Blog divulgativo sulla matematica applicata

Recensione di ‘How to solve it’ di G. Polya

Riceviamo e molto volentieri pubblichiamo questa recensione scritta dall'ingegner Raffaele Quatraro sul noto libro "How to Solve It - A New Aspect of Mathematical Method". Lo ringraziamo per il suo contributo che ha il merito di diffondere la conoscenza di questo interessantissimo testo.


 

"How to solve it" di G. Polya

Nel suo testo ”How to Solve It - A New Aspect of Mathematical Method” l’autore George Polya tratta in modo dettagliato il problema del Problem Solving applicato alla matematica e alla geometria. E’ possibile trovare la versione tradotta in italiano qui.

Sull’autore

George Polya fu un matematico e professore di matematica dal 1914 al 1940 alla ETH Zürich e dal 1940 al 1953 alla Stanford University. Egli diede fondamentali contributi allahowtosolveit2 combinatoria, alla teoria dei numeri, alla analisi numerica e alla teoria delle probabilità. E’ anche noto per il suo lavoro sull’euristica e sull’educazione della matematica. [1]

Nella prefazione della prima stampa il matematico sottolinea il fatto che gli insegnanti di matematica hanno una grande opportunità mentre svolgono il loro lavoro.
Se però questi usano tutto il tempo a loro disposizione per far esercitare gli studenti con operazioni di routine allora abbattono gli interessi degli studenti verso la matematica, non favoriscono il loro sviluppo intellettuale e perdono questa loro grande opportunità. Al contrario, se gli insegnanti sfidano la curiosità dei loro studenti proponendo loro problemi proporzionati alla loro conoscenza e li aiutano a risolvere i loro problemi con domande stimolanti, in tal caso possono far sviluppare agli studenti la loro propria capacità di risolvere i problemi in modo originale e indipendente.

L’autore inoltre spiega cosa lo ha portato nel tempo a maturare un libro unico nel suo genere almeno fino al tempo della sua pubblicazione. Infatti l’autore, quando era uno ancora studente, era ansioso di capire la matematica e la fisica. Ascoltava lezioni, leggeva libri, cercava di capire bene la soluzione e i fatti presentati a favore ma c’erano delle domande che lo assillavano.

Riporto qui un estratto del pensiero dell’autore tradotto in italiano:

  • “Sì, la soluzione sembra funzionare, sembra essere corretta; ma come è possibile inventare una tale soluzione? Sì, questo esperimento sembra funzionare, questo sembra essere un fatto; ma come possono le persone scoprire tali fatti da sole? E come potrei io inventare o scoprire tali cose da me stesso?

Secondo l’autore è stata questa sua fame di conoscenza che lo ha portato a scrivere poi questo libro con la speranza che potrà essere utile ai professori che vogliono far sviluppare ai loro studenti le loro abilità nello sviluppo della soluzione di un problema e agli studenti che desiderano continuare a sviluppare le loro stesse abilità.

Un concetto che emerge con insistenza da questo libro è quello di euristica che l’autore poi approfondirà in un suo successivo testo [2].

Nello studio dei metodi di risoluzione dei problemi l’autore individua e descrive due facce della matematica. La prima è quella rigorosa tipica della matematica Euclidea, definita di tipo deduttivo. L’altra faccia è quella sperimentale di tipo induttiva e euristica.

 Sul libro

Il libro è stato strutturato in quattro parti.

Nella prima parte, intitolata In the classroom, l’autore mostra come si può aiutare lo studente a raggiungere l’obiettivo di trovare da solo la soluzione di un problema matematico fornendogli opportune domande e utili spunti per riflettere.

Nella seconda parte, intitolata How to solve it, l’autore mostra come strutturare un dialogo con se stessi sotto forma di domande. L’autore presenta queste domande e spiega come ognuna di esse può portare alla soluzione del problema.

