Lo sapevate che … i quadrati magici

I quadrati magici

Un quadrato magico è una matrice $$n x n$$ composta da $$n$$ numeri interi distinti tale che la somma dei suoi elementi su ogni riga, su ogni colonna e su entrambe le diagonali sia pari ad uno stesso numero, detto costante magica del quadrato.
Se un quadrato magico $$n x n$$ contiene tutti gli interi da $$1$$ a $$n^2$$ allora si dice perfetto o normale e la sua costante è pari a:

$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} k = \frac{1}{2} n(n^2+1)$$

Le prime notizie riguardo i quadrati magici risalgono al I sec. d.C. in Cina, mentre in Europa fanno la loro comparsa a partire dal XIII sec. d.C..

Si supponeva che i quadrati magici fossero le immagini dei pianeti e in quanto tali dotati di magia; per questo venivano utilizzati nella costruzione di talismani per attirare le influenze dei pianeti che rappresentavano. A partire dall’Illuminismo invece questi persero il loro carattere mistico e divennero a tutti gli effetti degli oggetti matematici da studiare.

Esempio

Consideriamo il caso di un quadrato magico perfetto $$n x n$$. Le modalità di costruzione sono $$3$$ e dipendono dalla natura di $$n$$, in particolare:

• $$n$$ dispari
• $$n$$ divisibile per $$2$$ ma non per $$4$$ (semplicemente pari)
• $$n$$ divisibile per $$4$$ (doppiamente pari)

Vediamo un esempio di costruzione di un quadrato magico perfetto con $n$ dispari.

Si inserisce il numero $$1$$ sulla prima riga nella colonna centrale (per $$n=3$$ nella cella $$(1, 2)$$, per $$n=5$$ nella cella $$(1, 3)$$, etc.).

Successivamente si inseriscono i valori da $$2$$ a $$n^2$$ di una casella a destra, prevedendo i casi particolari in cui si finisce fuori dal quadrato, in particolare:

• se si finisce sopra la prima riga si resta nella stessa colonna andando all’ultima riga;
• se si finisce a destra del quadrato si resta sulla stessa riga ma nell’estrema colonna di sinistra;
• se si finisce in una cella già occupata, si torna all’ultima cella completata e si inserisce il valore successivo immediatamente sotto a quella.

Nel caso $$n=3$$ ecco i passaggi:

$$\left[\begin{array}{ccc}* & 1 & *\\ *&*&*\\ *&*&* \end{array}\right]$$

$$\downarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}*&1&*\\*&*&*\\*&*&2\end{array}\right]$$

$$\downarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}*&1&*\\3&*&*\\*&*&2\end{array}\right]$$

$$\downarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}*&1&*\\3&*&*\\4&*&2\end{array}\right]$$

e continuando coi vari passaggi si ottiene il quadrato di ordine $$3$$ e costante magica $$15$$

$$\left[\begin{array}{ccc}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\end{array}\right]$$

Per chi fosse interessato alla costruzione di quadrati magici per gli altri due casi si veda il seguente link: costruzione di quadrati magici.

Infine per i più curiosi si sappia che esistono generalizzazioni e utilizzi molto fantasiose dei quadrati magici, ad esempio i quadrati magici di Fibonacci, i cubi magici e addirittura quadrati magici legati alla Massoneria.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.