipendentemente dal concetto di distanza.

Facciamo un esempio; Quando decisi di acquistare casa mi trovai a consultare vari annunci che descrivevano sia l'appartamento che quello che vi era all'intorno. Capita di sovente di leggere in annunci immobiliari frasi del tipo "vicino alla fermata della metro" o anche "farmacia nei pressi" oppure "nei pressi di via roma". Ecco, questi annunci sono degli spazi topologici in quanto definiscono cosa avviene nell'intorno del punto di interesse senza specificare un concetto di distanza.

Per cui uno spazio topologico non è necessariamente uno spazio metrico. Quello che occorre è un criterio per definire se un elemento è vicino o meno ad un altro. Solo nel caso in cui lo spazio sia anche metrico il criterio da utilizzare è quello delle palle.

Vicini troppo vicini

Il concetto di vicinanza (ed in modo equivalente di spazio topologico) è alla base dei ragionamenti di passaggio al limite oltre che fondamentali per il concetto di continuità.

Immaginiamo di stare passeggiando lungo una strada. Come possiamo definire, da un punto di vista rigorosamente matematico, se ci stiamo avvicinando o meno ad uno specifico punto? Da un punto di vista matematico potremmo considerare le nostre posizioni in funzione del tempo come una successione di punti su un piano cartesiano (consideriamolo bidimensionale) ognuna con le sue coordinate. Cosi al tempo t_{0} saremo nella posizione P_{0} con coordinate (x_{0},y_{0}); all'instante di tempo t_{1} saremo nella posizione P_{1} con coordinate (x_{1},y_{1}) e via di seguito fino a quando all'instante di tempo t_{n} saremo nella posizione P_{n} con coordinate (x_{n},y_{n}). Possiamo affermare che ci stiamo avvicinando ad un certo punto se scelto un n grande a piacere esiste un intorno piccolo del punto piccolo a piacere che contiene la nostra posizione, ovvero a crescere di n siamo vicini al punto quanto vogliamo. Se un determinato valore di n non è abbastanza vicino al punto basta solo aspettare e prendere un n ancora più grande, se ci stiamo avvicinando a quel punto prima o poi quel valore di n arriverà.

limite

In matematica il concetto di avvicinarsi ad un punto fino a raggiungerlo viene detto convergenza. Siccome tutte e tre distanze definiscono lo stesso criterio di convergenza esse definiscono lo stesso spazio topologico e quindi il medesimo concetto di convergenza. Tale uguaglianza è legata con il fatto che il piano ha dimensioni finite; in geometrie con dimensioni infinite si dimostra, al contrario, che distanze diverse hanno intorni tra loro diversi ed esprimono, quindi, spazi topologici e criteri di convergenza diversi.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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