Blog divulgativo sulla matematica applicata

Un salto nella buca rettangolare di profondità infinita

Salti quantistici di fine estate: un caso particolare di potenziale per l'equazione di Schrödinger.willyilcoyote

La settimana scorsa mi trovavo nel parco della Grancia, in Basilicata, per godere di una giornata di aria pulita, di natura incontaminata, di carne alla brace, di cammin....no di camminate no... e di una serie di spettacoli e dimostrazioni che questo parco offre nel periodo estivo.

01_parcograncia

Erano le 3 del pomeriggio e stavo andando verso il luogo dove, secondo la mappa, ci sarebbe stata una dimostrazione agricola. Ondeggiavo svogliatamente tra un'ombra e l'altra, nel vano tentativo di scampare alla furia del sole. Accecata dalla luce, spiando tra le fessure delle palpebre quasi chiuse, distinguevo davanti a me terra arida mista a paglia, folate di polvere, qualche figura in lontananza, ferme, ormeggiate sotto un improvvisato tetto di legno.

Sulla destra era impossibile non notare un piccolo stabile con i muri colorati. L'ombra dietro l'ingresso mi attraeva con una forza incontrastabile. Con la scusa del "vedere cosa si sarebbe fatto lì", ho deviato la rotta e varcato la soglia.

Un gruppo di tre graziose arpiste che si apprestavano ad esibirsi davanti ad un piccolo gruppo di vacanzieri era la scena che si apriva non appena si superava la linea che il gioco luce/ombra disegnava sull'ingresso. Mi siedo e mi incurvo, come sempre la gravitazione ha la meglio sul mio corpo.

Sul LA della maestra parte la melodia ed assopita dal torpore post pranzo non distinguo le prime note. Passano 30 secondi e le mie orecchie captano qualcosa di strano. Drizzo il collo come uno struzzo per ascoltare meglio ...un attimo, questa canzone la conosco (impossibile, data la mia misera conoscenza delle melodie classiche) ...è di...è di....ahahahah....è "Despacito"!

Mi sono sentita come quando nei talent televisivi compare la ragazza esile, col vestito a tulle rosa, che pensi si librerà in aria come una piuma al vento ma prende il microfono e comincia a cantare come rutta. Che con questo non voglio dire che la melodia stonasse o che abbia il diritto di giudicare ogni forma d'arte (anche se cacofonica), tutt'altro. Ho trovato l'arrangiamento molto gradevole e divertente (soprattutto per me che non amo particolarmente la musica classica o le melodie melense). E' solo che non te l'aspetti.

Per i buongustai piazzo un link di una performance simile qui.

Cosa mi ha fatto riflettere? Terminati i brani introduttivi, la maestra ha presentato il gruppo e ha chiamato l'introduzione musicale  "esercizio d'arpeggio".

Esercizio, esercizio, esercizio...quanto significato dietro questa parola così semplice. La potenza dell'esercizio è grandiosa in ogni disciplina.  Non c'è nulla di eroico nell'esercizio, non c'è grande gloria nell'esercizio. Quante castronerie e quante gaffe si fanno nell'esercizio ma solo con la perseveranza nell'esercizio si può arrivare a maneggiare l'arte, ad essere a tuo agio, a creare un'opera d'arte.

In matematica e non, ci sono esercizi non bellissimi, rozzi, per dire come "Despacito" suonato con le corde di un'arpa (che nell'immaginario comune lo si pensa come lo strumento degli dei).

Oggi vorrei proporre per questo post un esercizio, uno di quello standard e che non puoi non vedere se muovi i primi passi nella meccanica quantistica: la buca rettangolare di profondità infinita. Questo è il nome pittoresco assegnato al caso in cui una particella sia soggetta ad un pontenziale V(x) così definito:

 V(x) = \begin{cases} 0&\text{se $0\leq x\leq a$}\\ \infty&\text{altrimenti}\end{cases}

Dal punto di vista fisico, una particella che si trovi nel tratto (0,a) che cada nella buca vi rimane intrappolata. Infatti una forza di intensità infinita le impedisce di oltrepassare il muro di potenziale presente agli estremi x=0 e x=a.

buca rettangolare infinita

Poiché il potenziale non dipende dal tempo, possiamo andare a guadare l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo (per un ripassino veloce potete cliccare qui) che vi ricordo essere:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).

Per cui, all'interno della buca, dove si ha V(x)=0, l'equazione si riscrive come segue:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x).

Per comodità accorpiamo tutte le costanti in una, K in questo modo:

\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-K^2\psi(x)                 dove K=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.

