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L'equazione che fa vibrare il mondo

Cosa hanno in comune una sospensione di una vettura e un palazzo soggetto ad un terremoto? Da un punto di vista macroscopico ben poco, sono due fenomeni completamente diversi. Quello che hanno in comune è, che per certi aspetti, entrambi sono soggetti alle stesse leggi della dinamica, entrambi presentano gli stessi comportamenti (quali ad esempio la risonanza) e possono essere trattati mediante la stessa schematizzazione fisica e le stesse equazioni matematiche.

Proprio della loro shematizzazione e delle equazioni matematiche che ne reggono il moto ci occuperemo in questo articolo.

Partire Con I Mattoncini

Per costruire un qualsiasi modello fisico e matematico abbiamo bisogno di definire quali sono gli elementi primari su cui basare il nostro modello.

In questo caso useremo tre elementi, davvero molto semplici, per schematizzare i nostri problemi di dinamica strutturale.

Il primo elemento che andremo ad introdurre è una Massa, più o meno puntuale, possiamo pensare a questo elemento come a qualcosa dotato di sola massa, rigido ed indeformabile non dotato di alcuna proprietà elastica. In generale, nei modelli schematici, la massa è rappresentata come una blocco rettangolare.

Il secondo elemento è rappresentato dalla molla. Questo elemento è schematizzato come privo di massa e dotato di solo comportamento elastico. Esso viene rappresentato come una linea zigzagata che connette due punti. Tale elemento porta con se tutto il comportamento elastico del sistema.

Il terzo, ed ultimo, elemento è rappresentato dallo smorzatore dinamico, nel caso della nostra automobile quello che chiamiamo in gergo comune ammortizzatore. Esso è dotato di solo comportamento smorzante, non possiede né massa né elasticità e si indica solitamente come un pistone che si muove in un cilindro.

Il sistema completo dei tre elementi è rappresentato di seguito.

suspensio_modelNel modello possiamo chiaramente distinguere gli elementi che abbiamo descritto sopra. Per prima notiamo la presenza di due masse, quella della vettura e quella del pneumatico. A volter essere rigorosi sul modello della singola ruota dobbiamo tenere conto solo della parte di peso della vettura che si scarica su quella ruota e che dipende dalla vettura e dal suo assetto; in prima approssimazione questo veicolo è pari ad 1/4 del peso dell'intera vettura.

La vettura è collegata al pneumatico mediante la sospensione che è dotata di una rigidezza e di uno smorzamento. Il sistema sospensione è considerato privo di massa ma dotato solo delle proprietà della molla e dello smorzatore. In questo caso gli elementi schematici coinsistono con gli elementi reali che formano il modello in quanto, nella nostra sospensione, abbiamo realmente una molla ed uno smorzatore.

Il pneumatico è appoggiato a terra. Nel nostro modello compaiono un altra rigidezza e un altro smorzamento. Questa volta gli oggetti del modello non coincidono con gli oggetti reali; un pneumatico non è realmente composto da molle e smorzatori. In questo caso il modello rappresenta delle proprietà del corpo. Il pneumatico è fatto di gomma e sotto il peso della vettura si deforma (cosa chiaramente visibile dalla sua impronta al suolo), in questo caso la molla nel modello è una proprietà insita del corpo, quella di deformarsi elasticamente se una forza esterna agisce su di esso. Per lo smorzamento vale un discorso analogo, esso rappresenta una proprietà del modello e non un oggetto reale.

Modello Matematico

Ora che abbiamo costruito, in un impeto di meccanicismo, il nostro modello siamo pronti a riempirlo con qualche equazione. Infatti, ognuno dei tre oggetti introdotti, ha una sua trattazione matematica ben precisa che ci servirà per scrivere l'equazione globale del sistema del sistema (in realltà le equazioni saranno due ma non preoccupiamocene ora).

Prima di addentrarci tra le equazioni che governano il sistema vorrei che fosse chiaro lo scopo di quanto accadrà nei prossimi paragrafi. In questo momento siamo interessati a come questo oggetto si muove quando una forza esterna agisce su di esso. Dall'esperienza personale sappiamo che vari oggetti, se eccitati con la stessa frequenza, vibrano (si muovono) in modo diverso e che, addirittura, lo stesso oggetto eccitato a frequenze diversa vibra in modo diverso. Questo diverso modo di vibrare è quello che studia la dinamica strutturale (questo è solo uno dei tanti nomi che gli si può dare). Per fare questo dobbiamo scrivere un equazione che tenga conto del tempo (che è l'equivalente della frequenza). Per fare questo partiremo dal diagramma di corpo libero dell'oggetto e vedremo come usare questa informazione per arrivare al nostro obbiettivo.

