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Come vola un aereo prima delle equazioni differenziali

formule_volo_aereo

Un aereo è un oggetto decisamente complesso. Numerosi sistemi interagiscono tra di loro per consentire al veivolo di sollevarsi in volo e solcare il cielo.

Uno degli elementi fondamentali di un veicolo aeronautico è certamente l'ala. L'ala, nella sua interezza, ha due funzioni; generare la forza necessaria a sollevare il veicolo, in gergo aeronautico chiamata portanza; controllare il moto di rollio (l'inclinazione a destra e sinistra) mediante le superfici di controllo (gli alettoni).

L'ala, per non risultare troppo semplice, è dotata anche di altre superifici di controllo che servono per variare la portanza generata modificando la curvatura (flap) e aumentando la superficie alare stessa (slat).

In fase di atterraggio l'ala serve anche per incrementare la resistenza del veicolo e aiutarlo a fermarsi sulla pista in breve tempo.

Vi è mai capitato, dopo un atterraggio, di sentire una brusca frenata?

Bene quelli non sono i super-mega-potentissimi-giga-galattici freni dell'aereo; si chiamano aerofreni e sono delle superfici mobili che si aprono per generare resistenza e rallentare il veicolo. In realtà tutto ciò accade in concomitanza con l'inversione di spinta dei motori... l'aereo ingrana la retromarcia per dirlo in termini automobilistici anche se il paragone non è propriamente corretto. Di seguito è riportato un esempio di atterraggio in cui è chiaramente possibile vedere l'azionamento dei freni aerodinamici.

In questo caso ci concentreremo su un aspetto dell'ala spesso non adeguatamente considerato. Il profilo alare. Prima di entrare nel merito di un profilo alare spieghiamo brevemente come un aeroplano può alzarsi in volo.

Come vola un aereo

Molti di quelli che si intendono di matematica, ingegneria, fisica o semplicemente sono appassionati di volo ed aerei sanno, più o meno dettagliatamente, come un aereo vola. Molti sono a conoscenza delle equazioni di Navier-Stokes, qualcuno del teorema di Kutta-Žukovskij, qualcuno ancora del "vortex lattice method" e della teoria del vortice a staffa. Tutti questi concetti richiedono l'utilizzo di una matematica decisamente elevata e spesso non necessaria per spiegare come funziona un profilo alare e come vola un aereo.

In breve, possiamo considerare il nostro veivolo come un corpo puntiforme con tutta la massa concentrata nel suo baricentro. Su di esso agiscono 4 forze (trascuriamo in questo momento i momenti che agiscono sul corpo e le forze in direzione perpendicolare al piano del moto). Queste quattro forze sono la portanza (L) che spinge il veivolo verso l'alto e il peso (W) che lo spinge verso il basso. La resistenza (D) che tende a rallentarne il moto e la spinta propulsiva (T) che ne mantiene il moto.

731398901_origNel suo moto nell'aria le ali dell'aereo interagiscono con il flusso d'aria che le investe. L'effetto delle ali sulla massa d'aria che le attraversa è di modificarne il vettore velocità. L'ala non modifica solo la velocità del flusso ma anche la sua direzione deviando la massa d'aria verso il basso. Questo causa una variazione nella quantità di moto del flusso d'aria stesso. La quantità di moto p la possiamo esprimere come

p = m v

e la sua variazione come

\Delta p = m \Delta v

nell'ipotesi, abbastanza realistica, che la massa sia costante. Nell'espressione di prima m è la massa e \Delta v la variazione di velocità. La massa m che interagisce con l'ala è calcolata come.

m = e \rho V \pi \dfrac{b^2}{4}

Dove e viene chiamato fattore di oswald; il suo valore dipende dal tipo di ala ma in genera vale circa 1. Per voler essere pignoli possiamo dire che il fattore e dipende dalla distribuzione di carico l'ungo l'apertura alare e vale 1 in caso di distribuzione ellittica. Invece b in gergo viene detta apertura alare e praticamente rappresenta la lunghezza misurata tra le due estremità alari.

La formula sopra riportata ha un ovvio significato fisico. Immaginiamo un cerchio il cui diametro sia pari all'apertura alare, la sua area è proprio \pi \dfrac{b^2}{4} ovvero la seconda parte dell'equazione di prima. All'interno di questo cerchio, per unità di tempo, passa una quantità di aria pari a \rho V; il valore totale viene corretto tramite il parametro e.

