Blog divulgativo sulla matematica applicata

I pilastri della meccanica quantistica

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Rimettiamo tutto in testa

Nei miei post precedenti ho trattato di Meccanica Quantistica in modo quasi spensierato. Ho provato in modo paziente e certosino di rendere taluni argomenti accessibili anche a chi di Meccanica Quantistica non ne capisce molto. Seguendo i dettami di uno dei suoi padri (della Meccanica Quantistica per inteso) ho provato a rendere le cose più il più semplice possibile ma non più semplici del necessario. Questo mio approccio è spesso, se non addirittura sempre, andato a scapito di un formalismo matematico elaborato e complesso.

In modo più o meno velato ho lasciato trasparire dai miei post precedenti il mio approccio allo studio della fisica e della matematica. Mi sono concentrato sulle connessioni che taluni argomenti hanno con il mondo fisico piuttosto che usare equazioni forbite di cui nessuno capisce il reale significato.

In quest'ultima fatica, purtroppo, in alcuni casi dovrò mettere un attimo da parte questo approccio. Questo non è un passo indietro, è una placida ammissione che, in taluni casi, per apprezzare la forza e la bellezza della matematica e della fisica un equazione va pur scritta; e che in taluni casi un equazione vale più di mille parole. Chi non dovesse trovarsi a proprio agio con certi formalismi può cogliere la parte più qualitativa del discorso e non preoccuparsi delle formule, questo non gli impedirà di intravedere la bellezza di cui stiamo parlando.

Ancora sugli stati...

Il concetto di stato in fisica classica e in Meccanica Quantistica è stato da me analizzato in questo post. In questa sede voglio solo aggiungere un ulteriore considerazione che ci tornerà più utile in seguito.

In fisica classica conoscere lo stato di un sistema vuol dire conoscere ogni cosa di quel sistema necessaria per prevedere la sua evoluzione futura. In Meccanica Quantistica, conoscere lo stato di un sistema, significa conoscere quanto possiamo sapere di quel sistema ma non necessariamente tutto. Risulta evidente la discrepanza semantica tra le due definizioni che risulterà cruciale tra poco.

Rappresentare gli stati di spin

Dopo aver parlato a lungo di spin a questo punto siamo pronti per trovare una forma matematica che ci consenta di rappresentare un generico stato di spin. La prima ipotesi che faremo è la seguente:

Ogni stato di spin può essere rappresentato in uno spazio vettoriale bidimensionale.

Ho voluto enfatizzare questo concetto perché porta con se un ipotesi molto più profonda e, forse, legata alla personale interpretazione della Meccanica Quantistica. In ogni caso ritorneremo su questa ipotesi in seguito. Per ora vi chiedo di condividere le mie idee e il mio punto di vista.

Per rappresentare il generico stato possiamo usare come base due degli stati già individuati in precedenza. Senza ledere alla generalità del problema possiamo usare |u> e |d>. Con questa convenzione e chiamando il generico stato |A> otteniamo

|A> = {\alpha}_{u} |u>+ {\alpha}_{d} |d>

In questo caso {\alpha}_{u} e {\alpha}_{d} rappresentano le componenti di |A> lungo le direzioni |u> e |d> rispettivamente e da quanto esposto precedentemente si possono esprimere formalmente come

{\alpha}_{u}=<u|A>

{\alpha}_{d}=<d|A>

Questo è uno di quei casi a cui facevo riferimento prima dicendo che avrei lasciato il sentiero che connette la fisica con la realtà per battere quello della fisica astratta. Le due grandezze {\alpha}_{u} e {\alpha}_{d} sono due numeri complessi e non hanno alcun significato fisico concreto. Pura astrazione in cui sguazzare allegramente, se questo è il vostro genere.

Ora correrò subito ai ripari riportando tutti nel mondo delle cose concrete. Anche se {\alpha}_{u} e {\alpha}_{d} di per se non hanno significato fisico ne hanno i loro moduli indicati rispettivamente come {\alpha}_{u}*{\alpha}_{u} e {\alpha}_{d}*{\alpha}_{d}.

Supponiamo di conoscere lo stato dello spin e che esso sia |A> misurato lungo una direzione qualsiasi. La domanda che vogliamo porci è la seguente: Noto lo spin lungo una direzione qualsiasi e denominato |A> il suo valore, quale è la probabilità che lo spin lungo z, ovvero quello che abbiamo chiamato {\sigma}_{z} valga +1, ovvero si trovi nello stato up? La risposta a questa domanda è {\alpha}_{u}*{\alpha}_{u}. Analogamente la quantità {\alpha}_{d}*{\alpha}_{d} ci da la probabilità che lo spin lungo l'asse z sia in condizione down. In termini più rigorosi la stessa probabilità può scriversi come

{P}_{u}=<A|u><u|A>

{P}_{d}=<A|d><d|A>

Adesso focalizziamoci su due proprietà alquanto banali della probabilità. Per prima cosa facciamo notare che gli stati |d> e |u> sono mutuamente esclusivi. Se lo spin è down non può essere up e viceversa. Tale relazione di ortogonalità si può scrivere come

<u|d>=<d|u>=0

Ovvero i due vettori sono ortogonali. Brevemente vi faccio notare che ortogonalità dei vettori e ortogonalità delle direzioni sono cose differenti. In questo caso i vettori sono si ortogonali ma non lo sono le direzioni che, invece, formano un angolo di 180° tra di loro.

