Blog divulgativo sulla matematica applicata

"3 è primo, 5 è primo, 7 è primo, quindi tutti i dispari sono primi...": Schrödinger a ferragosto

Scottanti rivelazioni sulle soluzioni dell'equazione di Schrödinger tra le nuotate, i bagni di sole e gli spuntini rigeneranti.

Pranzo-al-mare

Lo ammetto, oggi non vi stupirò. Oggi non voglio neanche convincervi che sia la soluzione più bella che abbiate mai visto. Ma devo farlo:

vi mostrerò un possibile metodo di risoluzione di lei, l'equazione di Schrödinger, la genitrice di mostri feroci che manco  la lasagna a 10 strati di nonna Pina e 'na peperonata al pranzo di ferragosto, quando t'appennichi sotto il sole cocente per diventare sempre piùneromatantogiàsaichefiniraiustionatoemaculatodopounasettimanaenontisipotràguardare, può fare
(per cortesia visto la prossimità col 15 Agosto non utilizzate lo spunto per trovare nuove equazioni alle derivate parziali che questa basta e avanza):

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi     (1)

dove i^2=-1 e \hbar=\frac{h}{2\pi}=1.054573 \cdot 10^{-34}Js è la costante di Planck.

Nota: se fate riferimento ai precedenti post (postfigo1 e postfigo2) l'equazione generale contiene \nabla^2 anzichè \frac{\partial^2}{\partial x^2}; questo perché nei precedenti post era dato per implicito che \Psi dipenda dalle tre coordinate spaziali x, y, z e dal tempo t, in simboli \Psi(\underline{x},t) dove \underline{x} è il vettore (x,y,z). Per non complicare una situazione già intricata, stiamo considerando \Psi dipendente da una sola dimensione spaziale e dal tempo, in simboli  \Psi(\underline{x},t)=\Psi(x,t).  Pertanto \nabla^2\Psi(\underline{x},t)=\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}.

Cosa c'entra il titolo?! Un caro "amico" (uno stimatissimo manager di cui non farò il nome) la scorsa settimana ha esordito con un paio di barzellette essendo seduti al tavolo
io,una matematica, lui un ingegnere e un terzo collega, un fisico. Le barzellette recitavano:
un fisico ragionerebbe così:
"3 è numero primo, 5 è numero primo, 7 è numero primo, quindi tutti i numeri dispari sono primi..."
il matematico così:
''3 è un primo, 5 è un primo, 7 è un primo, e per induzione ogni numero dispari più grande di 2 è primo".
Ahahahahhaha quant'è vero!!! ...(silenzio imbarazzante)...Ve la spiego: il fisico procede basandosi sulla realtà, su ciò che riesce a riprodurre in laboratorio. Per il fisico basta che l'evento si riproduca come ci si aspettava, anche se la formula non è dimostrata, per dire che la formula vale e convalidarla. Il matematico è un formalista, una persona che necessita del rigore logico. Non importa che non si abbia un riscontro concreto con la realtà, basta che la formula sia elegante e dimostrata! Poi letteralmente chissene che non serve a nulla... "è bella!".

Fermi fermi dai non è il momento di aprire un dibattito su quanto i matematici siano brutti, sfigati , con la gobba e con la fobia del complotto e i fisici siano dei messia, ma sempre brutti, storti e un pò meno sfigati. [E gli ingegneri?! ve lo dico per par condicio, primitivi, pelati e con la "panza" a cocomero!].
Oggi voglio che ci dimentichiamo di essere matematici e ragioniamo da fisici. Forza e coraggio, sporchiamoci le mani.

Una prima approssimazione

Supponiamo che il potenziale V(x,t) non dipenda dal tempo (ommioddio!), in simboli V(x,t)=V(x).

fermare il tempo

A questo punto possiamo procedere serenamente con il metodo di separazione delle variabili, cioè supporre che \Psi(x,t)=\psi(x)f(t). E' fatta! Di conseguenza otteniamo:

\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}= \psi(x) \frac{df(t)}{dt}

e

\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} = \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}f(t)

Benissimo, sostituiamo in nell'equazione "madre" (1) e otteniamo:
i\hbar \psi(x)\frac{df(t)}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}f(t) +V(x)\psi(x)f(t)

quindi isoliamo a primo membro ciò che riguarda f(t) e a destra ciò che coinvolge la \psi(x). Si potrà scrivere allora:

i\hbar \frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi(x)}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x).