Se la guardiamo bene ci rendiamo subito conto che si tratta dell'equazione dell'oscillatore armonico semplice della quale conosciamo la soluzione generale:

\psi(x)=A\sin(Kx)+B\cos(Kx),

dove A e B sono costanti arbitrarie che vengono fissate dalle condizioni al contorno. Dato che \psi(x) è continua e fuori dalla buca si ha \psi(x)=0 (infatti la probabilità che la particella si trovi al di fuori dell'intervallo (0,a) è nulla) possiamo scrivere \psi(0)=\psi(a)=0.

Da \psi(0)=0 otteniamo A\sin(0)+B\cos(0)=0: per cui B=0.

Tenendo di quest'ultimo risultato, da \psi(a)=A\sin(Ka)=0, non potendo avere A=0 (la soluzione \psi=0 non essendo normalizzabile non è valida), si ha \sin(Ka)=0. Per cui Ka=0,\pm \pi,\pm 2\pi,...,\pm n\pi,.... Siamo liberi di escludere la soluzione nulla e di considerare solo il segno positivo (infatti \sin(-x)=-\sin(x) e lasciamo il segno meno in pasto ad A). In definitiva le soluzioni significative sono:

K_n=\frac{n\pi}{a},      dove n=1,2,3,...

Ricordando che K=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, otteniamo:

E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2},      dove n=1,2,3,....

Dato che E indica l'energia che possiede il corpo, l'ultima formula ci sta dicendo che nella buca rettangolare infinita l'energia associata ad una particella quantistica può assumere solo un numero discreto e determinato di valori (a differenza del caso classico in cui si ha un insieme continuo).

Ricordiamo che le soluzioni dell'equazione di Schrödinger devono avere norma 1. Ricordiamo infatti che |\psi(x,t)|^2  rappresenta la probabilità che la particella si trovi in un certo intervallo (spaziale) ad un certo tempo t.  Più esattamente rappresenta la densità di probabilità mentre la norma di \psi=\int_{-infty}^{+infty}|\psi(x,t)|^2, cioè è l'integrale su \mathbb{R} di una densità di probabilità che sappiamo deve essere 1.  Per cui normalizziamo la \psi:

\int_0^a|A|^2\sin^2(Kx)=|A|^2\frac{a}{2}=1

e otteniamo |A|^2=\sqrt{\frac{2}{a}}.

A in generale è un numero complesso. Grazie al conto precedente otteniamo però solo il suo modulo. Per ora ci accontentiamo di prendere la sua parte reale positiva dato che la fase di A non contiene alcun significato fisico.

Ricapitolando, le soluzioni (dell'equazione di Schrödinger  non dipendente dal tempo sono) dentro la buca:

\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n\pi}{a}x).

La soluzione \psi_1 è detta stato fondamentale e corrisponde allo stato con energia minima. Le altre sono dette stati eccitati.

Alcune proprietà interessanti delle funzioni \psi_n(x) sono:

  • le funzioni sono ortonormali, ovvero (\psi_n(x),\psi_m(x))=\int\psi_n(x)^\ast\psi_m(x)dx=\delta_{nm},
  • costituiscono un insieme completo, ovvero ogni altra soluzione \phi(x) può essere espressa come loro combinazione lineare; in simboli \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x). Questa proprietà è anche nota con il nome di teorema di Dirichlet.

Grazie al postfigo3, ricordiamo che una volta ottenute le soluzioni per l'equazione non dipendente dal tempo, conosciamo anche le soluzioni dell'equazione generale. Queste infatti si ottengono come combinazione lineare delle soluzioni stazionarie Per cui, poiché gli stati stazionari della buca rettangolare infinita sono dati da

\Psi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n\pi}{a}x)e^{-\frac{in^2\pi^2\hbar t}{2ma^2}},

la soluzione generale è:

\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n\pi}{a}x)e^{-\frac{in^2\pi^2\hbar t}{2ma^2}}.

Conclusione

E' chiaro che l'esercizio proposto sia piuttosto "finto", ovvero che sarà difficile trovare una caso simile nella realtà. Ciononostante è un esercizio molto utile per scrocchiarsi le dita e  impratichirsi con i calcoli oltre che iniziare a saggiare i primi risultati apparentemente ristretti a questo caso.

Continuate ad esercitarvi, anche quando sembra che non arriviate da nessuna parte, anche quando vi sembra di avere un muro davanti, anche quando vi sentite stolti. Solo camminando, con passi sempre più veloci, imparerete a correre.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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