Blog divulgativo sulla matematica applicata

Meccanica quantistica per amanti delle matrici [Parte 2]

IntroQM

Nel mio post precedente, che potete trovare qui nel caso ve lo siate perso, ho introdotto per sommi capi la nascita della meccanica quantistica e ho espresso, in modo del tutto generico e per lo più intuitivo, il concetto di stato e il suo comportamento quantistico.

In questa seconda parte ci concentreremo sulla logica. Introdurremo i concetti di base della logica di Boole e, partendo dal caso classico, li estenderemo al caso quantistico. Ci sorprenderemo delle stranezze che caratterizzano il mondo quantistico e in modo inaspettato introdurremo un principio base di questa materia.

(Il)Logica quantistica...

Vale la pena soffermarci, anche se brevemente e in modo tutt'altro che esaustivo, sul concetto di misura quantistica e di logica quantistica. In questa sezione introdurremo il concetto di spazio degli stati per un sistema quantistico e vedremo come si comporta se sottoposto alle normali leggi della logica.

Ancora una volta, per rendere i concetti più fruibili, partirò da un esempio classico e di seguito mostrerò la controparte quantistica in modo che siano subito evidenti similitudini e, soprattutto, differenze.

Prima di tutto sappiamo, o dovremmo sapere (e se non lo sappiamo lo sapremo a breve) che ogni sistema classico può assumere un certo numero di stati, supponiamo per semplicità che tale numero sia finito e comunque sempre numerabile (un insieme infinito può essere esso stesso numerabile). Per esempio una moneta può assumere due stati, può mostrare la faccia con la testa (stato T) oppure la faccia con la croce (stato C) e, ovviamente, non può mostrare entrambi gli stati contemporaneamente. Il nostro sistema "moneta" ha due stati chiamati T e C; in matematica l'insieme degli stati può essere definito, usando un puro formalismo, come \{T, C\}. Consideriamo un altro esempio, un dado. Esso può avere sei stati diversi legati al valore assunto da ogni faccia (per definizione si assume come stato corrente la faccia rivolta verso l'alto) e tale insieme si indica come \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Fino a qui sembra tutto avere un senso. Bene il tutto avrà senso ancora per qualche paragrafo.

Ora che abbiamo definito un insieme di valori che uno stato può assumere a cosa ci servono? Come possiamo operare su questi valori e quali operatori possiamo sfruttare? In questo senso ci viene in aiuto la logica booleana anche nota come algebra di Boole dal nome del matematico che per la prima volta introdusse questi concetti.

La logica booleana è basata sulle proposizioni. In senso del tutto generale e senza scendere in casi specifici una proposizione è un affermazione che, nella sua versione classica, può essere Vera o Falsa. Facciamo subito un esempio di proposizione. Per la nostra moneta una possibile proposizione è la moneta mostra la faccia con testa. A questo punto le cose ancora hanno senso. Per un dado una possibile proposizione è il dado mostra la faccia con il numero 5, ma anche la seguente è una proposizione valida il dado mostra la faccia con il numero 10, ovviamente falsa in quanto non è uno dei possibili stati del sistema.

Nel mondo quantistico cosa avviene?

Fino ad ora l'unico sistema che abbiamo incontrato è quello dello spin, nel post precedente abbiamo considerato quello di un elettrone, in realtà possiamo considerare una qualsiasi particella subatomica che possa assumere due valori di spin. Tali valori non devono necessariamente essere +1 o -1 ma possono essere due valori qualsiasi, per esempio lo spin di un elettrone può assumere i valori +\frac{1}{2} oppure -\frac{1}{2}. I valori \pm 1 servono solo a distinguere il verso lungo un ipotetico asse, in realtà sono i segni + e - a individuare il verso; l'uno è solo un valore di comodo..

Per il nostro spin, dunque, possiamo dire che l'insieme degli stati è \{1, -1\} senza ledere la generalità del discorso (useremo dei valori di comodo solo per semplificare i ragionamenti e i calcoli). In meccanica quantistica una proposizione è un affermazione circa lo stato di un sistema. Dato l'insieme degli stati dello spin possiamo scrivere delle proposizioni su di esso che hanno pienamente senso come ad esempio lo spin lungo z vale +1. Fin qui proposizioni classiche e quantistiche sembrano essere identiche.

