Blog divulgativo sulla matematica applicata

(Otto) Gambe in Spalla: Applicazioni

Bentornati ragnetti! Nel precedente articolo riguardante i modelli matematici discreti ci siamo imbattuti in quello che è uno strumento utile a prevedere l'andamento di una successione di valori reali tramite l'ausilio di quello che si chiama diagramma a ragnatela. Questa volta vedremo alcuni esempi di funzioni, viste come modelli matematici, sui quali applicheremo il diagramma. I risultati sarano, se non strabilianti, almeno sorprendenti :)

Crescita di Malthus

L'economista Thomas Malthus, vissuto a cavallo tra il diciottesimo e il diciannovesimo secolo, si fece domande sullo sviluppo anagrafico della popolazione mondiale in confronto con l'impoverimento delle risorse alimentari; sostenne infatti nel suo trattato "An essay of the principle of the population as it affects the future improvement of society" (1768) che la popolazione stesse crescendo troppo velocemente rispetto alle risorse necessarie al sostentamento. Questi risultati portarono più in la ai primi studi inerenti all'ottimizzazione delle risorse e alla creazione di alcuni modelli di crescita di una specie sotto opportune ipotesi, conosciute come modelli malthusiani.

Un esempio è il seguente: supponiamo che una popolazione di individui che ha periodi riproduttivi separati nel tempo segua il seguente modello Y_{k+1}=Y_k+\alpha Y_k - \beta Y_k il numero Y_k indica la popolazione vivente nel periodo riproduttivo k-esimo, Y_{k+1} nel periodo successivo, \alpha e \beta i tassi di natalità e mortalità della popolazione. Posto \alpha - \beta = r, interpretabile come tasso di crescita, il modello può essere riscritto come Y_{k+1}=(1+r)Y_k. Questo modello costituisce uno dei principi base dell'ecologia, secondo il quale una popolazione avente una quantità di risorse praticamente illimitate nel tempo, si riroduce con un tasso direttamente proporzionale al numero di individui. Senza entrare nel dettaglio, vediamo che è possibile rappresentare sul piano cartesiano la funzione y=\lambda x che descrive il modello, posto \lambda = 1+r, riconoscendo la ben nota equazione di una retta passante per l'origine degli assi cartesiani:

Grafico 4

Proviamo a plottare il grafico associato a due popolazioni di cui sono noti i tassi di accrescimento, ad esempio la Chorthippus Brunneus, più comunemente conosciuta come cavalletta dei prati, e la Parus Major, la cinciallegra:

Grafico Cavallette

 

Grafico Cinciallegre

Nel primo caso, partendo da qualsiasi condizione iniziale osserviamo che la ragnatela tende ad allontanarsi, mentre nel secondo caso si avvicina allo zero: sembra che in un immediato futuro saremo surclassati dalle cavallette, mentre le povere cinciallegre tenderanno ad estinguersi... Ovviamente i conti appena svolti sono approssimativi, stiamo supponendo che le risorse per le due specie siano illimitate e che abbiano tutto lo spazio che vogliono per crescere. Ma, almeno, ci da un'idea di previsione futura della specie!

Domanda e Offerta

Passiamo a tutt'altro argomento e parliamo di economia. Consideriamo un prodotto messo in commercio che, al tempo t, si trovi sul mercato al prezzo unitario p_t. Assumiamo che la quantità di prodotto richiesto dal consumatore sia una funzione di domanda D(p_t) che dipenda, ovviamente, dal valore del prezzo unitario. In genere D è una funzione decrescente: quanto maggiore è il prezzo del bene, minore sarà la richiesta del consumatore. Assumiamo poi che la quantità di prodotta immessa nel mercato da parte dei produttori sia una funzione di offerta S(p_t) che dipenda anch'essa dal prezzo del bene.

