Blog divulgativo sulla matematica applicata

Pizzeide: un'odissea alla scoperta di pizze tonde e quadrate!

La geometria della pizza

Ciao a tutti! Oggi parleremo di pizza!

Sì, non sono matto! So bene che questo è un blog di matematica!

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Infatti parliamo della geometria della pizza, del perché c’è chi la fa tonda e chi la fa quadrata e di chi ci guadagna!

La domanda che vi pongo è proprio facile: preferireste una pizza tonda o una quadrata?

Immagino che la risposta media sia un’altra domanda: “Che differenza fa? Sempre pizza è!” La differenza invece è notevole! La scoprirete più avanti se siete disposti a leggere tutto il resto! Buona lettura :)

Didone e la pelle di toro

Esistono in matematica una vasta gamma di problemi che vanno sotto il nome di problemi di massimo e di minimo. In generale questi si risolvono utilizzando il calcolo variazionale ma ben lungi da me è l’utilizzarlo (ho già osato tanto nel nominarlo). Qualcuno ne ha sicuramente sentito parlare, magari durante l’ultimo anno di liceo. Qualcun altro magari ne sta iniziando a sentir parlare ora. A chiunque si stia impanicando dico: “tranquilli, siamo in un territorio amico!”
In soldoni si tratta di capire, sotto opportune ipotesi, come massimizzare o minimizzare delle precise quantità. Vi faccio un esempio storico: c’era una volta Didone, la regina di Tiro. Costretta all’esilio, chiese aiuto a Iarba, re del Nordafrica. Lui le disse: “Ti darò tanto terreno quanto ne possa abbracciare una pelle di toro”. A prescindere dalla stravagante offerta, Didone fece la pelle a striscioline e formò una lunghissima e sottilissima corda. Con questa corda recintò un enorme lembo di terra in cui poi si sarebbe sviluppata Cartagine. Ora la domanda è: qual è la forma geometrica migliore, avendo una corda, per ottenere l’area massima?

GIOCHI FESTA MATEMATICA

In questo esempio è come se vi avessi detto, il vostro perimetro è fissato (la corda), qual è, a parità di perimetro, l’area maggiore che potete racchiudere? Con che figura si realizza? La risposta è: (rullo di tamburi) il cerchio!

So che questo esempio è in un certo senso l’opposto della domanda che ci siamo fatti prima. Quindi rispondiamo all’altra domanda: a parità di area, qual è la figura con perimetro minimo? La risposta è: (rullo di tamburi ancora) il cerchio ancora!

Sapete come si dimostra una cosa del genere? Innanzi tutto, per semplicità, riduciamoci a considerare figure regolari, cioè con tutti i lati uguali (triangolo equilatero, quadrato, pentagono regolare, ecc). Si può dimostrare che, fissata una area A, il perimetro di un n-agono regolare (ovvero un poligono con n lati uguali) è P_n = 2 \sqrt{A n \tan{\frac{\pi}{n}}}.

Insomma, chi non conosce questa formula?! (xD)

La cosa notevole è che più è grande n, più è piccolo il perimetro P_n. Ora, quindi, per ottenere il perimetro minimo, di quanti lati avrei bisogno? La risposta sarebbe infiniti, ma non esiste una figura con infiniti lati. Intuitivamente però, pensiamo al cerchio!

Se facciamo il limite per n che tende all’infinito, otteniamo che il perimetro è P_{\infty} = 2\sqrt{A \pi} e se lo guardiamo attentamente è il perimetro di un cerchio di data area A.

Quindi abbiamo risposto alla domanda, la figura con il perimetro minimo è il cerchio.

Che pizza!

Torniamo alla nostra pizza. Abbiamo scoperto che a parità di area la pizza tonda ha meno perimetro di una pizza di qualunque altra forma. Però il perimetro è una cosa, il bordo è un'altra! Il bordo, amici miei, è una area! Ha uno spessore! Il perimetro è solo una linea!

Quindi ora mi chiedo…cambia qualcosa? Chi ha il bordo minimo? Chi massimo?

Cominciamo a scrivere qualche formula. A è l’area fissata della pizza e n sono i lati della pizza di forma n-agonale regolare. Sia b la misura del bordo.

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Il nostro n-agono può essere scomposto in n triangoli isosceli. L’angolo opposto alla base è \frac{2\pi}{n} e l’area di questo triangolino è A^{,} = \frac{a^2}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right), ove a è l’apotema. Sapendo che A=n A^{,}, abbiamo che A =\frac{n a^2}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) e quindi  a = \sqrt{ \frac{2A}{n\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)} } .

Se la pizza fosse un cerchio di area A, allora A=\pi r^2 dove r è il raggio. In tal caso r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}. Quindi confrontando le due espressioni di r e a otteniamo a = \sqrt{ \frac{2\pi}{n\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)} } r. Questa è la formula che mette in relazione r e a.

Ora, sia al cerchio che al poligono tolgo un bordo spesso b. Riprendiamo i triangolini di prima e togliamo un bordo spesso b. Evito di fare tutti i conti ma ciò che si ottiene è che l’area rimanente è A_{int}^{,} = \tan\left( \frac{\pi}{n} \right) \left( \sqrt{ \frac{\pi}{n \tan\left( \frac{\pi}{n} \right) } } - b \right)^2. Perciò, se a tutta la figura togliamo un bordo spesso b l’area interna del poligono diventa: A_{int}^P = n A_{int}^{,} = n\tan\left( \frac{\pi}{n} \right) \left( \sqrt{ \frac{\pi}{n \tan\left( \frac{\pi}{n} \right) } } - b \right)^2.

Riguardo il cerchio, invece, ciò che togliamo è una corona circolare spessa b. Quindi l’area interna è A_{int}^C = \pi(r-b)^2.

