Blog divulgativo sulla matematica applicata

Pricing dei derivati seconda parte (sconti e arbitraggi)

Header1

In questo ultimo post sul tema dei derivati introdurrò i concetti di sconto e arbitraggio.

Chiariamo subito... l'immagine iniziale era volutamente ironica, lo sconto non ha a niente a che fare con i saldi, e l'arbitraggio non c'entra con il rispetto delle regole nelle competizioni sportive!

In ambito finanziario lo sconto è un fattore moltiplicativo che si usa per tenere conto del fatto che un pagamento di denaro effettuato nel futuro vale meno della stessa quantità pagata ad oggi. In pratica 100 euro ricevuti tra un anno valgono meno di 100 euro ricevuti oggi.

Come mai? Il motivo è che esistono degli investimenti privi di rischio che mi possono dare un rendimento sul denaro. Se mi vengono dati 100 euro oggi posso investirli e ottenere ad esempio 101 euro tra un anno. Avrei in questo modo un euro in più rispetto all'ipotesi di avere i 100 euro tra un anno.

Il meccanismo per cui a un ammontare di denaro futuro si associa una quantità attuale più piccola si chiama sconto o attualizzazione.

Lo sconto viene rappresentato come una funzione P(t):[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R} detta curva di conto, che mi dà il valore ad oggi di un pagamento di 1 euro effettuato al tempo t.

In condizioni normali di mercato la funzione di sconto ha le seguenti caratteristiche:

  • P(0) = 1 perché un euro pagato adesso vale esattamente un euro;
  • P(t) è monotona decrescente perché dati t_1 e t_2 con t_1 < t_2, un euro pagato in t_2 vale sempre meno di un euro pagato in t_1 per cui si ha P(t_1) > P(t_2).

Come conseguenza di queste due caratteristiche abbiamo anche che P(t) < 1 per t > 0 cioè che un euro pagato nel futuro vale meno di un euro ad oggi.

Siccome P(t) è il valore attuale di 1 euro pagato al tempo t, il valore attuale di M euro pagati al tempo t è semplicemente P(t) \cdot M.

Vediamo come queste considerazioni si inseriscono nel contesto dei derivati.

Ricordo al volo come abbiamo definito un derivato finanziario:

un derivato è un contratto che prevede scambi di denaro futuri che dipendono, tramite delle funzioni dette payoff, dai valori che assumeranno una o più variabili di mercato.

Ipotizziamo di avere un derivato che dipende da una sola variabile di mercato x (ad esempio il prezzo del petrolio o il prezzo di un'azione o il valore di un tasso Euribor) e che prevede n pagamenti ai tempi t_1,\ldots, t_n il cui ammontare è definito da n funzioni f_1(x_1),\ldots, f_n(x_n) dove x_1,\ldots, x_n sono i valori che assumerà la variabile di mercato nei tempi futuri t_1,\ldots, t_n.

Essendo le variabili di mercato valutate nel futuro, possiamo pensare che x_1,\ldots x_n e di conseguenza f_1(x_1),\ldots, f_n(x_n) siano delle variabili aleatorie.

Il prezzo del derivato è definito come il valore atteso della somma di tutti i pagamenti futuri scontati ad oggi. Questo è il valore che ha senso attribuire al derivato nel momento in cui lo si vuole vendere o comprare, perché rappresenta la quantità di denaro totale che mi aspetto di ricevere (o pagare) in media tenendo conto che i pagamenti vanno scontati ad oggi. Espresso in formule il valore di mercato del derivato sarebbe:

\displaystyle V = E\left[\sum_{i=1}^{n} P(t_i)f_i(x_i)\right]

Per calcolare il valore V del derivato di solito si procede individuando un processo stocastico che sia adatto a modellizzare l'evoluzione della variabile di mercato sottostante al derivato.