Nella terza parte, intitolata Short dictionary of heuristic, viene fornita un’ampia spiegazione di tutti i termini che vengono chiamati in causa nella soluzione di un problema. E’ la parte più corposa del libro e in cui vengono presentati metodi e tecniche di risoluzione di un problema. Viene mostrata la differenza tra problem to prove e problem to find, viene affrontato il tema dell’induzione in matematica, del concetto del trial and error come euristica nonché una ricca esposizione di esempi che mostrano come applicare i metodi in pratica.

Infine, l’ultima parte, Problems, Hints, Solutions, presenta utili problemi per poter applicare da se stessi i metodi proposti nel libro. Secondo me è davvero utile, per una comprensione degli argomenti, provare a risolvere i problemi proposti.

La Lista

Prima delle quattro parti sopra citate, l’autore fornisce la cosiddetta lista [3]. Tale lista, richiamata più volte nel testo, è formata dalle quattro operazioni fondamentali che chiunque si propone di risolvere un problema di matematica, secondo Polya, deve fare.

Le operazioni sono:

1- Understanding the problem: in questa fase l’autore suggerisce di individuare le tre parti del problema: l’incognita, i dati e la condizione. Vedere se è possibile soddisfare la condizione. Introdurre una notazione da usare durante tutta la fase di soluzione del problema. Usare figure. Separare le varie parti d ella condizione e scriverle separatamente.

polya12- Devising a plan: qui l’autore invita a chiedersi se si ha già visto in precedenza un problema simile o un problema relativo a quello in esame.  Invita a chiedersi se si può usare un teorema che ci potrebbe essere utile. Look at unknown. Guarda l’incognita. Provare a pensare ad un problema con la stessa o una simile incognita. Invita a vedere se esiste un problema relativo a quello in esame e che è già stato risolto. Si potrebbe usarlo? Si potrebbero usarne  i metodi, il risultato? Si potrebbe usare qualche elemento ausiliare per rendere  possibile l’uso di un problema relativo?

Si potrebbe riformulare il problema? Go back to definitions. Se non si riesce a risolvere il problema, provare a risolvere uno simile. Si potrebbe immaginare un problema più accessibile? Più generale? Più specifico? Un problema analogo?
Si può risolvere una parte del problema? Si può provare a mantenere solo alcune parti della condizione e lasciarne altre. Quanto è lontana la soluzione ottenuta da quella incognita? Si possono trarre altre informazioni utili dai dati?  Si può pensare ad altri dati appropriati a determinare l'incognita? Si possono cambiare i dati o l'incognita o entrambi se necessario, così che i dati e l'incognita sono tra loro più vicini? Si sono utilizzati  tutti i dati? E' stata usata  l’intera condizione? Si è tenuto in conto ditutte le nozioni essenziali implicate dal problema?

polya2

3 - Carrying out your plan: Controllare ogni punto del piano della soluzione. Si può  vedere che ogni punto è corretto? Si può provare?

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4 - Looking back: Si può verificare il risultato? Si può verificare l’argomento? Si può derivare il risultato differentemente? Si può vederlo a colpo d’occhio che la soluzione è corretta? Si può usare il risultato o i suoi metodi per qualche altro problema?

polya5

Conclusioni

Ho cercato solo di stimolare l’interesse per questo utilissimo libro per chiunque voglia miglirare la sua abilità nel risolvere i problemi di matematica.
Al suo interno si troveranno tantissimi utili consigli e aneddoti che rinnoveranno i vostri schemi mentali e approcci ai problemi. Si potrà imparare a sviluppare la perseveranza necessaria per arrivare alla fine del problema risolvendolo in modo inaspettato.

Un consiglio dell’autore che potrà esser utile, come lo è stato pure per me, è:

Try, try again until you succeed.

Buona lettura.

 

Note

[1] Alexanderson, Gerald L. (2000). The random walks of George Pólya. Washington, DC: Mathematical Association of America.
[2] Il professor Polya pubblicò un altro testo in due volumi intitolato Mathematics and Plausible Reasoning. Si possono trovare informazioni qui.
[3] http://www.math.utah.edu/~pa/math/polya.html

NB.
I disegni in questo articolo sono frutto della mia fantasia e non fanno parte del testo.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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