Blog divulgativo sulla matematica applicata

Auguri di Buone Feste: la storia di una curva ‘differenziata’

Proponiamo anche quest'anno questa divertente storia che vuole essere il nostro modo di farvi gli auguri di buone feste!


Ciao a tutti i lettori,

noi di Math Is In The Air volevamo augurarvi un buon Natale ed un felice anno nuovo e quale modo migliore per farlo di una bella storiella. Quindi mettetevi comodi e rilassati vicino al camino (o al termosifone) e...buona lettura!!!

La storia di una curva 'differenziata'

C’era una volta una giovane curva Gamma. Giaceva nel piano cartesiano bidimensionale ed aveva buoni principi. Purtroppo, però, la sua Y dipendeva dalla X in modo così bizzarro che nessuno della sua famiglia lo aveva ben compreso. Era figlia di funzioni ben definite nel loro dominio, ma, a differenza loro, aveva un problema di definizione! Non sembrava infatti una funzione.

Nonostante le sue condizioni di esistenza risultassero verificate, Gamma fu esiliata dall’insieme delle funzioni e gettata nel mare delle relazioni. Essa infatti era un relazione bella e buona.

Nel mare delle relazioni non ebbe difficoltà ad integrarsi (ma non nel senso di Riemann, e neanche di Lebesgue!) ma ciò che ne derivò fu solo una forte malinconia. Infatti in quel periodo era Natale, e come è ben noto, anche le funzioni hanno una famiglia. Gli mancavano molto i suoi genitori.

La sua assenza di torsione (che nel mondo umano chiameremmo malinconia) fu percepita da Babbo Natale, il quale mandò Bonaventura Cavalieri a manifestarsi in sogno a Gamma. Egli disse: “Mia cara Gamma, tu non sei una mera e semplice relazione, tu sei in verità una bellissima funzione! Se vuoi davvero capire te stessa, un viaggio nel mio regno, ovvero nel regno delle coordinate polari, devi fare!” Concluse il messaggio con altre frasi tartagliate delle quali capì poco o niente (…e quando dico tartagliate non mi riferisco mica al Tartaglia!). Infatti la parte finale fu offuscata dall’arrivo di Gregorio di San Vincenzo che iniziò a sbraitare rivendicando il trono del regno delle coordinate polari. Sentì solo qualche parola: “segmenti”, “unione” e forse “definita a tratti”.

Quasi come un messaggio profetico queste parole la perturbarono profondamente. Così intraprese il viaggio verso il sistema di coordinate polari. Quando arrivò era tutto strano: rette che sembravano cerchi, spirali che sembravano rette, insomma un casino! Quando le funzioni del luogo la videro restarono stupite per la sua bellezza e la accettarono immediatamente!

Gamma iniziò ad osservarsi: si ricordò dei tartagliamenti di Cavalieri: “segmenti a tratti”… “no, forse tratti di segmenti uniti”…  “mmm…un attimo che ci sono” ………… “HO CAPITO! Sono davvero una funzione! Sono unione di segmenti!” Infatti aveva appena scoperto che la sua equazione in coordinate polari era una funzione definita a tratti, dove ad ogni angolo era associato uno ed un solo raggio! Era, Gamma, una bellissima stella!

stellanatale2

Così, dopo aver sacrificato un solido di rotazione in onor di Cavalieri, intraprese il viaggio per tornare nel reame delle funzioni cartesiane. Quando arrivò le ottuse funzioni cartesiane tentarono di differenziarla (che si sa è il contrario di integrare!). Lei tentò con tutte le sue punte di farsi capire e, quando alla fine le funzioni cartesiane capirono, la accettarono per quella che era, apprezzandone la bellezza.

Da quel momento in poi tutti la ricordarono come Gamma, la curva di Natale, o anche, la stella del Natale!

The end

P.S.: Spero vi sia piaciuta la mia storiella. Ovviamente i concetti richiamati coinvolgono una matematica abbastanza avanzata, quindi aggiungo qui un breve commento e qualche link utile (o no :) )

Si sono nominate le coordinate polari, ma cosa sono? E a cosa servono? Nel piano riusciamo a descrivere tutti i punti dalla loro ascissa e ordinata. Queste ultime quindi formano un sistema di coordinate per il piano. Ma non è l'unico sistema possibile. Ad esempio, ogni punto è ad una certa distanza R dall'origine degli assi e la retta passante per l'origine ed il punto forma un certo angolo \theta con l'asse x. Quindi, si vede che ogni punto è univocamente determinato da un raggio R ed un angolo \theta. Queste sono le sue coordinate polari.