Secondo concetto da tenere a mente è che la somma di probabilità relative a stati ortogonali tra di loro deve essere al più uguale all'unità, può essere inferiore se gli spazi scelti non coprono tutto le possibilità ma mai superiore. Questo deriva direttamente dalla definizione di probabilità. Applicando questo concetto al caso dello spin otteniamo che:

{\alpha}_{u}*{\alpha}_{u}+{\alpha}_{d}*{\alpha}_{d}=1

Questo ci permette di trarre delle conclusioni che, sebbene qui siano state derivate nel caso dello spin, valgono per tutti i sistemi quantistici in generale.

  1. Il vettore di stato |A> è normalizzato all'unità, ovvero <A|A>=1, nello spazio vettoriale degli stati.
  2. Il modulo al quadrato delle componenti del vettore di stato lungo i vettori di base rappresenta la probabilità di un esperimento fisico riproducibile.

Lo stato lungo x

Invece del generico stato |A> facciamo riferimento agli stati lungo l'asse x. Questi vengono espressi come |r> ed |l>. Cominciamo con lo stato |r> e facciamo riferimento all'esperimento presentato in un mio primo post. In quel caso abbiamo detto che noto lo spin lungo l'asse x lo spin lungo l'asse z può essere +1 o -1 con eguale probabilità, ovvero \frac{1}{2}. Un semplice vettore che rispetta questa condizione è il seguente

|r>=\frac{1}{\sqrt{2}}|u>+\frac{1}{\sqrt{2}}|d>

Possiamo esprimere lo stato |l> tenendo conto che:

  • la probalità lungo l'asse z è ancora \frac{1}{2}.
  • gli stati |r> ed |l> sono ortogonali, ovvero <r|l>=<l|r>=0.

In tal caso possiamo esprimere lo stato |l> come:

|l>=\frac{1}{\sqrt{2}}|u>-\frac{1}{\sqrt{2}}|d>

I vettori appena trovati non sono unici. Supponiamo di moltiplicare |l> per un generico numero complesso. Questo non influirà sull'ortogonalità tra |l> ed |r> per tanto il vettore ottenuto è ancora valido. Qualcuno potrebbe obbiettare che la moltiplicazione per un numero complesso di uno spazio vettoriale equivale ad una sua espansione o compressione e che quindi |l> non sarà più normalizzato all'unità. Se il numero complesso per cui moltiplico |l> ha modulo unitario anche tale condizione viene rispettata. Il vettore che ottengo è perfettamente valido per esprimere lo stato del sistema. Tale ambiguità, in Meccanica Quantistica, viene chiamata ambiguità di fase.

Il prossimo step sarà quello di ricavare le espressioni per gli stati lungo l'asse y che avevamo indicato con |o> e |i>. Senza ripetere i passaggi svolti per l'asse x riportiamo di seguito due espressioni, comode, ricordando sempre di fare attenzione all'ambiguità intrinseca.

|i>=\frac{1}{\sqrt{2}}|u>+\frac{i}{\sqrt{2}}|d>

|o>=\frac{1}{\sqrt{2}}|u>-\frac{i}{\sqrt{2}}|d>

L'ultimo passo che ci resta da fare prima di andare oltre e applicare tutto ciò ad un caso concreto è trovare un espressione per |u> e |d>. Tale espressione non può essere ottenuta in termini di altri stati poiché ciò lederebbe il fatto che |u> e |d> sono le basi per il sistema. Una rappresentazione tra le tante è la seguente

|u> = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

|d> = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Cosa ci garantisce che un vettore colonna di soli due elementi sia sufficiente per esprimere gli stati di spin? Sempre nel post precedente, parlando di basi ortogonali ed ortonormali, abbiamo detto che il numero di righe deve essere pari al numero di parametri linearmente indipendenti; solo in questo caso tutta l'impalcatura può reggere e |u> e |d> sono vettori accettabili.

Come facciamo a dire che il numero di parametri indipendenti è proprio due? Il metodo più semplice è pensare che il generico stato |A> rappresenta un vettore nello spazio. Per identificare tale vettore occorrono due parametri. Perché due sono gli angoli che occorrono per definire un vettore nello spazio tridimensionale.

Un altro approccio consiste nel partire dai valori di {\alpha}_{u} e {\alpha}_{d}. Per definire questi due parametri occorrono quattro numeri reali, due per ogni numero complesso. Come possiamo ridurre questi parametri da quattro a due? Dobbiamo ricorrere a due condizioni al contorno appropriate:

  1. la condizione di normalizzazione.
  2. l'ambiguità di fase.

Applicando queste due condizioni otteniamo così che di nuovo i parametri indipendenti sono due.