Sulle proposizioni possiamo compiere due tipi di operazioni, possiamo negarle o possiamo combinarle insieme in due modi. Possiamo quindi affermare che nell'algebra di Boole classica esistono tre operatori principali.

L'operatore NOT nega il valore della preposizione. Se la proposizione A vale lo spin lungo z vale +1 il valore della sua negazione, ovvero di notA, indicato talvolta come \bar{A} sarà lo spin lungo z vale -1.

L'operatore AND combina insieme due proposizioni. Il risultato è vero se entrambe le proposizioni sono vere. Se la proposizione A è questo post parla di meccanica quantistica (anche se non sembra vi assicuro che è vera) e la proposizione B è l'autore del post è un cavallo, allora il valore di A AND B, scritto anche come A \wedge B, è Falso.

L'operatore OR combina due proposizioni  in modo inclusivo, ovvero il risultato è vero se almeno una delle due è vera. In logica esiste anche un OR esclusivo ma non ne parleremo qui. Il risultato dell'opertatore OR applicato alla proposizioni A e B di prima, indicato come A \vee B è Vero in quanto tale risulta essere la proposizione A.

L'ultima cosa che ci resta da fare è capire come verificare una proposizione. Qui le cose non saranno più molto intuitive e prenderanno rapidamente una brutta piega. Prima di tutto passiamo a definire due proposizioni che saranno utilizzate da ora in poi come riferimento se non espressamente indicato diversamente.

A: Lo spin lungo z vale +1

B: Lo spin lungo x vale +1

Quello che vogliamo controllare è la veridicità della proposizione

C: A \vee B

nel caso il sistema sia stato preparato nello stato {\sigma}_{z}=+1 (se non sai o ricordi cosa voglia dire quest'ultima frase puoi rinfrescarti la memoria qui).

Per prima cosa supponiamo che lo spin si comporti in modo classico. So che è un eresia ma per amore di completezza lasciatemi passere questa affermazione. Adesso che vi siete ripresi dal colpo andiamo a verificare la proposizione A; ovviamente risulta vera. Indipendentemente dal valore di B la proposizione composta C (nel senso che è composta da due proposizioni più semplici) risulta essere vera.

Supponendo di rimanere in ambito classico, i puristi della fisica facciano un ultimo piccolo sforzo per non svenire, definiamo la proposizione

D: B \vee A

Per verificare D misuriamo prima lo spin lungo x, ancora una volta otterremo un valore casuale. Se tale valore è +1 siamo fortunati e D è vera senza bisogno di verificare anche A. Se lo spin lungo x è -1 per accertare il valore di D dobbiamo verificare A che sarà certamente vera (ricordiamo che il sistema è stato preparato in questo modo).

Concludiamo dicendo che le proposizioni C e D nel mondo classico sono equivalenti ovvero per gli stessi valori di A e B forniscono lo stesso risultato. Nel mondo classico valutare prima A e poi B o viceversa è la stessa cosa e il risultato non cambia.

Possiamo ora passare al mondo quantistico. Volendo verificare C quello che dobbiamo fare è misurare il valore dello spin lungo l'asse z. Siccome il sistema era stato preparato avremo che A è certamente vera per cui ancora una volta C è versa senza bisogno di valutare B. Se andassimo a valutare lo spin lungo x avremmo un valore casuale \pm 1 ma questo non influisce sul valore di C che è certamente vera. Come fatto prima andiamo a valutare la proposizione D. Prima dobbiamo valutare B e quindi misurare lo spin lungo x. Siccome nulla era stato preparato in questo senso il valore dello spin può essere in modo casuale +1 o -1. Se il valore è +1 la proposizione D è vera senza bisogno di valutare A, se vale -1 allora dobbiamo valutare la proposizione A ovvero lo spin lungo z. Qui avviene un fatto importante:

Come conseguenza della misura dello spin lungo x lo spin stesso non si trova più nello stato {\sigma}_{z}=+1 ma si trova in un nuovo stato che può essere {\sigma}_{x}=+1 oppure{\sigma}_{x}=-1.

Andando a valutare ora A, secondo la meccanica quantistica, possiamo avere in modo casuale {\sigma}_{z}=+1 oppure {\sigma}_{z}=-1. La proposizione D ha il 75% di probabilità di essere vera. Ecco cosa intendevo quando dicevo che le cose avrebbero preso una brutta piega.