Se consideriamo il sistema ala più aria nel suo complesso la quantità di moto deve conservarsi, ergo, come conseguenza della variazione della quantità di moto del flusso d'aria anche le ali dovranno subire un eguale variazione di quantità di moto ma in direzione opposta; mentre il vettore velocità del flusso d'aria viene deviato verso il basso quelle delle ali viene deviato verso l'alto. Questa variazione verso l'alto del vettore velocità delle ali è quello che genera la forza di sostentamento che permette ad un aereo di alzarsi dal suolo. In termini più rigorosi possiamo scrivere che la portanza può essere scritta come

L= \frac{dp}{dt}

Parliamo il gergo aeronautico

Se immaginiamo di tagliare un ala, lungo una qualsiasi sezione parallela alla fusoliera, ad una qualsiasi distanza compresa tra la punta e la fusoliera la vista in pianta viene chiamata profilo alare ed è un elemento bidimensionale nel piano.

Un profilo alare è la struttura più semplice in aerodinamica, diciamo la particella elementare, e il comportamento totale dell'ala dipende dal profilo o dai profili che la compongono.

ATR42 profilo alare

Solitamente, inoltre, chi opera nel campo aerospaziale invece di parlare di portanza e resistenza parla di coefficiente di portanza e coefficiente di resistenza. L'utilizzo di coefficienti adimensionali semplifica spesso i calcoli e generalizza il comportmento di un ala.

In generale è stata trovata una relazione che sussiste tra la portanza e la velocità del veicolo e la densità dell'aria in cui il veicolo si muove oltre che dalla superficie del profilo stesso. L' "adimensionalizzazione" consente di studiare in modo generale il comportamento di un ala per cui la stessa ala si comporta in modo diverso a seconda della velocità e densità dell'aria pur mostrando dei coefficienti adimensionali uguali.

Di seguito vediamo la definizione del coefficiente di portanza {C}_{L} e del coefficiente di resistenza {C}_{D}

{C}_{L} = \dfrac{L}{\dfrac{1}{2} \rho V^2 S}

{C}_{D} = \dfrac{D}{\dfrac{1}{2} \rho V^2 S}

Combinando l'espressione per la portanza ricavata precedentemente e l'espressione del {C}_{L} otteniamo la seguente relazione

\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{2{C}_{L}}{\pi e AR}

dove il termine AR viene chiamato allungamento alare, o per dirla all'anglosassone aspect ratio, ed è il rapporto tra l'apertura alare al quadrato e la superficie alare. Fisicamente esso è un indice di quanto l'ala è affusolata o tozza.

L'altra faccia della medaglia

Torniamo ora alla generazione della portanza mentre il veivolo avanza nell'aria. L'aria che interagisce con l'ala, dopo l'interazione, vede la sua energia cinetica incrementata per effetto del cambio di velocità. La variazione di energia cinetica  può essere espresso come

\Delta E = \dfrac{1}{2} m \Delta V^2

Per il principio di conservazione dell'energia, inoltre, deve sussistere una forza che compie lavoro tale da bilanciare quest'incremento di energia cinetica. Tale forza non può che essere la spinta T che deve bilanciare la resistenza D. Per cui possiamo scrivere che

\Delta E = D V

sostituendo l'espressione per D e per \dfrac{\Delta V}{V} otteniamo un coefficiente di resistenza indotta dalla portanza.

{C}_{Di} = \dfrac{{{C}_{L}}^{2}}{\pi e AR}

Dove il pedice i indica proprio che la resistenza è indotta dalla portanza.

Se diagrammiamo l'andamento della resistenza indotta in funzione della portanza, ovvero {C}_{D} = {C}_{D}({C}_{L}), otteniamo una curva parabolica che si chiama polare del veivolo.

Tale curva è una buona approssimazione del comportamento di un veicolo nella condizione di crociera, ovvero quella di volo stabile che permane per la maggior parte del tempo. L'espressione complessiva della polare è la seguente

{C}_{D} = {C}_{D0} + \dfrac{{{C}_{L}}^{2}}{\pi e AR}

Dove il {C}_{D0} è il coefficiente di resistenza quando la portanza è nulla (in questo caso un minimo di resistenza residua è sempre presente).

profilomkp88130La polare del veicolo, per quanto semplice ed accurata, presenta delle limitazioni; prima di tutto non è sempre vero che la resistenza è minima quando la portanza è nulla (vedasi profili laminari); la polare non prevede il fenomeno dello stallo (lo stallo è il fenomeno per cui bruscamente il coefficiente di portanza cala inducendo un calo di portanza stessa per cui il veivolo non è più in grado di sostenersi in volo e precipita al suolo). Inoltre, come mostrato in figura, non esiste una sola polare ma ne esistono infinite che variano con la velocità del veicolo (numero di Mach) e con la viscosità dell'aria (numero di Reynolds).

graficiNella figura sopra riportata vediamo alcune curve tipiche di un ala. Da destra vediamo l'andamento del coefficiente di portanza in funzione del coefficiente di resistenza. Il coefficiente di portanza in funzione dell'angolo di attacco. Il coefficiente di beccheggio (la tendenza dell'ala di puntare verso l'alto) verso l'angolo di attacco.

main-qimg-530ce9be950f21aa05b7fe17fbfe3224-cL'angolo d'attacco, come mostrato, è l'angolo che forma la linea media del profilo (il segmento che unisce l'inizioe e la fine del profilo) con il vettore velocità che il profilo incontra.

