Blog divulgativo sulla matematica applicata

Problemi di massimo e di minimo: ho fatto 2 metri quadri e mezzo, lascio?

Introduzione

Ciao a tutti e ben trovati su Math Is In The Air!

Oggi voglio parlarvi dei famosissimi problemi di massimo e minimo vincolati. Non vi spaventate, alla fine sono problemi che nascono da situazioni quotidiane e pratiche e che finiscono con l’essere risolti con la matematica in modo brillante ed elegante.

sombrero

Facciamo un esempio semplice: devo confezionare 1kg di riso e voglio utilizzare il minor cartone possibile.

O anche: ho a disposizione del cartone e vorrei sapere qual è il massimo volume che posso racchiudere.

Oppure: voglio costruire e verniciare una scatola che contenga mille tappi utilizzando meno vernice possibile.

Oppure ancora: ho a disposizione 100 m di steccato e voglio racchiudere la maggiore area possibile.

Ebbene, come risolviamo questi problemi?

Problemi di massimo e di minimo vincolati

In realtà, problemi come l’ultimo della lista li ho già affrontati in un altro post: qui. In questo post parlo di un problema di massimo e di minimo particolare, che potrei definire…gustoso! Andate a leggere e capirete ;)

Il terzo problema invece è analogo al primo, in quanto in entrambi ho una certa quantità di oggetti, che corrisponde all’affermare di aver un prefissato volume, che voglio circondare con una scatola avente minor superficie possibile. Quindi si tratta di problemi in cui ho fissato il volume di un oggetto e cerco il minimo della sua superficie.

Il secondo problema, invece, è il contrario. Infatti si ha a disposizione del cartone (ovvero la superficie è fissata) e si tenta di massimizzare il volume. Perciò, in questo caso, l’oggetto in questione avrà superficie fissata e conterrà il massimo volume possibile.

In matematica i problemi di massimo e di minimo sono relativi allo studio di una funzione ad una o più variabili. Il problema consiste nel determinare i punti in cui la funzione ammette un massimo od un minimo, ovvero dove essa raggiunge il valore più alto e dove il più basso. Spesso si parla di massimi e minimi locali per sottolineare il fatto che una funzione possa avere un valore massimo o minimo in un determinato intervallo. Questi punti locali non è detto che rappresentino il massimo o minimo globale, in quanto sono proprietà valide in un intervallo. Ad esempio, la funzione y = x^3 - x^2 - 4x + 4 ammette un massimo ed un minimo locali ma nessun massimo né minimo globale.

La funzione nella figura seguente mostra un ulteriore esempio.

Extrema_example_it.svg

I problemi che stiamo affrontando invece sono detti di massimo e minimo vincolato. Il motivo è che si cerca il massimo o il minimo di una certa quantità avendo imposto dei vincoli. Un vincolo è una condizione geometrica o algebrica imposta al problema, utilizzata per rendere più realistico un modello o semplicemente per imporre limitazioni al problema. Nel nostro caso il vincolo è l'aver fissato, rispettivamente, il volume o la superficie, mentre la quantità da minimizzare o massimizzare è la superficie o il volume.

In generale, la quantità da minimizzare/massimizzare è sempre una funzione ad una o più variabili ed i vincoli sono espressi come condizioni su quelle variabili. La risoluzione del problema è spesso complicata e richiede l’utilizzo di tecniche abbastanza avanzate che prendono il nome di moltiplicatori di Lagrange (link).

I problemi che vi propongo sono abbastanza semplici da poter essere risolti “a mano”. Beh, che stiamo aspettando?!

"Ho fatto due metri quadri e mezzo, lascio?" "...Quanta superficialità!"

Cominciamo dal primo problema: l’obiettivo è quello di trovare una scatola che abbia superficie minima, fissato il volume.

728px-Calculate-Volume-of-a-Box-Step-1

Una scatola è un parallelepipedo di dimensioni a,b e c. Il volume corrisponde al loro prodotto, ovvero abc. La superficie totale è rappresentata dalla funzione S(a,b,c) = 2ab + 2bc + 2ac come ci insegna la geometria. La funzione S rappresenta quella da mimizzare, cioè dobbiamo trovare i valori di a,b e c per cui essa è minima…ma tutto ciò dopo aver imposto il volume ad una quantità fissata.

Il volume corrisponde ad un certo valore V fissato. Quindi si ha l’uguaglianza V=abc e da questa si deduce c = \frac{V}{ab}.

Sostituendo nell’espressione di S il valore di c si sta imponendo il vincolo di volume fissato. Si trova la funzione S(a,b) = 2ab + \frac{2V}{a} + \frac{2V}{b} che è quella da minimizzare.

Ora dobbiamo trovare il suo minimo globale, sapendo che a e b sono quantità positive. Per fare ciò si calcolano le derivate di S rispetto ad a e b e si impongono uguali a 0. Tali derivate sono 2b - \frac{2V}{a^2} = 0 e 2a - \frac{2V}{b^2} = 0. Facendo i mcm e sapendo che a e b sono positivi, si ottengono a^2 b = V e a b^2 = V. Dividendo per ab entrambi i membri e ricordando l’espressione di c, otteniamo che a = \frac{V}{ab} = c e b = \frac{V}{ab} = c, ovvero a=b=c. Quindi a^3 = V e da questa si ottiene che a è la radice terza di V ed anche b e c.

Si dimostra facilmente che per a,b e c pari alla radice cubica di V la funzione S è minima. Perciò la scatola con la superficie minima fissato il volume è un cubo!! Sorprendente? No, entusiasmante!

Il secondo problema vi invito a risolverlo da voi, o almeno a provarci. E sarò cattivo, non vi dico neanche quale è la soluzione! (Ah ah ah) Vediamo se qualcuno di voi ci riesce, potete rispondere con un commento qui oppure su Facebook.

In ogni caso, nel prossimo post inserirò anche la soluzione a questo quesito.

Ciao, alla prossima!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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