braket

Nei post precedenti (parte 1 e parte 2) abbiamo introdotto la meccanica quantistica da un punto di vista discorsivo più che matematico. Questo ci ha consentito di cogliere alcuni aspetti della sua bellezza e delle sue stranezze. Abbiamo rimandato il più a lungo possibile l’introduzione di un formalismo matematico complesso ma ora, purtroppo, non possiamo farne più a meno. In questo articolo saranno introdotti molti concetti tecnici e teorici, passo dopo passo si arriverà alla costruzione di tutta l’impalcatura matematica che ci occorrerà per capire i concetti che saranno presentati nella prossima ed ultima parte.

La trattazione matematica sarà ridotta al minimo indispensabile per non rendere la lettura troppo tediosa.

Vettori non comuni e spazio di Hilbert

Negli articoli precedenti abbiamo introdotto il concetto di stato di un sistema quantistico e in un caso, sebbene molto semplice e davvero particolare, ne abbiamo delineato un quadro più o meno completo svolgendo su di esso delle operazioni di logica.

In meccanica quantistica generalmente, non consideriamo il caso particolare visto prima, lo spazio degli stati è uno spazio vettoriale. In particolare, esso è uno spazio vettoriale di Hilbert.

HilbertLo spazio di Hilbert fu introdotto da David Hilbert all’inizio del XX secolo nell’ambito delle equazioni integrali e poi ripreso da Von Neumann nella sua formulazione della meccanica quantistica.

Oltre che alla meccanica quantistica gli spazi di Hilbert diedero nuovo impulso alla teoria dei gas e della radiazione. In seguito verranno espansi dal matematico polacco Stefan Banach negli omonimi spazi per l’assiomatizzazione delle funzioni integrali.

Una definizione non del tutto esaustiva di spazio di Hilbert è la seguente

Uno spazio di Hilbert è uno spazio Hermitiano (o prehilbertiano) completo.

La definizione fornita, per i non addetti ai lavori, genera più domande di quante ne risolva. Come possiamo ottenere, dunque, uno spazio di Hilbert partendo da concetti familiari alla maggiorparte dei lettori?

Partiamo da uno spazio vettoriale generico. Solitamente quando parliamo di vettori la nostra mente vola, in modo più o meno corretto, ad un ente matematico definito da una direzione ed un verso che può essere rappresentato mediante le sue tre coordinate in uno spazioEuclideo tridimensionale. Quello che vi chiedo ora è di prendere questa definizione e buttarla fuori dalla vostra mente. Un vettore, o meglio un insieme di vettori come noi li immaginiamo, è solo un caso particolare di spazio vettoriale in matematica. Una definizione più generica può essere la seguente

Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti astratti che possono essere combinati tra di loro mediante un operazione chiamata addizione e il cui modulo varia mediante prodotto per uno scalare.

Il normale spazio composto dai vettori nello spazio euclideo è uno spazio vettoriale ma anche l’insieme di tutte le matrici $${K}^{mxn}$$ con l’aggiunta dell’operazione di addizione tra due matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare è uno spazio vettoriale.

A questo spazio vettoriale astratto ora andiamo ad aggiungere un operazione di prodotto interno definito positivo. Un prodotto interno non è altro che un operazione che presi due elementi dello spazio vettoriale restituisce zero se almeno uno dei due è nullo altrimenti restituisce un numero maggiore di zero. Se il valore restituito è uno numero reale tale operazione si chiama prodotto scalare. Se il valore restituito appartiene al campo dei numeri complessi assume il nome più generico di prodotto hermitiano.

Un ente composto da uno spazio vettoriale e da un prodotto interno come definiti sopra si chiama spazio hermitiano o prehilbertiano e rappresenta un passaggio intermedio, una sorta di tappa obbligata, per arrivare allo spazio di Hilbert.

Il passaggio che manca per arrivare allo spazio di Hilbert è la completezza. La completezza è una proprietà degli spazi metrici. Io stesso avevo parlato di spazi metrici in passato. Uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio stesso. In generale vale la regola che in uno spazio metrico tutte le successioni convergenti siano di Cauchy. Uno spazio metrico completo introduce un ulteriore rerstrizione. L’oggetto a cui la successione converge è un elemento dello spazio metrico stesso.

Un insieme di ket e bra

Il L. Susskind mentre spiega gli argomenti trattati su questo post nel suo corso in rete "The Theoretical Minimum"

Il L. Susskind mentre spiega gli argomenti trattati in questo post nel suo corso in rete “The Theoretical Minimum

In meccanica quantistica gli elementi dello spazio di Hilbert che identificano lo spazio degli stati di un sistema sono chiamati ket. In generale il nome bra-ket fa riferimento ad una particolare proprietà di questi elementi che vedremo in seguito.

