Blog divulgativo sulla matematica applicata

La matematica del pelapatate

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Avvertenza: dopo aver letto questo post scegliere la verdura al supermercato non sarà mai più come prima.

Qualche giorno fa stavo pelando delle carote per preparare la cena. Mano a mano che le sbucciavo notavo quanto dello spessore originario della carota stavo perdendo assieme alla buccia.

La carota pelata era visibilmente più sottile di quella originaria.

In quel momento la mia deformazione professionale da matematico applicato mi ha fatto balenare un’intuizione: più una verdura è sferica, meno viene in proporzione eliminato dall’operazione di sbucciatura.

Vediamo in dettaglio cosa voglio dire.

Ipotizziamo che il pelare una verdura equivalga a togliere un piccolo strato di spessore dx alla superficie di una verdura con superficie S e volume V.

Il volume eliminato dalla sbucciatura si può approssimare con il valore dx*S per cui la proporzione di volume eliminato rispetto al volume totale è dato da:

 \displaystyle \frac{\text{VolumeEliminato}}{\text{VolumeTotale}} = \frac{dx \cdot S}{V}

Se si usa sempre lo stesso sbucciaverdure il valore di dx è fissato, diciamo che normalmente dx potrebbe essere pari a un paio di millimetri.

Quindi, dato lo sbucciaverdure, il volume eliminato è proporzionale al rapporto S/V.

Come è noto la figura geometrica che ha il minor rapporto S/V è la sfera.

La dimostrazione di questo fatto consegue dalla analoga proprietà del cerchio di essere la figura geometrica piana che massimizza l’area a parità di perimetro.

Dimostrare questa proprietà non è così banale come potrebbe sembrare. Il primo a ottenere dei risultati in questo senso fu il matematico Jacob Steiner nel 1838 e altri matematici successivi completarono la dimostrazione.

Le due idee principali che stanno dietro alla dimostrazione sono le seguenti:

1) se una figura piana è concava esiste un’altra figura piana con lo stesso perimetro ma con area maggiore

Una figura concava viene trasformata in un'altra con uguale perimetro ma area maggiore.

Una figura concava viene trasformata in un'altra con uguale perimetro ma area maggiore.

2) una figura geometrica che non è completamente simmetrica può essere deformata per ottenere un’altra figura piana con lo stesso perimetro ma con area maggiore

Una figura non simmetrica viene trasformata in una simmetrica con uguale perimetro ma area maggiore (l'area guadagnata sui lati è maggiore di quella persa sopra e sotto).

Una figura non simmetrica viene trasformata in una simmetrica con uguale perimetro ma area maggiore (l'area guadagnata sui lati è maggiore di quella persa sopra e sotto).

Come conseguenza di 1 e 2 la figura geometrica piana che a parità di perimetro ha l’area maggiore deve essere convessa e avere la maggiore simmetria possibile ed è quindi la circonferenza (questa è chiaramente solo una traccia della dimostrazione).

Formalmente il risultato è noto come disuguaglianza isoperimetrica: ogni curva chiusa di perimetro L e area A soddisfa:

4\pi A \leq L^2

e l'uguaglianza vale solamente per la circonferenza.

Vorrei quindi proporre il seguente risultato.

Corollario dello sbuccia verdura alla disuguaglianza isoperimetrica: a parità di volume più una verdura è simile a una sfera meno viene sprecato con la sbucciatura.

Questa affermazione è in realtà un po' vaga poiché non ho definito in modo rigoroso cosa vuol dire "più simile a una sfera", ma intuitivamente penso che il significato sia abbastanza chiaro.

Di conseguenza se dovete scegliere tra due patate di uguale peso ma forma diversa, prendete quella che sembra essere più sferica e perderete meno "materiale" in fase di sbucciatura.

Se invece dovete comprare un intero sacchetto di patate di diverse dimensioni le cose diventano più complicate.

In questo caso infatti per minimizzare lo spreco bisognerebbe valutare per quale sacchetto si ha, a parità di peso, la più piccola superficie totale (ottenuta sommando le superfici di tutte le patate). Un sacchetto con due grosse patate per niente sferiche potrebbe avere una superficie totale minore di un sacchetto con molte piccole patate perfettamente sferiche.

Facendo così oltre a minimizzare lo spreco minimizzerete anche il tempo necessario per pelare tutte queste patate (che è sempre proporzionale alla superficie).

Ricordatevi di queste considerazioni la prossima volta che comprerete un sacco di patate!

Se vi è piaciuto questo articolo potete seguirmi anche su mio blog personale degiuli.com.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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