In  meccanica quantistica l'operatore OR è manifestamente non simmetrico e il risultato di A \vee B può dipendere dall'ordine in cui vengono valutate A e B. Questo implica una differenza tra le leggi classiche e le loro controparti quantistiche ma a livello più profondo anche una differenza tra la logica quantistica e quella classica.

Se questo vi sembra grave aspettate di vedere cosa succede con l'operatore AND. Introduciamo la seguente proposizione

E: A \wedge B

Andiamo a valutarla in modo quantistico. Per prima cosa verifichiamo A, essa è certamente vera in virtù del fatto che il sistema era preparato con {\sigma}_{z}=+1. La veridicità di A non è sufficiente a verificare che la proposizione E sia vera, per forza di cose dobbiamo valutare anche B, per tanto, facciamolo. Valutiamo B e supponiamo di avere {\sigma}_{x}=+1 per cui la proposizione composta E è vera.

In accordo con il metodo scientifico la veridicità di un affermazione deve poter essere verificata tante volte quante si vuole.

Secondo quanto affermato fino ad ora può risultare più o meno evidente che questo non è possibile in meccanica quantistica. La misura dello spin lungo l'asse x, come sottolineato in precedenza, pone il sistema in nuovo stato che può essere {\sigma}_{x}=+1 oppure {\sigma}_{x}=-1. La misura dello spin lungo x interferisce con la possibilità di verificare nuovamente lo spin lungo z. La seconda parte dell'esperimento interferisce con la possibilità di verificare la prima. In questo modo, del tutto inaspettato, fa capolinea il principio di indeterminazione.

Logica conclusione... o forse no!

Fino ad ora non ne avevamo mai parlato e nulla in quanto detto precedentemente poteva lasciar presagire quanto si è appena verificato (beh forse un po' si per i lettori più attenti). Il principio di indeterminazione viene solitamente applicato alla posizione o alla velocità (o alla quantità di moto che è la stessa cosa) ma in realtà riguarda diverse coppie di grandezze quantistiche (vedremo nel prossimo post come queste coppie possono essere determinate). Nel caso dello spin il principio di indeterminazione recita qualche cosa del tipo:

Non è possibile conoscere, contemporaneamente, lo spin lungo due diversi assi.

Considerando la coppia di grandezze posizione (x) e quantità di moto relative alla stessa particella possiamo metterle insieme per creare due proposizioni composte.

La particella ha posizione x e  di moto p

La particella ha posizione x o quantità di moto p

Delle due, la prima non ha alcun senso fisico anche se non è possibile dire che sia sbagliata in senso stretto; la seconda ha un significato completamente diverso da quanto ci si aspetta nel mondo classico.

Oltre l'indeterminazione...

Nel prossimo post lascerò da parte questi argomenti e ci concentreremo sulla matematica fondamentale per comprendere i concetti successivi. Fino ad ora ho provato ad usare la matematica che la meccanica quantistica richiede il meno possibile per rendere gli argomenti fruibili anche a chi non ha particolare esperienza in merito.

Nel seguito, invece, sentirò il bisogno di usare in modo più sistematico e massiccio notazioni matematiche anche complesse. Quando ciò avverrà proverò ad essere il più chiaro possibile in modo che anche chi è a digiuno di certi argomenti potrà seguirmi.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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2 commenti

  1. Renato Strano's Gravatar Renato Strano
    giugno 27, 2016    

    I miei trascorsi di matematica sono del liceo di 34 anni fa e per giunta pure del liceo classico. Però leggo con avidità e curiosità i tuoi articoli cercando di comprendere quello che posso. Voglio farti i miei complimenti perché sono articoli ben scritti e di grande chiarezza. Grazie, Renato.

    • Pasquale Napolitano's Gravatar Pasquale Napolitano
      giugno 27, 2016    

      Grazie Renato,
      mi fa piacere un simile commento. Sono contento che gli articoli ti siano piaciuti. Siamo qui per far conoscere la matematica e perché crediamo che uno stile divulgativo, senza ricorrere a troppi fronzoli matematici, sia il più appropriato per portare la matematica a tutti. Fa piacere vedere persone che apprezzano il nostro lavoro.
      Ancora Grazie.

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