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Lo sapevate che ... i quadrati magici

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I quadrati magici

Un quadrato magico è una matrice n x n composta da n numeri interi distinti15_quadrato_magico tale che la somma dei suoi elementi su ogni riga, su ogni colonna e su entrambe le diagonali sia pari ad uno stesso numero, detto costante magica del quadrato.
Se un quadrato magico n x n contiene tutti gli interi da 1 a n^2 allora si dice perfetto o normale e la sua costante è pari a:

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} k = \frac{1}{2} n(n^2+1)

Le prime notizie riguardo i quadrati magici risalgono al I sec. d.C. in Cina, mentre in Europa fanno la loro comparsa a partire dal XIII sec. d.C..

Si supponeva che i quadrati magici fossero le immagini dei pianeti e in quanto tali dotati di magia; per questo venivano utilizzati nella costruzione di talismani per attirare le influenze dei pianeti che rappresentavano. A partire dall'Illuminismo invece questi persero il loro carattere mistico e divennero a tutti gli effetti degli oggetti matematici da studiare.

Esempio

Consideriamo il caso di un quadrato magico perfetto n x n. Le modalità di costruzione sono 3 e dipendono dalla natura di n, in particolare:

  • n dispari
  • n divisibile per 2 ma non per 4 (semplicemente pari)
  • n divisibile per 4 (doppiamente pari)

Vediamo un esempio di costruzione di un quadrato magico perfetto con $n$ dispari.

Si inserisce il numero 1 sulla prima riga nella colonna centrale (per n=3 nella cella (1, 2), per n=5 nella cella (1, 3), etc.).

Successivamente si inseriscono i valori da 2 a n^2 di una casella a destra, prevedendo i casi particolari in cui si finisce fuori dal quadrato, in particolare:

  • se si finisce sopra la prima riga si resta nella stessa colonna andando all'ultima riga;
  • se si finisce a destra del quadrato si resta sulla stessa riga ma nell'estrema colonna di sinistra;
  • se si finisce in una cella già occupata, si torna all'ultima cella completata e si inserisce il valore successivo immediatamente sotto a quella.

Nel caso n=3 ecco i passaggi:

 

\left[\begin{array}{ccc}* & 1 & *\\ *&*&*\\ *&*&* \end{array}\right]

\downarrow

\left[\begin{array}{ccc}*&1&*\\*&*&*\\*&*&2\end{array}\right]

\downarrow

\left[\begin{array}{ccc}*&1&*\\3&*&*\\*&*&2\end{array}\right]

\downarrow

\left[\begin{array}{ccc}*&1&*\\3&*&*\\4&*&2\end{array}\right]

e continuando coi vari passaggi si ottiene il quadrato di ordine 3 e costante magica 15

 

\left[\begin{array}{ccc}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\end{array}\right]

 

Per chi fosse interessato alla costruzione di quadrati magici per gli altri due casi si veda il seguente link: costruzione di quadrati magici.

 

Infine per i più curiosi si sappia che esistono generalizzazioni e utilizzi molto fantasiose dei quadrati magici, ad esempio i quadrati magici di Fibonacci, i cubi magici e addirittura quadrati magici legati alla Massoneria.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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