In ambito generale la notazione bra-ket detta anche notazione di Dirac viene utilizzata per indicare gli elementi complessi di uno spazio di Hilbert e sebbene sia adoperata soprattutto in meccanica quantistica risulta valida anche in altri campi della matematica.

Un generico ket A si indica con la notazione $$\mid A>$$ e per esso valgono le seguenti proprietà

  • La somma di due ket è ancora un ket

$$\mid A> + \mid B> = \mid C>$$

  • L’addizione è commutativa

$$\mid A> + \mid B> = \mid B> + \mid A>$$

  • Esiste l’elemento neutro dell’addizione

$$\mid A> + 0 = \mid A>$$

  • Dato un ket $$\mid A>$$ esiste un solo elemento $$- \mid A>$$ tale che

$$\mid A> + (- \mid A>) = 0$$

  • Dato un ket e uno scalare complesso è possibile moltiplicarli insieme. Tale operazione è lineare

$$\mid zA> + z \mid A> = \mid B>$$

  • Vale la proprietà distributiva

$$z( \mid A> + \mid B> ) = z \mid A> + z \mid B>$$

$$(z + w) \mid A> = z \mid A> + w \mid A>$$

Come i numeri complessi anche nello spazio di Hilbert è possibile definire un operazione chiusa di coniugio. Tali oggetti vengono definiti bra e si esprimono come $$<A \mid$$. Nello spazio dei bra e dei ket l’operazione di coniugio si indica con il simbolo $$\ast$$ per cui vale proprio che

$$\mid A> \ast = <A \mid$$

Detto ciò, in generale, per passare da bra a ket e viceversa ci sono due cose da tenere bene a mente

  • dato il ket $$\mid A> + \mid B>$$ il bra corrispondente è $$<A \mid + <B \mid$$
  • Dato il prodotto $$z \mid A>$$ il corrispondnete bra è $$<A \mid {z}^{\ast}$$

Nel caso concreto in cui un ket è rappresentato da un vettore colonna il rispettivo bra sarà un vettore riga i cui elementi sono i complessi coniugati del vettore colonna.

Tra ket e bra è possibile esprimere un prodotto interno. Era uno dei pezzi fondamentali che avevamo introdotto per definire uno spazio prehilbertiano. Come è fatto questo prodotto interno?

Per prima cosa diciamo che esso si indica con la notazione $$<A \mid B>$$ da cui deriva il nome bra-ket. Poi diciamo che esso gode di alcune proprietà

  • Il prodotto interno è lineare

$$<C \mid ( \mid A> + \mid B> ) = <C \mid A> + <C \mid B>$$

$$(<A \mid + <B \mid ) \mid C> = <A \mid C> + <B \mid C>$$

  • Scambiare bra e ket equivale a prendere il complesso coniugato

$$<B \mid A> = {<A \mid B>}^{\ast}$$

  • Il prodotto $$<A \mid A>$$ è un numero reale

Nel caso concreto in cui un ket sia un vettore colonna e un bra un vettore riga otteniamo la seguente definizione per il prodotto interno

$$<B \mid A> = \begin{pmatrix} {{\beta}_{1}}^{\ast}&{{\beta}_{2}}^{\ast}&{{\beta}_{3}}^{\ast}&{{\beta}_{4}}^{\ast}&{{\beta}_{5}}^{\ast} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\alpha}_{1} \\ {\alpha}_{2} \\ {\alpha}_{3} \\ {\alpha}_{4} \\ {\alpha}_{5} \end{pmatrix} = {{\beta}_{1}}^{\ast} {\alpha}_{1} + {{\beta}_{2}}^{\ast} {\alpha}_{2} + {{\beta}_{3}}^{\ast} {\alpha}_{3} + {{\beta}_{4}}^{\ast} {\alpha}_{4} + {{\beta}_{5}}^{\ast} {\alpha}_{5}$$

L’esistenza di un prodotto interno ci permette di definire due vettori notevoli che sono di basilare importanza anche nello studio degli spazi vettoriali “classici”.

  • Vettore normalizzato, un vettore si dice normalizzato se il prodotto interno con se stesso è unitario ed è l’equivalente dei versori negli spazi vettoriali classici.
  • Vettori ortogonali, due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto interno è nullo; sarebbe come dire che due vettori classici sono perpendicolare se il loro prodotto scalare è nullo.

Dove nelle due definizioni sopra esposte classico indica un vettore composto da una direzione, un verso ed un modulo esprimibile nel classico spazio euclideo a tre dimensioni.