Costruire le basi

A questo punto abbiamo messo da parte un po di concetti, ci siamo riempiti la testa di concetti talvolta astrusi, ci siamo immersi, rischiando quasi di annegare, in un mare di equazioni. Per la gioia di molti di voi, che non dovranno più leggermi mentre maltratto la meccanica quantistica, siamo giunti alla fine e ora sta per arrivare un salvagente a tirarci tutti fuori da questo mare.

Per evitare che questo salvagente si trasformi in una zavorra facendoci colare a picco proprio quando siamo ormai in vista della costa andiamo per gradi, un passo alla volta. Per chiudere voglio presentare, e proverò ad essere quanto più esaustivo possibile, quattro principi molto importanti che possono essere considerati la base del seguente studio della meccanica quantistica.

Per prima cosa partiamo con il ricordare che il risultato di una misura  è, in generale, del tutto incerto. In alcuni casi, però, tale risultato può essere completamente definito. Per un elettrone che si trovi nello stato |u> sarà certamente {\sigma}_{z} = +1 mentre per lo stato |d> sarà {\sigma}_{z} = -1. Inoltre, cosa da non sottovalutare, se eseguiamo più volte la misura di spin del nostro sistema potremo ottenere +1 o -1 in modo del  tutto arbitrario ma sempre e solo uno di quei due valori, non potremo mai ottenere +2 o -100. Questo è il primo concetto fondamentale da utilizzare e si può riepilogare dicendo che gli stati di spin sono identificati da un operatore lineare hermitiano.

Il secondo concetto di base da tenere in mente è che i valori che uno stato può assumere sono solo quelli rappresentati dagli autovalori del suo stato.

Per il terzo concetto che voglio esporre utilizzerò un breve esempio. Se mi viene detto che lo spin del mio sistema può trovarsi nello stato |u> oppure |d> sono in grado di dire, e qui ricorro ad una frase da telefilm americano, senza alcun ragionevole dubbio in quale dei due stati il sistema si trova? La risposta, ovviamente, è si. Posso misurare {\sigma}_{z} e individuare lo stato del sistema con certezza. Se mi facessero la stessa domanda per gli stati |l> ed |r>? Ancora una volta sono in grado di distinguerli misurando il valore di {\sigma}_{x}. Infine potrebbero pormi la stessa domanda riguardo gli stati |u> e |r>. In questo caso non avrei modo di distinguere in quale stato si trova il sistema senza alcun ragionevole dubbio. In meccanica quantistica si richiede che stati fisicamente diversi siano rappresentati da vettori di stato ortogonali. Il prodotto tra due vettori di stato a volte si chiama sovrapposizione e dire che due vettori di stato sono ortogonali vuol dire che il loro prodotto scalare è nullo ovvero che è nulla la loro sovrapposizione. Così negli esempi precedenti avremo che <u|d> = 0 e lo stesso <r|l> = 0 mentre <u|r> = \frac{1}{\sqrt{2}}.

L'ultimo concetto da tenere a mente è che il risultato di una misura non è mai un numero certo, non lo ripeterò mai abbastanza, e che quindi non può essere predetto con esattezza. La sua probabilità, invece, è predetta in base alla sovrapposizione dello stato di interesse con l'autovalore che vogliamo osservare. Dato un sistema preparato nello stato |A> la probabilità di osservare il suo autovalore {\lambda}_{i} è data da

P({\lambda}_{i}) ={|<A|{\lambda}_{i}>|}^{2} = <A|{\lambda}_{i}><{\lambda}_{i}|A>

In questo caso usiamo il modulo perché il semplice prodotto <A|{\lambda}_{i}> non sempre è positivo; ne tanto meno reale se proprio vogliamo dirla tutta. La probabilità invece è positiva e reale per cui l'uso del modulo diventa obbligatorio.

Avendo a mente questi quattro principi basilari della meccanica quantistica è possibile comprendere tutte le altre sue conseguenze e ciò che essa implica. Certo non è cosa facile ma se avete letto attentamente i miei post sull'argomento ora dovreste certamente saperne un pò di più a riguardo.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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3 commenti

  1. Giacomo's Gravatar Giacomo
    ottobre 2, 2016    

    La prima equazione non può essere corretta, un ket non può essere la somma di due scalari.

    • Davide's Gravatar Davide
      ottobre 3, 2016    

      Ciao,

      Grazie della segnalazione. Ora dovremmo aver corretto.

      Davide

  2. Vittorio Colagrande's Gravatar Vittorio Colagrande
    ottobre 4, 2016    

    Gent.mo Napolitano P.
    La ringrazio per la cortese risposta di cui al post precedente, sono sostanzialmente d'accordo.
    Per quanto riguarda l'ultimo post, i quattro principi andrebbero chiariti maggiormente e forse ci si
    potrebbe spingere fino ad introdurre una funzione di stato tempo-dipendente e arrivare, con l'approccio
    introdotto in questi post, ad un "accenno" all'equazione di Schrodinger (mi scuso per la dieresi!).
    "Calandosi" al caso unidimensionale ci sarebbe anche un collegamento con il post di questo sito proprio
    su tale equazione.
    Saluti
    Vittorio

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