Blog divulgativo sulla matematica applicata

(Otto) Gambe in Spalla - Modelli Matematici Discreti

Bentornati!
L'ultima volta ci siamo lasciati nei panni di una mosca svolazzante. In questo articolo smetteremo di volare e torneremo coi nostri due piedi a terra anzi... con Otto piedi a terra! Oggi vestiremo i panni di un ragno!
ragno
Alcune specie di ragno sono bravissime a tessere tele dalle forme intricatissime ma, allo stesso tempo, splendidamente simmetriche. Quindi immaginate di dover tessere la vostra tela sopra il grafico di un ignaro studente liceale del quarto o quinto anno, intento a risolvere un problema assegnato dal cattivo professore di matematica: data una funzione f(x), studiane il grafico sul piano cartesiano.
E se vi dicessi che la vostra ragnatela su quel grafico potrebbe servire a descrivere l'andamento di un evento reale, come la crescita di una popolazione o la strategia economica di un sistema nazione, ci credereste? No? Proseguite nella lettura, infilatevi le vostre (otto) scarpe e partiamo alla ricerca del mondo dei Modelli Matematici Discreti!


N.B. L'argomento trattato richiede, come conoscenze preliminari, la matematica degli ultimi anno di liceo o istituto tecnico. Si tratta di una proposta di modifica della programmazione ministeriale di Matematica della scuola secondaria di secondo grado, quindi l'impronta dell'articolo è decisamente didattica.

PROBLEM SOLVING

ps-ideal

Fin dai primi anni scolastici ci sono stati proposti problemi che si risolvono grazie all'ausilio della matematica; chi di noi non ha mai dovuto contare il numero di mele vendute dal fruttivendolo dopo che la signora ne ha comprare un terzo del totale, o ha suddiviso le caramelle fra il numero di partecipanti ad una festa per bambini. La caratteristica comune a tutti questi problemi è l'approccio alla risoluzione tramite un procedimento chiamato Problem Solving.

 

Il procedimento si suddivide in quattro punti:

  • familiarizzazione col problema;
  • ricerca di un modello matematico associato;
  • risoluzione del modello;
  • interpretazione dei risultati in relazione al problema.

Il punto più delicato del Problem Solving è quasi sempre il secondo: trasformare i dati del problema in formule matematiche adatte è delicato e richiede una precisione meticolosa di ciò che è fondamentale per il problema e ciò che può esser trascurato. Una volta individuato il giusto modello, ciò che serve è dato dalla risoluzione dello stesso e dall'interpretazione dei risultati.

MODELLI MATEMATICI

Un modello matematico può dunque rappresentare un evento del mondo reale. In questo articolo ci concentreremo sui modelli descrivibili in funzione del tempo, ovvero con lo scandire di una variabile temporale (come ad esempio l'andamento delle quotazioni in borsa col passare dei giorni o i centimetri di spostamento delle placche terrestri di anno in anno). Il modello si dice DISCRETO se la variabile temporale è intesa come discreta e non continua; in pratica, si riconoscono degli intervalli di tempo che è possibile etichettare con numeri naturali. Se con un modello matematico vogliamo descrivere l'accrescimento di una popolazione di conigli di un allevamento, gli stati del modello saranno scanditi dagli istanti di tempo associati alle stagioni di accoppiamento.
Prendiamo ad esempio un modello che segua la funzione f(x) generica: partendo da uno stato iniziale x_0, si suppone che la funzione che descrive il modello agisce dallo spazio degli stati in sé, e che quindi valga la seguente relazione:

 x_{n+1}=f(x_n) con x \in \mathbb{N}.

che, in termini non "matematichesi", vuol dire che lo stato futuro dipende esclusivamente dallo stato precedente.

Si individua lo stato successivo x_1 applicando la funzione allo stato iniziale x_0 per ottenere x_1=f(x_0), in seguito x_2 sarà uguale a f(x_1), x_3=f(x_2) e così via. Per trovare gli stati successivi, basta quindi individuare uno stato x_k sull'asse delle ascisse, tracciare un segmento verticale fino a incontrare la funzione e tracciare da lì un segmento orizzontale fino all'asse delle ordinate per individuare il punto x_{k+1}.

Con questo procedimento, si ottiene sulla carta la successione di valori x_n che determinano gli stati del modello, valori che fanno capire l'andamento futuro del modello che stiamo studiando. Ad esempio, consideriamo il modello descritto dalla funzione h(x)=3-x^2 e partiamo da uno stato iniziale x_0=0. Si ottiene la successione di valori:

x_1=h(x_0)=3-0^2=3;
x_2=h(x_1)=3-3^2=-6;
x_3=h(x_2)=3-(-6)^2=-33.

(come vedete, si tratta di una successione descrescente illimitata! All'aumentare degli intervalli temporali, gli stati tendono a diminuire sempre di più).

DIAGRAMMA A RAGNATELA


L'unico difetto di questo metodo è il dover riportare lo stato generico dalle ordinate alle ascisse, in maniera da poter ripetere analogamente il procedimento svolto per x_k, col rischio di appesantire (e non di poco) l'immagine finale.

Per ovviare a questo problema, consideriamo invece dell'asse delle ascisse la bisettrice del primo e terzo quadrante di ben nota equazione f(x)=x: questa altri non è che il luogo dei punti in cui ascissa e ordinata si eguagliano! In questa maniera, dal punto trovato sul grafico della funzione basta arrivare con un segmento orizzontale sulla bisettrice, per poi tornare sul grafico con un segmento verticale:

Grafico1
Grafico2Grafico3

Nell'esempio proposto, partendo dallo stato iniziale x_0=0.8 gli stati successivi tendono ad avvicinarsi a zero: senza fare calcoli complicati, si capisce che si tratta di una successione decrescente e convergente!

I vantaggi principali sono due:

  • un ordine nella figura che prima non avevamo;
  • una previsione del modello in termini grafici: con l'aumentare delle iterazioni, riusciamo ad avere una visuale  dell'andamento asintotico della successione di valori x_n, senza doverli calcolare uno ad uno.

In grafici di alcune funzioni particolari, il disegno ottenuto risulterà essere proprio una... ragnatela! Suggerisco agli utenti che vogliono cimentarsi con qualcosa di facile di provare a disegnare il grafico di f(x)=x^2-1 e fare qualche iterazione a partire dagli stati iniziali x_0=0, 1, 2, -1, 1.5, \ldots utilizzando il diagramma ragnatela.

Nel prossimo articolo ci concentreremo con lo studio di semplici modelli a cui applicheremo il diagramma. Per il momento, non mi resta che salutarvi con le mie otto zampe :-) Al prossimo post, ciao!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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