Blog divulgativo sulla matematica applicata

L'irresistibile indeterminazione dell'essere

socrate

C'avete mai fatto caso? Sapere è sinonimo di intelligenza! Poco importa se hai imparato a pappagallo tutti i cantici della Divina Commedia (che ammetto, non è scontato), se conosci tutte le città del mondo, se risolvi anche problemi matematici difficili. Almeno una volta nella vita ci è stato detto o abbiamo detto: "Non si può non sapere!". È una locuzione che, detta da chiunque in un qualsivoglia contesto, mette sempre un po' di soggezione! Anche ad un livello più terra terra, non si può non sapere...
...allacciarsi le scarpe!
...usare il pc!
...tutte le canzoni degli 883!
...chi era Cristoforo Colombo!
...quante volte si puliva il cappello Cristoforo Colombo!
Che ansia, io voglio non sapere! Voglio una mente sgombra e sentirmi ancora intelligente! Sgombra il più possibile perché, come l'hard disk di un pc, mi sembra che più formatto il sistema nervoso e più le informazioni sono accolte di buon grado e le connessioni neurali si fanno più veloci.

Dov'eravamo rimasti

[Nel seguito farò riferimento ai concetti e alle terminologie usate nel precedente post, che trovate qui]

Proprio da questa "sleppa" qui, la temibile equazione di Schrödinger:

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi +V\Psi,

dove i^2=-1, \hbar=\frac{h}{2\pi}=1.054573*10^{-34}Js è la costante di Plank.

Per semplicità, consideriamo un tipico esempio di sistema fisico: un insieme di particelle subatomiche. Tramite le opportune condizioni iniziali - tipicamente \Psi(x,0) - si ricava la funzione d'onda \Psi(x,t), soluzione dell'equazione di Schrödinger , che d'ora in avanti chiameremo anche stato del sistema perché permette di conoscere le osservabili fisiche del sistema fisico preso in considerazione. Ad esempio nel caso di una particella subatomica permette di ricavarne [Chiedo agli esperti di passarmi il termine per il momento] la posizione e la quantità di moto.

La caduta del determinismo

Ora, a gloria del suo nome, \Psi(x,t) descrive l'andamento di un'onda che stride con il fatto che sto considerando una particella (= pallina) subatomica. Infatti di un oggetto corpuscolare posso conoscerne la posizione e la velocità (e quindi la quantità di moto) in modo univoco e in ogni istante, mentre è difficile dire di preciso dove si trova un'onda. L'unione tra i due fenomeni, quello corpuscolare e quello ondulatorio, ce la fornisce l'interpretazione statistica di Born:

\Bigl|\Psi(x,t)\Bigr|^2 dx = \Bigl\{ \text{ Probabilita' di trovare la particella tra } x \text{ e } x+dx \text{ al tempo } t \Bigr\}.

Grazie a questa relazione, per una particella nello stato \Psi, il  valore di aspettazione dell'osservabile posizione x è

<x>=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2 dx.

Che non va confuso con la media tra diverse misurazioni della posizione della particella, piuttosto è la media di misure ripetute su un insieme di particelle preparate in modo identico.

heisenberg

Di conseguenza, possiamo dedurre il valore di aspettazione della quantità di moto p:

<p>=<mv>=m\frac{d<x>}{dt}.

È chiaro allora che dobbiamo abbandonare l'idea di poter determinare univocamente la posizione e al tempo stesso la velocità (e quindi la quantità di moto) di una particella subatomica e accontentarci "solo" dei loro valori di aspettazione.

Formulazione matematica del principio di indeterminazione

Introduciamo ora la  deviazione standard della posizione, in simboli \sigma_x. Questo indicatore quantifica l'attendibilità dell'aspettazione di x. In altre parole, se facciamo riferimento ad una Gaussiana dove <x> è l'ascissa del punto di massimo, \sigma_x rappresenta l'ampiezza della campana, il che significa che più \sigma_x  è grande, più è grande l'errore sulla misura della media di x.

gauss

Analogamente denoteremo con \sigma_p la deviazione standard della quantità di moto. Grazie a queste notazioni e alla formula di de Broglie, che lega la lunghezza d'onda di \Psi(x,t) con la quantità di moto, il principio di indeterminazione di Heisenberg si può formulare come segue:

\sigma_x\sigma_p\geq\frac{\hbar}{2}.

Come si traduce in altri termini questa disuguaglianza? In un sistema in cui ripetute misurazioni della posizione producono lo stesso risultato (con un piccolo errore), le misurazioni della quantità di moto su questo sistema produrranno valori molto dispersi. Viceversa, in un sistema in cui la dispersione della quantità di moto è molto piccola, la misurazione della posizione si allontanerà di molto dal valore atteso. Questo principio si riassume in termini ancora più semplici dicendo che non è possibile conoscere in un fissato istante dov'era la particella e a che velocità andava. Le due misurazioni sono ahimè agli antipodi.

Conclusioni

L'interpretazione statistica introdotta nella meccanica quantistica ha gettato scompiglio tra le schiere di fisici del '900 e continua a farlo fin'ora: la non-certezza, il non-saper determinare l'evoluzione della particella nonostante si abbia a disposizione \Psi ha fatto vacillare chi si ostinava a voler sapere. Quindi è lecito e si può non sapere! Anno nuovo, nuove incertezze!! Via libera ai "boh"! E allora quando alla domanda "Mi sai dire...?" una nebbiolina offusca la mia mente e non conosco la risposta, beh...sono un maledetto genio!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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2 commenti

  1. Giacomo's Gravatar Giacomo
    ottobre 2, 2016    

    Molto problematica la spiegazione prima della quarta equazione. Prima viene dichiarato: "di conseguenza, possiamo dedurre il valore di aspettazione della quantità di moto p".

    Però la seconda eguaglianza della quarta equazione, quando si porta la derivata temporale fuori dal valore di aspettazione, non è per nulla ovvia. E non è assolutamente una conseguenza di quanto detto prima.

    Si tratta del teorema di Ehrenfest. Che può essere usato nel caso in questione, ma dovrebbe essere introdotto e non fatto passare per una conseguenza di quanto detto prima, perché non è così.

    Non è per nulla scontato che la derivata temporale possa essere portata dentro e fuori dal valore di aspettazione, è una scoperta molto importante che in un certo senso "salva" il limite classico della meccanica quantistica.

    • nunzia's Gravatar nunzia
      ottobre 3, 2016    

      Ciao Giacomo, il "di conseguenza..." non era una spiegazione ma un' affermazione: supposto che si conosce il valore di aspettazione della posizione(che ho riassunto con il "di conseguenza"), si può dedurre (sinonimo di ricavare) il valore di aspettazione della quantità di moto con le formule riportate nel testo [che sono vere come hai sottolineato tu nel tuo commento]. D'altro canto dedurre non è sinonimo di dimostrare o si dimostra e lungi da me dal farlo in questo post ;)

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