Blog divulgativo sulla matematica applicata

Zeri intorno a noi: dai piatti vibranti di Chladni e la caduta del ponte Tacoma agli insiemi nodali del Laplaciano

Premessa

Carissimi lettori di Math is in the air,

è trascorso molto tempo dal mio ultimo post. Nonostante l’assenza, ho sempre seguito il lavoro eccellente dei miei collaboratori; un grazie va quindi a tutti loro - soprattutto a Davide, il quale si dedica in modo costante e ineguagliabile al blog ormai da qualche anno - e a voi.

Introduzione (anche gli zeri a volte ne meritano una)

Tutti noi abbiamo incontrato almeno una volta nella vita uno zero…

Non pensate ad una persona in particolare :-) ma alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, che sicuramente ricorderete:

x^2 + 3x - 1 = 0 \qquad \iff \qquad x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}.

Le due  x appena trovate sono le soluzioni dell’equazione x^2 + 3x -1=0, e coincidono con gli zeri (o radici) del polinomio f(x) = x^2 + 3x -1.

La funzione f di cui si vogliono calcolare gli zeri è, in generale, più complessa. Già nel caso (apparentemente semplice)

f(x) = e^x - x

siamo in difficoltà (WolframAlpha?)

E se consideriamo un caso ancora più crudele, tipo una generica funzione di più variabili… come saranno in questo caso gli zeri? Punti isolati come per i polinomi in una variabile?

Prima di dare altri dettagli, vorrei farvi vedere un filmato mooolto interessante, potrebbe quasi stupirvi ;-)

Visto? Vi chiedete cosa c’entri? Bene, nel prossimo paragrafo capirete qual è il legame tra le splendide figure geometriche che avete osservato e gli zeri di “particolari” (auto)funzioni sul quadrato.

Chladni: un uomo e le sue vibrazioni

 Il video appena visto è legato ad una scoperta fatta dal musicista e fisico E. Chladni (originario di Leipzig, Germania) nel lontano 1787. Egli notò che, eccitando un piatto di metallo con l’arco del suo violino, poteva creare suoni di frequenza diversa a seconda del punto in cui il piatto stesso veniva toccato. Quest’ultimo era fissato solo al centro, e quando sopra c’era della polvere (o della sabbia), per ogni frequenza apparivano delle bellissime figure geometriche. Così belle, che lo stesso Chladni pensò di riprodurle in un disegno:

chladni_figures2

Queste figure, che oggigiorno portano il nome di chi le ha notate per primo, hanno subito attirato l’attenzione di tanti scienziati sia per la loro bellezza che per la loro complessità, a tal punto che la loro spiegazione completa da un punto di vista matematico arrivò un secolo più tardi.

 I primissimi risultati in questa direzione sono attribuiti a Sophie Germain (intorno al 1815); in seguito Lagrange e Poisson li migliorarono ma fu solo grazie a Kirchhoff che si capì, nel 1850, che

le figure di Chladni sono gli zeri di autofunzioni del bi-Laplaciano sul quadrato (con free boundary conditions)

(1)\qquad \Delta^2 f = Ef.

Qui \Delta = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 denota il Laplaciano in due variabili. L’intensità del suono è legata all’autovalore E, come si può immaginare…

Tali insiemi di zeri sono anche detti insiemi nodali, e sono quegli insiemi che restano stazionari se sottoposti a vibrazioni. Le f  in (1) sono quindi funzioni sul quadrato che soddisfano una particolare EDP (equazione alle derivate parziali). Avete già incontrato qualcosa di simile ma più semplice… pensate alle serie di Fourier.

Infine, nel 1909 Ritz fece accuratamente tutti i conti legati alle figure di Chladni sul quadrato… conti che sono giunti fino a noi e hanno permesso lo sviluppo di questa teoria in diversi campi. Ne citiamo alcuni:

musica (costruzione di strumenti musicali)

ingegneria (costruzione di ponti, sottomarini, …)

scienze della Terra (studio dei terremoti)

cosmologia/astrofisica (studio della Radiazione Cosmica di Fondo)

...

earthquake

La caduta del ponte Tacoma: un problema di EDP?

Quando fu aperto al traffico nel 1940, il Tacoma Narrows Bridge era il terzo ponte in sospensione al mondo per lunghezza. Fu subito soprannominato Galloping Gertie a causa del suo comportamento in caso di vento. Infatti, non oscillava solo orizzontalmente ma anche verticalmente… gli automobilisti dicevano che le vetture davanti a loro apparivano e scomparivano dalla vista diverse volte attraversando il ponte. Si cercò di stabilizzarne la struttura in diversi modi ma fu inutile: il crollo avvenne solo 4 mesi dopo l’inaugurazione, era il 7 Novembre 1940.

C’è anche un video online del tragico evento:

Dal video, si può pensare di paragonare il movimento del ponte a quello di un sottile piatto vibrante di Chladni: la struttura non ha resistito alle vibrazioni causate dal vento.

Questo modello in realtà è troppo semplice, in quanto ignora molte caratteristiche strutturali… è però utile in prima approssimazione per spiegare una delle possibili applicazioni della teoria delle EDP, e per mostrare la potenza (a volte catastrofica) della Matematica e le sue leggi.

Per saperne di più

 Se siete interessati all’argomento, potete leggere il survey di Gander e Kwok “Chladni Figures and the Tacoma Bridge: Motivating PDE Eigenvalue Problems via Vibrating Plates, pubblicato nel 2012 su SIAM Review.

Inoltre, quella degli insiemi nodali è oggi un’area di ricerca in rapido sviluppo, per trovare altre informazioni basta quindi cercare su Google…

nodal

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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1 commento

  1. Luca O.'s Gravatar Luca O.
    giugno 29, 2017    

    Buongiorno, sarei curioso di sapere cosa succede quando creo figure di Chladni tramite due vibrazioni separate, l'una armonica dell'altra. Troviamo una qualche relazione tra le figure? E se componiamo le due vibrazione, la figura risultante mantiene delle parti comuni con le prime due? Dato il mio scarso livello matematico, approfitto per chiedere anche se le autofunzioni sono specifiche di una data vibrazione scelta a priori (che sia elementare o composta) e pertanto corrispondono alle autofunzioni dell'operatore Laplaciano applicato allo specifico campo vibratorio che si viene a creare sulla piastra, oppure sono una costante della piastra ? Grazie e mi scuso le le domande sono un po confuse.

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