Un secondo fatto importante è che la curva del coefficiente di portanza in funzione dell'angolo d'attacco è lineare nel primo tratto e si può schematizzare con la seguente relazione

{C}_{L} = {C}_{L \alpha} \alpha

ovvero il coefficiente di portanza si esprime come prodotto dell'angolo d'attacco per un coefficiente di portanza dipendente dall'angolo d'attacco.

In principio è il profilo

Come abbiamo detto in precedenza, il comportamento di un ala dipende dal profilo o dai profili che lo compongono. Generalmente un profilo può essere descritto da due parametri; il primo è la curvatura (rappresentato in figura dalla linea media) e il secondo lo spessore percentuale, ovvero il rapporto tra spessore (t) e lunghezza del profilo (c).

profiloIl fuoco di un profilo (F) è il punto in cui le forze areodinamiche agenti sul profilo sono applicate. Potremmo dire che il fuoco sta alle forze aerodinamiche come il baricentro sta lla forza peso.

Per un profilo possiamo definire una portanza locale (l) e una resistenza locale (d) e ottenere dei coefficienti di portanza e resistenza locali

{C}_{l} = \dfrac{l}{\dfrac{1}{2} \rho V^2 c}

{C}_{d} = \dfrac{d}{\dfrac{1}{2} \rho V^2 c}

In questo caso al posto della superficie alare (S) troviamo la lunghezza del profilo (c) e i pedici sono indicati con lettere minuscole (l e d) invece che maiuscole (L e D) come da uso in letteratura aeronautica. Di seguito vengono riportarte le curve classiche per un profilo di tipo NACA2412 (un profilo comune per scopi didattici) che vengono tracciate numericamente e sperimentalmente per caratterizzarne il comportamento.

nacaA sinistra troviamo il coefficiente di momento pressoche piatto e quello di portanza (simile a quello visto per l'ala) in funzione dell'angolo di attacco. A destra vediamo il coefficiente di momento (anche qui piatto) e il coefficiente di resistenza in funzione della portanza (ovvero la polare del profilo).

Come possiamo vedere anche per un profilo la curva di portanza vs. l'angolo d'attacco presenta un tratto lineare iniziale per cui possiamo usare un espressione lineare simile a quella vista per l'ala.

{C}_{l} = {C}_{l \alpha}(\alpha - {\alpha}_{zl})

L'espressione qui è leggermente diversa per il motivo per cui un profilo non presenta {C}_{l} uguale a zero per \alpha nullo ma per un valore di angolo d'attacco che dipende dalla curvatura del profilo, ovvero dalla linea media, e viene indicato come {\alpha}_{zl} dove il pedice zl sta per la dicitura "zero lift". Anche in questo caso quello che conta è l'incremento di angolo rispetto a quello per cui la portanza è nulla. Per l'ala è stato supposto, più o meno correttamente, che l'angolo di portanza nulla sia 0 gradi.

Dal profilo all'ala

Abbiamo detto che l'entità principale in aerodinamica, quella più studiata e caratterizzata, è il profilo alare.

Come possiamo passare dal profilo all'ala?

Esistono diversi metodi per farlo, il metodo a pannelli, il metodo NACA, il metodo dei vortici a staffa. Nel caso in cui un ala sia composta sempre dallo stesso profilo possiamo usare un approccio decisamente più semplice.

Per prima cosa possiamo considerare che, fortunatamente, vale la relazione

{C}_{l \alpha} \approx 2 \pi

...circa.

Se consideriamo vera l'espressione sopra riportata possiamo individuare una relazione tra {C}_{l \alpha} e {C}_{L \alpha}. In particolare abbiamo che per AR molto maggiore di 1 sussiste la seguente relazione

{C}_{L \alpha} \approx \dfrac{{C}_{l \alpha}}{1 + \dfrac{{C}_{l \alpha}}{\pi AR}}

mentre nel caso sia AR minore di 1 si ottiene

{C}_{L \alpha} \approx \dfrac{\pi}{2} AR

Dunque...

Come abbiamo visto un veivolo vola grazie alla portanza che genera l'ala.

La portanza generata dall'ala può essere spiegata ricorrento a fisica davvero molto semplice (seconda e terza legge di Newton, conservazione dell'energia) senza scomodare le complicate equazioni di Navier-Stokes. Un ala, abbiamo visto, è individuata da un coefficiente di portanza e di resistenza che sono tra loro relazionati da una semplice relazione parabolica (la polare). Le proprietà di portanza dell'ala, sotto alcune ipotesi (ala con profili tutti uguali) possono essere spiegate tramite le proprietà del profilo che compone l'ala.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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