Ora basta confrontare le due aree. Per farlo consideriamo la quantità A_{int}^C ? A_{int}^P. Facendo un po’ di conti e usando la relazione tra a e r, otteniamo che tale quantità è positiva quando lo spessore del bordo b è compreso tra 0 e  \frac{2\left( \sqrt{\pi n \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)} \right)}{ n \tan\left( \frac{\pi}{n} \right) - \pi} r. Il valore  \frac{2\left( \sqrt{\pi n \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)} \right)}{ n \tan\left( \frac{\pi}{n} \right) - \pi}, se n\geq 3, è più grande di 0.8749 e tende a 1.

Ciò significa che, se b è inferiore all’87% del raggio, allora l’area interna del cerchio è maggiore dell’area interna dell’n-agono, per qualunque valore di n che sia maggiore o uguale a 3. In altre parole, sempre se b è inferiore all’87% del raggio, il bordo del cerchio è inferiore al bordo dell’n-agono.

Quindi alla domanda “preferireste una pizza tonda o una quadrata?”, poiché il quadrato è un n-agono regolare quando n=4, la risposta è: se vi piace di più il bordo scegliete una pizza quadrata, mentre se siete una di quelle persone che scartano sempre i bordi, scegliete una pizza tonda! Inoltre la sostanza è che, sempre a parità di area, una pizza tonda ha più condimento e meno bordo di una pizza quadrata!!

Conclusione (dell’umano medio)

Dato che con tutte queste lettere qualcuno ha perso in senso della cosa, facciamo un passo indietro ed assegniamo qualche valore!

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Una pizza media ha area A=1000 cm^2. Viene che se il valore del bordo è tra 0 e circa \sim 17 cm, allora l’area interna del quadrato sarebbe più piccola di quella del cerchio. Dato che in generale il bordo è più piccolo di 17 cm, la pizza tonda ha un area interna maggiore di quella del quadrato e di conseguenza ha un bordo più piccolo di quello del quadrato.

Se non sei pazzo/deviato/matematico/asociale/sociopatico/miocuggino/curioso, la storia per te finisce qui! :P

Conclusione (del matematico applicato, dell’economo, del contabile, del ragioniere, del commercialista e affini)

Una delle domande che ci si può porre è: ma quindi un pizzaiolo che fa la pizza tonda, quanto ci perde?

In effetti, dovendo mettere più condimento sulle pizze, quanto ci guadagnerebbe se le facesse quadrate?

Dato che nella pizzeria al taglio il prezzo dipende dal peso, questo è ininfluente! Infatti il condimento pesa mooolto di più della base!

Però, in un ristorante/pizzeria, invece di fare le pizze tonde, se le facessero quadrate e mantenessero invariato il prezzo, quanto risparmierebbero?

Supponiamo che il condimento è sparso in modo uniforme sulla pizza, che l’area media di una pizza è 1000 cm^2 e che il bordo è spesso b=1cm. In queste ipotesi, l’area interna di una pizza quadrata è circa 877,5 cm^2 e quella di un cerchio è 891 cm^2. Quindi in percentuale, su una pizza quadrata metto l’1,5% di condimento in meno.

Semplificando il modello, considerando che il prezzo della pizza sia dato da prezzo della base più prezzo del condimento, il guadagno del pizzaiolo sarebbe dell’1,5 % del prezzo del condimento.

Facendo un conto pratico. Se il pizzaiolo vende 100 pizze tonde in una sera, se il condimento per 100 pizze tonde è costato 300 euro e se gli ingredienti per le basi sono costati 100€, supponendo che venda la pizza a 6 euro l’una (in media), il suo guadagno sarebbe 600-(300+100) = 200 euro. Se invece lasciasse il prezzo delle pizze a 6 euro e le facesse quadrate, avrebbe bisogno dell’1,5 % in meno di condimento, e quindi spenderebbe 295,50 €. Il risparmio sarebbe perciò di soli 4,50 €. Significherebbe circa 135 € al mese. Forse non è moltissimo ma è comunque qualcosa!

Pizzaioli di tutto il mondo, mi dispiace per voi ma non posso aiutarvi più di così, a meno che voi non facciate pizze più grandi!

Conclusione (del matematico puro)

Cosa?! Ho davvero usato dei numeri?! Accidenti, dovrò frustarmi per questo!

Conclusione conclusiva

Beh, questa è davvero la fine di quest’avventura! Spero vi sia piaciuta! A presto!

PS ho corretto qualche errore di battitura che mi era sfuggito! Grazie ad Antonio e a Valentina per l'osservazione del pi di troppo, mi era sfuggito! ;)

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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5 commenti

  1. Valentina's Gravatar Valentina
    gennaio 3, 2016    

    Molto interessante!!
    Può essere che ci sia un pi-greco di troppo davanti alla radice in p(infinito)?

    • Francesco Bonesi's Gravatar Francesco Bonesi
      gennaio 3, 2016    

      Sì, c'è un pi di troppo! Ora lo correggo! Grazie

  2. antonio's Gravatar antonio
    gennaio 3, 2016    

    Scusami non riesco a capire la formula alla quale segue "se lo guardiamo attentamente è il perimetro di un cerchio di data area A." Il pigreco fuori dalla radice non è di troppo? Grazie

    • Francesco Bonesi's Gravatar Francesco Bonesi
      gennaio 3, 2016    

      Hai ragione, c'è un pi di troppo! Lo correggo subito!

      • antonio's Gravatar antonio
        gennaio 3, 2016    

        Meno male, stavo già perdendo la mia autostima! :)

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  1. Che pizza la matematica - Scientificast on marzo 16, 2016 at 10:03 am

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