Ora chiediamoci, come fanno due quantità, una dipendente dal tempo e l'altra dipendente dalla posizione ad essere uguali? ...(riflessione)...

E' "facile" devono essere entrambe uguali alla medesima costante che chiameremo E. In simboli,

i\hbar \frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}= E =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi(x)}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)

Ora se ci riflettete un attimo...(riflessione)... l'equazione differenziale alle derivate parziali di partenza si è semplificata in due equazioni differenziali ordinarie. La prima

i\hbar \frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}= E è banalmente risolvibile (oggi è tutto così triviale).
Infatti \frac{df(t)}{f(t)}= \frac{E}{i\hbar}dt, integrate ambo i membri (fatto?!)
\int \frac{df(t)}{f(t)}= \int \frac{E}{i\hbar}dt \rightarrow log|f(t)|= -\frac{iE}{\hbar} t+ K .

Si noti che  -\frac{iE}{\hbar} si ottiene da \frac{E}{i\hbar} moltiplicando numeratore e denominatore per i.

Per cui passando all'esponenziale f(t)=Ae^{-\frac{iE}{\hbar}t} con A costante.
La seconda (che scrivo per comodità come segue dopo aver moltiplicato ambo i membri per \psi(x))

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)

è detta equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo e non possiamo andare oltre fin quando non si esplicita il potenziale.

Come possono queste soluzioni che sembrano fornire risultati così specifici aiutarci a trovare la soluzione generale?

Intanto rappresentano stati stazionari! Ovvero stati ad energia fissata o con altre parole stati che non decadono in altri stati in assenza di perturbazioni esterne. Infatti la densità di probabilità con cui si calcola ad esempio il valore di aspettazione dell’osservabile posizione x (in simboli <x>) non dipenda dal tempo. Infatti, dato che il fattore

|\Psi(x,t)|^2= \Psi^*\Psi= \psi^*e^{\frac{iE}{\hbar}}\psi e^{-\frac{iE}{\hbar}}=|\psi(x)|^2

non dipende dal tempo, anche

<x>=\int x|\Psi(x,t)|^2dx

non lo è.

Inoltre rappresentano stati di energia totale definita. Se indichiamo con

\hat{H}= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V,

l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo si può scrivere:

\hat{H}\psi=E\psi.

Qui si noti come la soluzione sia un autostato dell'hamiltoniana quantistica. Inoltre il
valore di aspettazione dell'energia totale è

<\hat{H}>=\int \psi^* \hat{H}\psi = E \int |\psi|^2dx= E

mentre

<\hat{H}^2>=\int \psi^* \hat{H}^2\psi = E^2 \int |\psi|^2dx= E^2

Per cui la deviazione standard di \hat{H} vale
\sigma_{\hat{H}}^2=<\hat{H}>^2-<\hat{H^2}>=0

Cioè per le soluzioni separabili ogni misurazione dell'energia totale fornisce con certezza il valore E.

Infine e qui ci siamo: la soluzione generale è ottenuta come combinazione lineare delle soluzioni stazionarie:

\Psi(x,t)=\Sigma_{n=1}^{+\infty}c_n \psi_n(x)e^{-\frac{iE_n}{\hbar}}.

Pertanto una volta trovato il valore delle costanti c_n tramite le opportune condizioni iniziali del problema si ricava la soluzione generale.

Conclusioni

Ora magari vi state chiedendo cosa c'è di non matematico in questo discorso? L'approccio, un matematico avrebbe trovato una formulaccia generale (Si pensi alle formule di derivazione: con un numero finito di regole si riesce a risolvere un numero infinito di integrali!), dimostrata, complicata ma bella.
Va bene ma siamo qui a far filosofia? Ora ci interessa che funzioni (approccio alla fisico) e se qualcuno rimane titubante può rilassarsi sotto l'ombrellone dimostrando che la soluzione spacciata per generale sia effettivamente tale! Buon divertimento!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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