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La Trigonometria tra i sistemi di riferimento: le coordinate polari [Parte 3]

Ben tornati su Math Is In The Air!

Oggi continuerò la serie di post sulla trigonometria! Sono così tante le sue applicazioni che davvero ho l’imbarazzo della scelta. Perciò: dopo aver parlato di palazzi e navi (qui) e dopo aver parlato di aerei e fiumi (qui) oggi parliamo di sistemi di riferimento!

Beh che dire…buona lettura!

Un sistema di riferimento

Cos’è un sistema di riferimento?

Tutti conoscono il piano cartesiano, e forse qualcuno lo odia da un sacco di tempo. In cosa consiste? Consiste in un punto detto origine e in due assi (le ascisse e le ordinate). Una volta disegnati questi tre elementi, ogni punto del piano è univocamente determinato da una coppia (x,y). Questo è appunto il motivo per cui serve un sistema di riferimento: per caratterizzare in modo univoco la posizione di un oggetto nel piano. E questo vale in generale!

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Non vi ho dato ancora l’idea? Eccone un’altra! Prendete ad esempio latitudine e longitudine. Ecco, sulla Terra, che è una sfera (diciamo…) e non un piano, per localizzare un punto sono sufficienti latitudine e longitudine che sono niente meno che due angoli, formati rispettivamente dall’angolo cui ci troviamo rispetto l’equatore e da quello rispetto il meridiano di Greenwich. Queste sono coordinate piuttosto comuni ed inoltre rappresentano un sistema di riferimento su una sfera.

latitudine_e_longitudine

Detto in maniera grossolana quindi, un sistema di riferimento è un insieme di coordinate i cui valori determinano in modo univoco i punti di un oggetto geometrico.

Qualche altro esempio

Facciamo qualche altro esempio. Domanda: come facciamo nello spazio tridimensionale?

Come è noto, viviamo in uno spazio tridimensionale, ovvero ci sono tre dimensioni. Quando compriamo un mobile generalmente lo richiediamo avente larghezza y, profondità x e altezza z. Per descrivere completamente un oggetto abbiamo generalmente bisogno di localizzarlo e di darne le dimensioni.

Quindi, possiamo arrivare subito a capire che probabilmente un piano cartesiano non basta per localizzare un punto nello spazio 3D. Il problema infatti è che il piano cartesiano, come dice la parola, va bene per il piano! Dobbiamo quindi introdurre un altro asse, l’asse z, che buca il piano "cartesiano" x-y nell’origine in modo ad esso perpendicolare. Quindi ora, con tre assi, e perciò tre coordinate, riusciamo a definire i punti in modo preciso ed univoco.

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Domanda: e su una retta?

Beh, in questo caso è molto semplice. Ci basta darle un verso e definire un suo punto come origine. L’unica coordinata che ci serve è la distanza (orientata) dall’origine.

Domanda (giuro l’ultima!): e su un cerchio?

Per chi si fosse chiesto “ma quando arriva la trigonometria?”..eccoci! Su un cerchio la situazione è la seguente: il cerchio giace sul piano, perciò potremmo usare il piano cartesiano. Tutto questo va bene, infatti il cerchio è il luogo di punto equidistanti da un punto detto centro. Immaginiamo per semplicità che il centro sia l’origine degli assi e che il raggio sia R. Come caratterizzo i punti?

In questo sistema di riferimento, i punti del cerchio sono tutti e soli quelli che soddisfano l’equazione x^2 + y^2 = R^2.

Possiamo fare di meglio? Sì certo!

Il cerchio è unidimensionale, perciò intuitivamente ci aspettiamo che basti una sola coordinata per descrivere i suoi punti e non due, come finora abbiamo proposto! Cosa ci viene in mente? L’angolo!

coordinate_polari

Dato che ogni punto P è a distanza R dal centro, è sufficiente descrivere P dall’angolo che l’asse x forma con il segmento OP. E così ce la siamo cavata, con una coordinata sola!

Una volta ottenuto ciò, se volessimo ritornare nel piano e alle coordinate cartesiane, ci accorgiamo che la trigonometria ci da la risposta! Infatti , se \theta è l’angolo di P, la sua ascissa sarebbe x=R\cos(\theta) mentre la sua ordinata y=R\sin(\theta).

Polare polare polare

Ora vorrei proporvi un mix di quello che abbiamo detto qui sopra. Come ben potevate immaginare, il piano cartesiano a volte non piace molto ai matematici, che per questo e mille altri motivi hanno deciso di definire altri sistemi di riferimento. Alcuni di essi sono così bizzarri che preferisco non parlarne, ma questo di cui vi dirò è davvero carino.

E’ detto sistema di riferimento polare, o sistema di coordinate polari, ed è sistema di riferimento a due coordinate per il piano. Queste due nuove coordinate sono R, il raggio, e \theta, l’angolo. Immaginate infatti di fare la seguente divisione del piano: invece che fare una griglia di righe e colonne (così com’era per il piano cartesiano) qui facciamo tantissimi cerchi concentrici attorno all’origine, di raggio sempre più grande. Ogni punto P del piano giace su una di queste circonferenze, e solo su una di esse. Il raggio di questa circonferenza diventa il raggio del nostro punto P, ovvero la R di P.

E l’angolo? Beh, per quello che abbiamo detto prima, se un punto è su una circonferenza , è localizzabile solamente dall’angolo che forma con l’asse delle x. Quello sarà \theta di P.

polar-coordinates-template

E la corrispondenza c’è. Per ogni punto ci sono R e \theta e per ogni R e \theta c’è un punto del piano.

Ma abbiamo limitazioni? Sì! R deve essere positivo, e l’angolo può variare tra 0 e 360 gradi (tra 0 e 2\pi radianti). Aumentare l’angolo oltre 360 è inutile, corrisponderebbe solo a proseguire il giro!

Come si torna indietro? Mettiamo che per qualche motivo volessimo tornare alle coordinate cartesiane. Come si fa?

Sempre da quello che abbiamo osservato prima, se un punto ha raggio R, ovvero giace sulla circonferenza di centro l’origine e raggio R, e angolo \theta, passiamo alle sua coordinate con pochissima trigonometria: otteniamo che le sue coordinate sono: x=R\cos(\theta) e y=R\sin(\theta). Niente di più bello e facile!

Non vi basta?

Ok ok, non mi farò pregare! Nel prossimo post vi parlerò di altre coordinate polari, stavolta nello spazio tridimensionale!!! E magari vi spiegherò anche a cosa possono servire…fino ad allora, ciao!

Ps: Please, wait for part 4! —> e ricordatevi di leggere la mia storiella di Natale…un po' fuori stagione ma che, guarda un po’, parla di coordinate polari! Eccola qui!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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