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La Trigonometria tra palazzi, navi e aerei [Parte 2]: il letto del fiume e la posizione di un aereo.

Benritrovati!

Continuiamo la nostra avventura nella trigonometria. In particolare oggi ci concentreremo su fiumi e su aerei, che come è ben noto sono molto collegati tra loro (?). Prima di tutto vedremo come si può misurare la lunghezza del letto di un fiume e successivamente come calcolare la distanza di un aereo in avvicinamento. Ah, beh penso sia chiaro, ma faremo questo utilizzando solo la trigonometria!

Il letto del fiume

Quanto è largo il letto di un fiume?

lettofiume

Sembra sciocco ma in qualche modo si deve pur fare per capire quanto è largo il letto di un fiume. Può servire per costruire un ponte, ad esempio, e per molte altre cose.

Considero il punto B al di là del fiume e il punto A al di qua. La distanza cercata è appunto quella tra A e B. Poiché sto da un lato del fiume posso prendere un punto C, a distanza d dal punto A. A questo punto possiamo calcolare gli angoli \alpha, \beta e \gamma del triangolo ABC nei vertici A, B e C rispettivamente, ovvero \alpha è l'angolo opposto al lato BC, \beta è quello opposto a AC e infine \gamma è opposto a AB.

Usiamo il teorema dei seni. Vi ricordo che questo teorema afferma che il rapporto tra la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo ad esso opposto è costante. Quindi abbiamo che \frac{AC}{\sin(\beta))} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}. Da questo otteniamo che AB = \frac{AC \sin(\gamma)}{\sin(\beta)} = \frac{d \sin(\gamma)}{\sin(\beta)}. Ed abbiamo così la larghezza del letto del fiume!!

Vi faccio notare che tutti i dati che ci servono per questo calcolo sono facilmente reperibili. Infatti se ci troviamo dal lato dei punti A e C, possiamo facilmente misurare la distanza, a maggior ragione per il fatto che il punto C lo si può scegliere! Gli angoli del triangolo ai vertici A e C sono calcolabili con un goniometro mentre quello in B si può trovare sapendo che la somma degli angoli interni in un triangolo è 180° (\pi in radianti).

Mayday Mayday Mayday

Vi ricordate il problema della nave in avvicinamento? (Se no, andate a riguardarlo qui!) Stavolta abbiamo a che fare con un aereo. La differenza è che questo vola e quindi non si trova nello stesso piano dell'osservatore. Il nostro problema è quello di trovare le sue coordinate nello spazio, quanto è in alto e quanto dista da noi.

Come si risolve?

aereo

Vediamo dalla figura…l’aereo è nel punto D, ad una certa quota. Gli osservatori sono nei punti A e B, e sono sul piano passante nei punti A, B e O, dove O è la proiezione a terra dell’aereo. Lo scopo è trovare le coordinate del punto D. Supponiamo che A sia nell’origine.

Cosa conosciamo? Beh sappiano la distanza a tra A e B e gli angoli D\hat A B := \gamma e D \hat B A :=\delta. Non solo, conosciamo anche D \hat AO := \alpha e D \hat B O :=\beta. Usiamo le formule ora..ed anche la testa!

Innanzi tutto possiamo calcolare la distanza di D dalla retta in cui passano A e B (il nostro asse x diciamo), che chiamiamo H. Questo sotto-problema è equivalente a quello della nave (sempre qui). Se andate a vedere i calcoli che abbiamo fatto nel precedente post, troviamo che la distanza tra D e tale retta è d = \frac{a}{cotg \gamma + cotg \delta}.

Con questa distanza d possiamo trovare facilmente le distanze DA e DB. Infatti, DA = \frac{d}{\sin \gamma} e DB=\frac{d}{\sin \delta}.

Invece, con gli angoli \alpha e \beta possiamo trovare due formule per le distanze OD, OA e OB, infatti: OA= DA \cos \alpha = =\frac{d \cos \alpha}{\sin \gamma}, OB=DB \cos \beta = =\frac{d \cos \beta}{\sin \delta}, OD = DA \sin \alpha = \frac{d \sin \alpha}{\sin \gamma} ed anche OD = DB \sin \beta = \frac{d \sin \beta}{\sin \delta}.

Ed ora siamo alla fine. Abbiamo le distanze DH e OD, quindi, con il teorema di Pitagora, abbiamo infine la distanza OH.

Come vedete con la trigonometria abbiamo trovato tutti i dati e sviscerato completamente il problema. Per trovare le coordinate, se usiamo il sistema di coordinate della figura simpatica e di dubbio gusto qui sopra, sono note le coordinate di A=(0,0,0) e B=(a,0,0). Infatti la distanza tra A e B abbiamo detto essere a.

Supponiamo che le coordinate di D siano (x_0, y_0, z_0), allora quelle di O saranno (x_0, y_0, 0). Notiamo che le distanze AO=x_0^2 + y_0^2 e BO = (x_0 - a)^2 + y_0^2 sono note per i conti di prima. Con un po’ di algebra si trova che x_0 = \frac{a^2 +AO - BO}{2a} e y_0 = \sqrt(AO - x_0^2). Manca solo z_0.

Ricordiamoci che anche la distanza DO è nota e che DO=x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = AO + z_0^2. Perciò z_0 = \sqrt(DO-AO). Ed ecco fatto!!

Ma che ce faccio co sta "robba"?

E’ chiaro che qualcuno si e mi possa fare questa domanda. La risposta sarà molto vaga in realtà. Trovare le coordinate di un punto nello spazio a partire da qualche distanza ed una manciata di angoli in realtà è una grandissima semplificazione. Ora ci sono tecniche veramente più innovative e precise ma questi esempi ci fanno capire quanto l’ingegno umano possa portare della conoscenza altrimenti irraggiungibile!

Il calcolo che vi ho fatto qui sopra può servire per capire anche quando un aereo sta scendendo di quota oppure per calcolarne la sua velocità. E come vedete, lo ripeto, abbiamo usato solamente la trigonometria!!

Conclusione (per ora)

E anche per questa volta ci fermiamo qui! Spero di avervi interessato almeno un po’ con queste mie parole. La prossima volta parlerò ancora di trigonometria, stavolta mostrando un antichissimo metodo di calcolo del raggio terrestre e di un sistema di coordinate basato sulla trigonometria e comunemente noto come yaw, pitch e roll.

Quindi, per il momento, ciao! :)

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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