Generalmente S è una funzione crescente: maggiore è il prezzo del bene, maggiore sarà l'intenzione da parte dell'impresa di produrlo. La situazione economicamente ideale si ha quanto la domanda è tanto quanto l'offerta, quindi D(p_t)=S(p_t) che permette di determinare il prezzo di equilibrio. Questa situazione è però obettivamente impraticabile in quanto il produttore del bene deve svolgere delle analisi affinché possa produrre il giusto quantitativo di merce: ad esempio, raccolte le analisi della stagione di acqusto al tempo t-1, l'equazione subisce la modifica D(p_t)=S(p_{t-1}). Poste alcune funzioni semplificate di domanda e offerta, come ad esempio D(p_t)=a-bp_t e S(p_{t-1})=-c+dp_{t-1}, sostituendole nel modello di prima si ottiene a-bp_t=-c+dp_{t-1} da cui la relazione p_t=-\dfrac{d}{b}p_{t-1}+\dfrac{a+c}{b}.

Troviamo una relazione ricorsiva rappresentabile sul piano cartesiano e, quindi, possibile soggetta al nostro amato diagramma a ragnatela!

Grafico Domanda Offerta

 Credo vi siate ormai resi conto che se il modello rappresentante è una retta, l'andamento della successione dei valori dipende da quanto questa retta è inclinata rispetto all'asse orizzontale del piano di riferimento: esiste infatti un teorema che stabilisce le condizioni di convergenza o divergenza dei valori legato allo studio della derivata prima. Gli eventuali punti di convergenza o di divergenza si chiamano punti di equilibrio del modello: partendo da un loro intorno, la successione dei valori può allontanarsi o avvicinarsi a seconda del valore della derivata della funzione in prossimità di quel punto. L'aver citato i punti di equilibrio in maniera non approfondita mi serve per descrivere al meglio il modello che segue.

Modello di sfruttamento controllato di una popolazione naturale

Studiamo le caratteristiche principali di un modello che prevede lo sfruttamento di una popolazione "coltivabile" (un pascolo di pecore, un allevamento di trote, ecc... ) e un accenno alle migliori strategie affinché si ottimizzi il raccolto evitando l'estinzione della specie.

Traendo spunto dal modello di crescita di una popolazione vista sopra, consideriamo la legge ricorsiva x_{t+1}=x_t+R(x_t)x_t-H(x_t) con x la numerosità della risorsa disponibile, t come al solito è il tempo discretizzato, R(x) il tasso di crescita e H(x) una funzione di harvesting ovvero un prelievo effettuato allo scandire delle stagioni temporali. Con le giuste scelte delle funzioni R e  H e lo studio degli equilibri del modello, si scovano le strategie migliori affiché si abbia il massimo raccolto con la minima riduzione della specie. Detta in altri termini: se abbiamo una coltivazione di 80 trote e la nostra strategia è quella di prelevarne la metà per ogni stagione riproduttiva, ci ritroveremmo dopo pochi mesi a mangiare solo le lische in fondo al lago!

Una prima scelta verosimile per il tasso di crescita è la funzione R(x)=r-sx con r tasso di natalità e m=sx tasso di mortalità, proporzionale alla numerosità in quel periodo di tempo. I punti di equilibrio di questo modello, nel caso in cui non ci sia raccolta, è dimostrabile che sono le soluzioni dell'equazione
(1+r-sx)x=x da cui si ricavano x*=0 (equilibrio nel caso di estinzione della specie) e x*=\frac{r}{s}=K (equilibrio associato alla capacità portante della popolazione, il valore che la popolazione non può superare dato ad esempio dall'estensione del luogo dove la popolazione cresce e si sviluppa). Analizziamo ora una strategia possibile di raccolta e applichiamola ad un esempio di funzione di raccolta, come f(x_t)=x_{t+1}=1.5x_t-0.5x_t^2. La strategia è quella di prelevare una quota fissa h di pescato che va a modificare la funzione di pescato in questa maniera:
f(x)=1.5x-0.5x^2-h
Studiando gli equilibri (f(x)=x) si arriva alle soluzioni \alpha_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-8h}}{2}
e, dopo faticosi conti algebrici, studiando i punti di equilibrio si arriva alla conclusione che h va scelto in maniera che la scelta iniziale x_0 sia minore di \alpha_1:  ogni h<\frac{1}{8} è una quantità sostenibile affinché l'allevamento non vada in estinzione:Grafico prelievo quota fissa


Spero caldamente che l'argomento sia stato comprensibili ai più! E la prossima volta, prima di schiacciare un ragnetto con la scarpa, provate a vedere l'effetto che fa a metterlo sopra un grafico ;) Alla prossima!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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