Adesso, però, concentriamoci sui singoli elementi e partiamo dall'inizio. Il primo elemento che abbiamo introdotto è la massa. Abbiamo detto che essa è dotata, come dice anche il nome, solo di massa e di nessuna proprietà elastica. La forza che agisce su di lei per una sollecitazione, in accordo con la seconda legge di Newton, è

{F}_{m} = ma = m \frac{dx(t)^2}{d^2t}

e fin qui, nulla di strano. Consideriamo che la x(t) è lo spostamento della massa e la sua derivata seconda è pari all'accelerazione della stessa mentre m è la massa dell'oggetto.

Il secondo oggetto che abbiamo introdotto è la molla. La nostra molla è molto semplice, supporremo che la forza che si genera al suo interno è proporzionale allo spostamento degli estremi. Una verifica di tale modello può essere fatta con un comune elastico. Se lo afferriamo con una mano per ogni lato e cominciamo a tirare un lato solo sentiamo che sull'altro lato si genera una forza che tenge a riportare l'elastico in posizione indeformata (in accordo con la terza legge di Newton) e quanto più tendiamo l'elastico tanto più la forza sarà grande. Tale comportamento puà essere espresso dalla seguente relazione

{F}_{k} = kx(t)

dove x rappresenta il delta di spostamento tra gli estremi e k è una costante di proporzionalità della molla. Chi è familiare con la meccanica avrà certamente riconosciuto la legge di Hook.

Il terzo ed ultimo elemento è lo smorzatore. Questo elemento è il più difficile da modellare in quando i fenomeni di smorzamento non sono mai lineari. Un piccolo esempio ci renderà un po più chiaro questo fenomeno. Prendiamo una siringa senza ago e tappiamo il forellino all'estremità inferiore mentre il pistoncino si trova a metà del tubo. Se ora proviamo a muovere il pistoncino noteremo che più lentament si muove il pistone meno forza occorre per spostarlo; più velocemente lo spostiamo più forza occorre. In questo caso lo smorzamento è proporzionale alla velocità dell'oggetto e tale modello di smorzamento viene detto viscoso. Matematicamente scriviamo che

{F}_{d} = b \frac{dx(t)}{dt}

in cui la d usata come pedice sta ad indicare la parola anglosassone damper (che appunto vuol dire smorzatore), b è una costante di proporzionalità legata allo smorzatore e x(t) rappresenta ancora lo spostmento dell'oggetto per cui la sua derivata prima è proprio la velocità. Nella realtà esistono altri modelli di smorzamento e il comportamento reale di un oggetto è frutto della sovrapposizione di più modelli diversi. Per gli scopi di questo corso tale modello è più che appropriato.

Ora che abbiamo tutti gli elementi possiamo tracciare il diagramma di corpo libero e scrivere l'equazione valida per una massa del sistema.

corpo_liberoL'equazione complessiva si può scrivere come

F_m + F_d + F_k = 0

possiamo sostituire le equazioni dei singoli elementi trovati prima e otteniamo

 m_2 \frac{dx(t)^2}{d^2t} + b_2 \frac{dx(t)}{dt} + k_2 x(t) = 0

Questa è l'equazione generica per la nostra massa. Per risolvere il sistema abbiamo bisogno di due equazioni; la seconda sarà scritta per la massa del pneumatico e sarà come segue

 m_1 \frac{dx(t)^2}{d^2t} + b_1 \frac{dx(t)}{dt} + k_1 x(t) = 0

Sistema Accoppiato

La prima domanda che bisognerebbe porsi adesso è: perché mi occorrono proprio due equazioni per descrivere il mio sistema?

La risposta non è affatto banale nella sua spiegazione fisica ma davvero molto semplice da applicare una volta capita. La risposta breve è che il mio sistema possiede due gradi di libertà (abbreviati anche come GDL oppure come DOFs dall'inglese Degree of Freedom). Ma cosa è un grado di libertà? Perché il sistema ne possiede due? Come spesso accade l'aver risposto ad una domanda ne ha sollevate altre due.

La risposta esaustiva è che un GDL è una delle variabili indipendenti necessarie a definire lo stato del sistema e che un sistema contiene tanti GDL quanto il minimo numero di equazioni che servono per definirlo. Mi rendo conto che anche la risposta esaustiva non lo è poi tanto per cui un esempio potrà chiarire le idee.

Consideriamo una delle due masse del nostro sistema, diciamo quella del pneumatico, e chiediamoci, in che modo può muoversi? La risposta è semplice e ci viene suggerita anche da come è disegnato il modello. La masssa del pneumatico può muoversi solo in direzione  verticale (su e giù per intenderci) per cui l'unica variabile che mi occorre per definire completamente la sua posizione è l'altezza dal suolo. La massa del pneumatico possiede dunque un solo GDL. Lo stesso discorso vale per la massa della vettura. La somma di tutti i GDL ci dice che il sistema nel suo complesso ha due gradi di libertà.

