Blog divulgativo sulla matematica applicata

Particolare dimostrazione del Teorema di Pitagora

Generalizzazione, specializzazione e analogia

In questo articolo si mostrerà come le tre operazioni di generalizzazione, specializzazione analogia siano utili e fondamentali nella risoluzione di uno specifico problema geometrico (vi veda anche questo precedente post).  Da questo, per estensione, si evidenzierà la possibile applicazione di queste a quasi tutti i problemi geometrici, nel nostro caso, e matematici, nella generalità.

Il testo che segue, che è il corpo di questo post, è un riadattamento in italiano di un estratto[1] dal testo ‘Mathematics and Plausible Reasoning’ di George Polya (si veda questo articolo dedicato a Polya):

Si consideri come esempio un ben noto teorema di geometria elementare: il teorema di Pitagora. La prova di questo teorema, discussa qui, non è nuova ma svolta già da Euclide (VI, 31).

Si consideri un triangolo rettangolo con i lati a, b e c in cui il primo è l’ipotenusa. Si vuole dimostrare che:

A) a^2=b^2+c^2
L'obiettivo della dimostrazione suggerisce di creare, sui tre lati del triangolo, i tre quadrati (Fig. 1):

 pitagora_fig1

Fig. 1

Le scoperte, anche le più modeste, necessitano di osservazione, di riconoscere qualche relazione tra i dati e le incognite.
Nel caso in esame si può osservare l’analogia tra la Fig. 1, molto familiare al lettore, e la Fig. 2 meno familiare al lettore in questo contesto. Si ha lo stesso triangolo rettangolo, diviso in due dall'altezza perpendicolare all'ipotenusa.

 pitagora_fig2

Fig. 2

Forse, ancora non si riesce a percepire l’analogia tra le due figure.
Attraverso, però, l'uso di una generalizzazione delle Fig. 1 e Fig. 2 in una terza figura (Fig. 3) si può intuire che esiste in realtà una profonda relazione tra le due. In questa terza figura si ha lo stesso triangolo rettangolo, ma sui suoi tre lati sono costruiti non tre quadrati, che sono figure simili per loro natura, ma tre generici poligoni simili tra loro di forma arbitraria.
E la Fig. 2 invece? Che relazione ha questa con le altre 2?

piragora_fig3

Fig. 3

L’area del quadrato costruito sull'ipotenusa in Fig. 1 è a^2. L’area del poligono irregolare costruita sull'ipotenusa in Fig. 3 può essere posta pari a \lambda a^2; il fattore \lambda è determinato come il rapporto delle due aree. Segue, quindi, dalla similitudine dei tre poligoni costruiti sui lati del triangolo rettangolo in Fig. 3, che le aree dei tre poligoni sono \lambda a^2, \lambda b^2, \lambda c^2 rispettivamente.

Ora, con una semplice operazione algebrica si passa da A) a B):

B)  \lambda a^2=\lambda b^2+\lambda c^2

In particolare se l’equazione in A) è vera (come affermato dal teorema che si vuole dimostrare), allora anche l'equazione B) deve essere vera.

In modo più formale possiamo dire che B) rappresenta una generalizzazione dell’originale teorema di Pitagora:

Se tre poligoni simili sono descritti sui tre lati di un triangolo rettangolo, allora, quello descritto sull'ipotenusa è uguale in area a quello della somma degli altri due.

Si noti come i "tre poligoni simili" costituiscano un'insieme più ampio che contiene anche il caso particolare di tre quadrati che sono poligoni simili per definizione.

E’ dunque molto istruttivo osservare che questa generalizzazione è equivalente al caso speciale o particolare dal quale si è partiti (Fig. 1). Infatti, si possono derivare le equazioni A e B l'una dall'altra moltiplicando o dividendo per λ (che è, come rapporto tra due aree, diverso da 0).

Il teorema generale espresso da B) è equivalente non solo con il caso particolare A), ma con ogni altro caso particolare che presenti le stesse caratteristiche. Perciò, se si trova un caso speciale che risulta ovvio, cioè che mostra esplicitamente la verità dell'equazione B), allora, il caso generale è dimostrato.

Ora, provando a specializzare in un modo utile, si può eventualmente arrivare ad un caso speciale molto favorevole ai fini della dimostrazione. Infatti, la Fig. 2 rappresenta proprio questo caso. Il triangolo rettangolo descritto sulla sua ipotenusa è simile agli altri due triangoli descritti sui suoi due suoi cateti, come è ben noto ed è facile da osservare. E, ovviamente, l’area dell’intero triangolo è uguale alla somma dei triangoli sui cateti.
Quindi, il teorema di Pitagora è stato provato.

Riflessioni

Lo sviluppo di un ragionamento come quello appena descritto è stato altamente istruttivo. Un caso è istruttivo, infatti, se si può imparare da esso qualcosa applicabile ad altri casi, e sarà tanto più istruttivo quanto più sarà ampio il range di possibili applicazioni.

Dal precedente esempio si può imparare l’uso delle fondamentali operazioni di generalizzazione, specializzazione percezione di analogie. Forse non ci sarebbero scoperte sia nella matematica elementare che in quella avanzata, e forse in ogni altro ambito, se non si facesse ricorso a queste tre operazioni.

img_0710

Fig. 4

In Fig. 4 si racchiude un po' tutto il processo. La figura contiene le tre figure precedenti (qui come I, II e III) e le relazioni reciproche tra di loro.

Attraverso l'operazione di generalizzazione da un caso speciale, come quello rappresentato nella figura I in Fig. 4, si passa a una situazione più generale come quella rappresentata in figura III.
Poi con l'operazione di specializzazione, si può passare a un caso, rappresentato in figura II, analogo a quello della figura I di partenza.

L'esempio appena analizzato mostra, ingenuamente a suggestivamente, come generalizzazione, specializzazione e analogia siano naturalmente combinate tra loro nello sforzo di ottenere la soluzione desiderata. Si osservi come sia necessario solo una minima conoscenza preliminare di algebra, per capire pienamente il ragionamento esposto in questo esempio.

Conclusioni

Dall'intero processo dimostrativo si può imparare a prestare più attenzione alle analogie nell'affrontare problemi complessi, specialmente per chi, come molti di noi, è un knowledge worker.
Spesso ci sono contesti davanti ai nostri occhi, ricchi di informazioni e contenuti che, però,  possono sfuggire alla nostra attenzione. Facendo buon uso delle analogie possiamo avere a disposizione risorse intellettive che mai avremmo potuto immaginare.

Tornando all'esempio dell'articolo: quanti triangoli contiene la Fig. 2? Beh, questa, può sembrare una di quelle domande dei test di logica che si fanno nei concorsi. La risposta che molti di noi riescono a dare comunque è tre. Ed è corretta! Ma... quanti hanno mai fatto caso che il triangolo rettangolo intero contiene al suo interno tutti i triangoli rettangoli costruiti sui tre lati? E inoltre che, se si considera il triangolo come costruito sull'ipotenusa, questi è la somma dei triangoli rettangoli costruiti sui cateti?
Per me questa è stata una interessante scoperta, nel contesto del teorema di Pitagora, su come usare l'analogia, la generalizzazione e la specializzazione, per risolvere altri problemi all'apparenza diversi ma in fondo simili.

[1] Mathematics and Plausible Reasoning di George Polya, p. 15-17, Princeton University Press

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Similar posts

Nessun commento ancora

Lascia una risposta

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

È possibile utilizzare questi tag ed attributi XHTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>