Blog divulgativo sulla matematica applicata

Questa frase è falsa... Le illusioni della mente tra matematica e intuito: logica e paradossi probabilistici.

Avvertenze

"Le illusioni della mente" è un tema sicuramente affascinante ma molto complesso e profondo - troppo per non essere trattato con la serietà che merita.

big

1. Questo post non intende toccare tale argomento dal punto di vista psicologico, né l'autore ritiene di essere in grado di farlo.

2. Lo scopo è quello di giocare: si affrontano vari problemi mostrando che l'intuito umano spesso trae conclusioni totalmente sbagliate.

3. Ogni riferimento a persone esistenti o a fatti realmente accaduti non è puramente casuale.

4. Il tema del paradosso matematico è già stato egregiamente introdotto in altri termini dal nostro amico Francesco (qui potete leggere il significato del termine paradosso e alcuni esempi molto interessanti - Achille e la tartaruga e.g.).

 Paradossi probabilistici

Iniziamo questo post con un risultato davvero sfizioso di Lewis Carroll suggerito da Camilla e Ludovica Pisani. E` questo solo un esempio dei numerosi "paradossi" matematici in cui la probabiltà e l'intuito non vanno d'accordo (per saperne un po' di più clicca qui). Vi invito a seguire attentamente i passi della dimostrazione: trovate l'errore e commentate!

Teorema dell'urna

Un'urna non può contenere due palline dello stesso colore.

Dimostrazione

Supponiamo che l'urna contenga due palline, ognuna delle quali può essere nera o (esclusivo) bianca. Dunque, con ovvio significato di notazione,

\mathbb P(BB)=\mathbb P(BN) = \mathbb P(NB) = \mathbb P(NN) = 1/4.

Aggiungiamo una pallina nera e abbiamo

\mathbb P(NNN)=\mathbb P(NNB)=\mathbb P(NBN)=\mathbb P(NBB)=1/4.

Scegliamo poi a caso una delle palline; la probabilità che essa sia nera (usando le probabilità condizionate) è

1\cdot 1/4 + 2/3\cdot 1/4+2/3\cdot 1/4 + 1/3\cdot 1/4=2/3.

Comunque, se c'è la probabilità pari a 2/3 che una pallina - scelta a caso tra tre - sia nera, allora ci devono essere due palline nere e una bianca nell'urna. Ciò equivale a dire che all'inizio c'erano necessariamente una pallina bianca e una nera.

 

Paradosso di Monty Hall

E` anche noto come problema delle tre scatole o delle tre carte (potete leggere anche qui). E` legato al gioco a premi statunitense Let's Make a Deal e prende il nome da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall.

Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un'automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora aperta, il conduttore dello show – che conosce ciò che si trova dietro ogni porta – apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale passando all'unica porta restante.

Affari_tuoi

Cambiare porta migliora le chance del giocatore di vincere l'automobile?

La risposta intuitiva (in cui si ignora il passato) è questa: dunque... la scelta della prima porta e il ragionamento del conduttore circa quale porta aprire si possono trascurare; dal momento che si può scegliere tra due porte, la probabilità di scegliere quella giusta è pari al 1/2.

E invece la risposta è sì! Cambiando, le probabilità di successo passano da 1/3 a 2/3.

Tenetelo a mente... (lui lo saprà sicuramente).

 

Paradosso del compleanno

Uno dei più famosi paradossi probabilistici è quello del compleanno.

bc

La probabilità che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbe dire l'intuito: infatti già in un gruppo di 23 persone la probabilità è circa 0,51; con 30 persone essa supera 0,70, con 50 persone tocca addirittura 0,97!!!

All'inizio non ci credevo nemmeno io... poi facemmo la prova nella nostra classe al primo anno di università con la prof di probabilità.

Comunque, vi invito a scrivere su Google "paradossi probabilistici" e troverete questi già presentati e molti altri!

 

Di tutto un po'

La matematica è piena di questi "giochi"...

Molto famoso è anche il paradosso doubling the ball di Banach-Tarski: adoperando l'assioma della scelta, è possibile prendere una palla nello spazio a 3 dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi non misurabili e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due palle dello stesso raggio dell'originale.

2palle

Vi segnalo anche quello del barbiere:

barber

 

Sapete rispondere? A presto e grazie! ;-)

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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2 commenti

  1. marzo 17, 2016    

    Is there a way to translate these interesting-looking articles into English, please? :-)
    I HOPE SO!
    This - applied maths, not just single articles - is something I've looked to find since I've loved & wanted to learn maths ...

    • Maurizia's Gravatar Maurizia
      marzo 30, 2016    

      Sure! I'll do it soon... best!

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