Un corpo tridimensionale che si muove nello spazio che tipo di movimento può fare? Certamente può traslare in tre direzioni, certo traslare verso l'alto è un po difficile a meno che non sappiate volare; però in linea teorica è un tipo di movimento che il corpo può fare. Oltre a poter traslare lungo tre direzioni (in realtà le direzioni sono infinite, ad essere tre sono le direzioni che compono la base del sistema come in ogni sistema di coordinate tri-dimensionale) l'oggetto può anche ruotare lungo le medesime tre direzioni. Per descrivere univocamente la posizione dell'oggeto ho quindi bisogno di sei numeri diversi; il mio corpo nello spazio tridimensionale possiede ben 6 GDL.

Per il nostro sistema introdduremo due variabili indipendenti chiamate x_1 ed x_2 che descrivono lo stato stato del sistema in modo univoco.

gdlIn questo caso la parte bassa del sistema (il suolo su cui lo pneumatico rotola) è fisso e non può muoversi quindi non possiede alcun GDL.

Possiamo ora mettere insieme le due equazioni e otteniamo

 m_1 \frac{dx(t)^2}{d^2t} + b_1 \frac{dx(t)}{dt} + k_1 x(t) = 0

 m_2 \frac{dx(t)^2}{d^2t} + b_2 \frac{dx(t)}{dt} + k_2 x(t) = 0

Impacchettare Il Sistema

Le due equazioni viste in questo modo non rendono l'idea e la semplicità con cui questo sistema può essere trattato. Per giungere alla forma conclusiva del sistema occorre esplicitare alcune relazioni esistenti tra le due equazioni, relazioni legata alla fisicità del sistema e al modo in cui le masse sono collegate.

Per prima cosa facciamo notare in modo esplicito che in entrambe le equazioni x(t) e  \frac{dx}{dt} sono dei delta; rispettivamente lo spostamento o la velocità relativa tra i due estremi della molla o dello smorzatore.

Nell'equazione scritta per m_2 il delta di spostamento tra i punti della molla è dato dalla relazione x(t) = {x}_{2}(t) - {x}_{1}(t) mentre il delta di velocità vale  \frac{dx}{dt} = \frac{d{x}_{2}}{dt} - \frac{d{x}_{1}}{dt}. Per m_1, siccome uno degli estremi è fissato al suolo per cui sia velocità che spostamento saranno nulli il differenziale si riduce alla posizione e allo spostamento della coordinata x_1. Andando a sostituire queste relazioni nelle equazioni sopra esposte e adottando la notazione semplificata per cui la derivata prima rispetto al tempo si indica con \dot{x} mentre la derivata seconda rispetto al tempo si indicherà come \ddot{x} otteniamo la forma finale del nostro sistema di equazioni.

 m_1 \ddot{x_1} + b_1 \dot{x_1} - b_2 (\dot{x_2} - \dot{x_1}) + k_1 x_1 - k_2 (x_2 - x_1 ) = 0

m_2 \ddot{x_2} + b_2 (\dot{x_2} - \dot{x_1}) + k_2 (x_2 - x_1 ) = 0

Anche se non è stata esplicitata la dipendenza dal tempo x e le sue derivate sono delle funzioni che dipendono da esso. Le equazioni possono essere riarrangiate in funzione delle variabili x, \dot{x} e \ddot{x} nella seguente forma

m_1 \ddot{x_1} + (b_1 + b_2) \dot{x_1} - b_2 \dot{x_2} + (k_1 + k_2) \dot{x_1} - k_2 x_2 = 0

m_2 \ddot{x_2} - b_2 \dot{x_1} + b_2 \dot{x_2} - k_2 x_1 + k_2 x_2 = 0

Le due equazioni possono essere scritte in forma di sistema matriciale per semplificarne la trattazione. Il passaggio al sistema matriciale è subito immediato raggruppando le variabili uguali nelle due equazioni

 \left[\begin{matrix}m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\ddot{x_1} \\ \ddot{x_2} \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}b_1 + b_2 & -b_2 \\ -b_2 & b_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_1} \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]

Usando una notazione più compatta possiamo scrivere la stessa equazione come

\left[ M \right] \ddot{X} + \left[ B \right] \dot{X} + \left[ K \right] X = 0

Questa equazione è caratteristica del nostro sistema, ma non solo. Qualsiasi sistema che può essere rappresentato come un insieme di masse, molle e smorzatori viene gorvernato da questa equazione. In generale tale equazione vale anche per sistemi con più gradi di libertà. Il lavoro fatto per un solo sistema ci ha portato ad avere un equzione che è valida, in pratica, per un numero infinito di sistemi in vibrazione. La risoluzione di questa equazione, per tanto, diventa cardine nello studio delle vibrazioni di un sistema meccanico per cui nel prossimo post vederemo come risolvere questo problema.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

1 commento

  1. Peter Pietro's Gravatar Peter Pietro
    gennaio 11, 2017    

    C'è un piccolo errore: nel vettore delle derivate prime c'è due volte x1.
    Poi personalmente non mi piace l'uso di due notazioni diverse in un solo articolo, ma sono dettagli.
    In generale un ottima via di mezzo tra complessità e chiarezza.

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