A questo punto se il processo stocastico scelto o le formule di payoff sono abbastanza semplici si riesce ad usare la formula precedente per calcolare il valore del derivato in modo analitico. Se invece le formule sono troppo complesse da permettere una trattazione analitica si ricorre invece alle simulazioni Monte Carlo.

In questa seconda ipotesi vengono simulati molti cammini del processo stocastico, per ogni cammino vengono presi i valori x_1, \ldots, x_n che assume il processo stocastico ai tempi t_1, \ldots, t_n e calcolato il valore del derivato in quella particolare simulazione  \sum _i P(t_i)f_i(x_i). Facendo la media su tutti i percorsi simulati si ottiene quindi una stima del valore del derivato.

VasicekModel

Simulazioni Monte Carlo dei possibili cammini di una variabile sottostante a un derivato.

Voglio concludere il nostro viaggio nel mondo del pricing dei derivati con il concetto che rappresenta il caposaldo della moderna matematica finanziaria: l'arbitraggio. Ci sono diverse definizioni formali possibili (nelle quali non ci addentreremo), ma l'idea è che con arbitraggio di intenda la possibilità di creare investimenti che in modo certo possano dare un guadagno istantaneo.

Solitamente se esistono possibilità di fare arbitraggi i prezzi di mercato si muovono in modo da annullarle in breve tempo.

Esempio: potrebbe essere che per come sono i cambi tra le diverse valute in un certo istante convertendo euro in dollari, dollari in sterline e sterline in euro ci si possa ritrovare con più euro di prima! Quando questo succede tuttavia i cambi si assestano rapidamente in modo che l'operazione non sia più possibile.

In finanza matematica l'ipotesi che non esistano opportunità di arbitraggio introduce forti vincoli nella teoria e permette di ricavare molti risultati a partire da un unico principio.

Una delle conseguenze più importanti riguarda proprio la possibilità di ricavare da questa ipotesi la formula di pricing dei derivati che abbiamo visto prima.

Si può dimostrare infatti che se attribuissimo ai derivati un prezzo diverso da quello della formula allora esisterebbero delle opportunità di arbitraggio.

Ciao!

Un paio di note:

  • la seconda proprietà della funzione P non è soddisfatta in situazioni di tassi negativi, cosa piuttosto rara, ma che sta avvenendo in questi anni in Europa ed è accaduta in Giappone in passato. Visto il periodo di crisi nel quale è aumentata la disoccupazione in conseguenza al fallimento di molte aziende, La Banca Centrale Europea ha deciso da un paio di anni di rendere negativi i tassi a breve con cui finanzia le banche. Lo scopo sarebbe quello di spingere gli istituti di credito a concedere più facilmente prestiti verso i clienti o in generale a fare in modo che investano in attività produttive per stimolare così l'economia.
  • essendo la funzione P deterministica potrebbe essere tenuta fuori dal valore atteso nella formula di pricing. In contesti più generali tuttavia lo sconto è anch'esso stocastico per cui ho preferito scrivere la formula in questo modo.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Similar posts

Nessun commento ancora

Lascia una risposta

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

È possibile utilizzare questi tag ed attributi XHTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Iscriviti alla nostra newsletter

Resta aggiornato sui nostri post e su quello che facciamo.

Canale Telegram dedicato alla Matematica

Iscriviti sul nostro canale Telegram

MIA15 - Nomination

Rimani aggiornato sui più interessanti articoli di divulgazione matematica e non solo!

Seguici su Twitter

Tag Cloud

Partecipa all’indagine “Io e la Matematica”

Clicca sull'immagine sottostante per rispondere al breve e anonimo questionario:

MIA15 - Nomination

Conviditi con i tuoi contatti questo link!

Grazie per il sostegno ai #MIA2015

Grazie a tutti per averci votato ai "Macchia Nera Awards 2015" nella categoria "Miglior Sito Tecnico-Divulgativo".

Siamo arrivati in finale grazie al vostro sostegno!

MIA15 - Nomination