Cos'è quindi una funzione nel sistema di coordinate polari? Nel sistema di coordinate cartesiano troviamo una funzione quando la y è espressa in funzione della x o viceversa. In un sistema di coordinate abbiamo il raggio R e l'angolo \theta, perciò una funzione si ottiene quando R è espresso in funzione di \theta o viceversa. Nel caso di Gamma, ad ogni angolo corrisponde un solo raggio, quindi quest'ultimo è espresso in funzione dell'angolo. Siccome è una curva definita a tratti, la sua espressione è elaborata (ma neanche troppo!).

Per darvi un altro esempio abbiamo la spirale archimedea. Infatti per descriverla si può esprimere il raggio in funzione dell'angolo nel seguente modo:  R(\theta) = a \theta ovvero è l'equivalente di una retta nel sistema di coordinate cartesiane.

Ovviamente esistono versioni tridimensionali delle coordinate polari: sono le coordinate cilindriche e le coordinate sferiche. Queste ultime sono molto vicine a quelle che comunemente chiamiamo latitudine e longitudine.

Per i più curiosi, qui troverete le definizioni formali e alcune delle applicazioni: https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate_polari .

Infine, se avete voglia potete leggere un nostro precedente articolo sui grafici: http://www.mathisintheair.org/wp/2015/01/grafici-anche-locchio-vuole-la-sua-parte-2/ .

Buone Feste!!!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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9 commenti

  1. dicembre 20, 2015    

    Storia molto simpatica, un bell'esempio di quella che chiamo ArtMath!

    Buone feste anche a voi!

    • Francesco Bonesi's Gravatar Francesco Bonesi
      dicembre 21, 2015    

      Grazie :)

      Buone feste a te!

  2. dicembre 20, 2015    

    Bella, piacevole. Domani la porto ai bambini a scuola, con minimi adattamenti. Un complimento all'autore anche per qualcosa che non credo interessi molto i matematici, da quello che leggo: la proprietà linguistica.

    • Francesco Bonesi's Gravatar Francesco Bonesi
      dicembre 21, 2015    

      Grazie mille!

  3. sara sarra's Gravatar sara sarra
    dicembre 20, 2015    

    Bella storia a lieto fine! Auguri a tutti!

    • Francesco Bonesi's Gravatar Francesco Bonesi
      dicembre 21, 2015    

      Auguri anche a te! ;)

  4. Giusi's Gravatar Giusi
    dicembre 20, 2015    

    Articolo interessante che vorrei sottoporre all'attenzione dei miei studenti. Potrei avere maggiori informazioni riguardo la curva gamma in coordinate cartesiane?

    • Francesco Bonesi's Gravatar Francesco Bonesi
      dicembre 21, 2015    

      Cara Giusi,
      in coordinate cartesiane la curva gamma è una unione di segmenti. Quindi non è descrivibile come funzione ma al più come "unione" di funzioni. Più propriamente in matematica rappresenta una curva spezzata chiusa.
      Per descriverla si scrivono tutte le equazioni delle rette che formano i segmenti e si appongono limitazioni sulla x (o sulla y) per avere i segmenti desiderati. I punti della stella sono in corrispondenza dei vertici di un pentagono regolare. Basta definirne uno nel piano e disegnare i segmenti voluti. :)
      Riguardo le coordinate polari, la sua descrizione risulta essere una funzione. Il raggio, infatti, può essere espresso in funzione dell'angolo. Verrà una funzione definita a tratti dove compaiono seni e coseni nella scrittura. Il vantaggio è che invece di una "unione" di funzioni si ha una vera e propria funzione.

      Spero di essere stato chiaro! Scrivici ancora se vuoi spiegazioni in più!

      Per il momento, tanti auguri! :)
      Francesco

      • Stefania's Gravatar Stefania
        gennaio 1, 2020    

        Bellissima storia!!
        Mi potresti scrivere la funzione gamma in coordinate polari?
        Grazie mille e complimenti!

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