Catturare le basi

Ogni spazio vettoriale ha una sua base, ovvero un insieme di vettori,  tale per cui tutti gli elementi dello spazio vettoriale possono essere scritti come combinazione lineare degli elementi della base. Quando si lavora con le basi aiuta, anche se non è strettamente necessario, che i vettori che formano la base siano tra loro ortogonali e che il prodotto interno di ogni vettore per se stesso sia unitario. In questo caso si parla di base ortonormale.

Il numero massimo di vettori tra loro ortogonale presente in uno spazio vettoriale si chiama dimensione dello spazio vettoriale. Per un vettore colonna vale la seguente definizione

La dimensione di un vettore colonna è uguale al numero di elementi.

Senza ricorrere a dimostrazioni formali, immaginiamo di avere il seguente ket

$$\mid A> = \begin{pmatrix} {\alpha}_1 \\ {\alpha}_2 \\ {\alpha}_3 \\ {\alpha}_4 \\ {\alpha}_5 \end{pmatrix}$$

esso si può scrivere come combinazione linerare di 5 vettori (5 sono anche gli elementi che lo compongono)

$$\mid A> = \begin{pmatrix} {\alpha}_1 \\ {\alpha}_2 \\ {\alpha}_3 \\ {\alpha}_4 \\ {\alpha}_5 \end{pmatrix} = {\alpha}_1 \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + {\alpha}_2 \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + {\alpha}_3 \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + {\alpha}_4 \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + {\alpha}_5 \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

la stessa espressione si può scrivere in modo più compatto ricorrendo al simbolo di sommatoria

$$\mid A> = \sum_{i=1}^N {\alpha}_{i} \mid a_i>$$

dove $$\mid a_i>$$ indica un vettore della base per lo spazio in considerazione ed $$N = 5$$ la dimensione della base.

Se voglio calcolare una delle componenti $$a_i$$ mi basta moltiplicare il ket $$\mid A>$$ per il bra lungo cui voglio estrarre la componente. Per calcolare $$a_3$$ dovrò calcolare il seguente prodotto interno

$$<{\alpha}_3 \mid A> = \begin{pmatrix} 0&0&1&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\alpha}_1 \\ {\alpha}_2 \\ {\alpha}_3 \\ {\alpha}_4 \\ {\alpha}_5 \end{pmatrix} = {\alpha}_3$$

posso giungere allo stesso risultato premoltiplicando la sommatoria scritta sopra per il ket $$<j \mid$$ che in questo caso rappresenta il vettore lungo cui vogliamo calcolare la componente. Per tanto, si ottiene.

$$<j \mid A> = \sum_{i=1}^N {\alpha}_i <j \mid a_i>$$

Il prodotto interno $$<j \mid a_i>$$ è uguale a zero se $$j$$ ed $$a_i$$ rappresentano vettori diversi (base ortogonale) mentre è unitario se rappresentano lo stesso vettore (base normale). Quindi, supposto che vogliamo estrarre la componente lungo il terzo vettore secondo l’ordine in cui li abbiamo sommati sopra, otteniamo che $$ <j \mid = <a_3 \mid$$ e per tanto all’interno della sommatoria l’unico elemento diverso da zero è proprio quello con indice tre

$$<j \mid A> = {\alpha}_3$$

Sostituito nella precedente espressione per $$\mid A>$$ si ottiene

$$\mid A> = \sum_{i=1}^N \mid a_i> <a_i \mid A>$$

Ritorno alla meccanica quantistica…

In questo post i temi della meccanica quantistica sono stati un po’ “messi da parte” per lasciare spazio ad alcuni concetti di tipo matematico. Come abbiamo detto bra e ket sono tipici della meccanica quantistica ma non solo.

La trattazione della meccanica quantistica dal punto di vista della matematica richiede di avere una certe base di nozioni ben consolidate e chiare. Mi sembrava doveroso verso chi non ha questa base provare ad introdurre alcuni concetti fondamentali.

Senza scendere nel dettaglio si sono esposti dei concetti basilari che verranno usati per scrivere le equazioni che governano la meccanica quantistica in forma matriciale.

 Nel prossimo post tornerò sul nostro sistema quantistico dello spin ed applicheremo ad esso tutte le conoscenze esposte in questo post. Applicheremo le definizioni e le proprietà di spazio di Hilbert, bra e ket ad un sistema quantistico semplice al fine di ricavarne delle informazioni non solo qualitative ma anche quantitative.

Per tanto vi chiedo di pazientare ancora un po’… solo fino alla prossima puntata…

CC BY-NC-SA 4.0
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