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La matematica spesso è considerata la regina della razionalità, mentre la musica viene riconosciuta nel mondo della creatività e della libertà.

Siamo sicuri che queste due discipline si limitino a questa categorizzazione?
Che esistano legami tra matematica e musica è noto, ma forse è meno noto quali siano tali rapporti.

L’esempio più antico, e forse il più famoso, è quello della scala Pitagorica. Introdotta dai Pitagorici (VI secolo a.C. circa), si tratta di una scala musicale costruita sui rapporti tra la lunghezza di una corda e l’altezza della nota che si percepisce quando la corda viene pizzicata: ciò esprime l’esistenza di una relazione tra numeri razionali e intervalli musicali. Quindi un modo per affrontare il problema delle possibili connessioni tra la matematica e la musica è guardare agli aspetti fisici e acustici delle strutture musicali, come le scale musicali.

Anche se è intuitivo pensare l’uso della matematica per descrivere la musica dal punto di vista acustico, non si tratta delle uniche connessioni tra questi due campi.

Lasciando il dominio acustico e tenendo conto di un livello più concettuale, che è il livello dell’atto compositivo, si scopre che la musica è ricca di regole e di strutture ben rappresentate e formalizzate attraverso concetti matematici.

Vi sembra strano che un’espressione artistica e creativa come la musica possa avere delle regole?

Pensate allora alla poesia. Anche la poesia è una forma d’arte, costruita secondo certe regole metriche le quali definiscono i vari tipi di forma, ed è quest’ultima a determinarne il ritmo.
Pensiamo, ad esempio, al ritmo delle filastrocche per bambini. I versi sono così ricchi di rime (soprattutto baciate e alternate), di assonanze e consonanze, da rendere la lettura del testo estremamente ritmata, quindi musicale. E se una forma artistica come la poesia possiede regole non dovrebbe stupirci che anche la musica ne abbia.
A questo punto molti di voi si staranno chiedendo: ma tutto ciò cosa c’entra con la matematica?

Sì, va bene, abbiamo capito che la creatività musicale viene espressa secondo certe strutture e regole musicali, ma che legami può avere questo con la musica?
Recentemente si sta sviluppando un nuovo campo di ricerca, denominato Mathematical Music Theory, il quale offre ai teorici musicali contemporanei e ai musicologi il modo di definire e descrivere correttamente i diversi oggetti musicali, nonché le trasformazioni tra di loro in modo che possa essere utile per l’analisi musicale e la composizione. In questo articolo ci occuperemo dell’ultimo punto: mostreremo alcuni semplici esempi di come la matematica può offrire spunti compositivi [1].

Numeri irrazionali in musica: la sezione aurea e pi greco

Un semplice esempio di come la matematica possa essere utile a livello compositivo è fornito da uno dei concetti più elementari della matematica: il numero. Qui su Math is in the air si è già parlato del concetto di numero e della formalizzazione degli insiemi numerici. Ora spiegheremo come i compositori possono ispirarsi ai numeri per molti aspetti del processo compositivo. È interessante osservare che essi non si sono limitati ai soli numeri naturali o razionali, si sono interessati ad esplorare la rilevanza dei numeri irrazionali e la possibilità di interpretare musicalmente la mancanza di periodicità nelle infinite cifre della rappresentazione decimale. Ricordiamo, infatti, che i numeri irrazionali sono numeri reali che non sono razionali, quindi non possono essere espressi
attraverso una frazione $$\frac{a}{b}$$, con $$a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0$$.

Ergo si tratta di quei numeri con infinite cifre decimali dopo la virgola, non periodiche. Sono esempi di numeri irrazionali: $$\sqrt{2} \simeq 1,414\dots$$, $$\pi \simeq 3,1415\dots$$, $$\phi \simeq 1,618\dots$$, ecc.

I numeri irrazionali più utilizzati sono due: π e φ. Il primo è definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Qualsiasi sia il cerchio il rapporto tra la sua circonferenza e il suo diametro è sempre un valore costante pari a π.

Il secondo numero, chiamato numero aureo e indicato con φ, si definisce anch’esso attraverso un rapporto: date due lunghezze diseguali a e b, esse sono in rapporto aureo (o sezione aurea o proporzione divina) se il loro rapporto è uguale al rapporto fra la loro somma e il più  grande di essi.

 golden_ratioFigura 1: Golden section

Matematicamente:

$$ c : a = a : b \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$$

$$\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$$
$$\frac{a}{b} = 1 + \frac{b}{a}$$
$$\frac{a}{b} = 1 + \frac{1}{\frac{a}{b}}$$

Sostituendo $$\phi = \frac{a}{b}$$:

$$\phi = 1 + \frac{1}{\phi} \quad \Rightarrow \quad \phi^2 – \phi – 1 = 0$$

La soluzione positiva di questa equazione è il numero aureo:

$$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1, 618…$$

La sezione aurea è oggetto di studio da oltre 2000 anni, soprattutto grazie alla sua presenza in tante discipline quali l’architettura, la pittura e la natura. La presenza della sezione aurea in musica è meno nota, motivo per cui ce ne occuperemo in questo articolo. In generale i numeri irrazionali vengono utilizzati in musica principalmente in due modi:

  • nei rapporti intervallari tra note [2];
  • nella durata delle sezioni temporali di un brano musicale

La prima delle due tecniche compositive consiste nell’associare ogni nota della scala musicale ad una cifra. Spieghiamo meglio questa tecnica attraverso la canzone ”Song from π” di David Macdonald.

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=wM-x3pUcdeo]

David considera le infinite cifre di π e assegna a ciascuna cifra una nota della scala minore armonica di La nel modo seguente:

$$0 \rightarrow Sol\sharp, \quad 1 \rightarrow La , \quad 2 \rightarrow Si, \quad 3 \rightarrow C, \quad 4 \rightarrow Re, \quad 5 \rightarrow Mi, \quad 6 \rightarrow Fa, \quad 7 \rightarrow Sol\sharp, \quad 8 \rightarrow A, \quad 9 \rightarrow B$$

A partire da questa associazione Macdonald ha realizzato una melodia per pianoforte le cui note corrispondono alle cifre di π. Inoltre, per rendere la musica più interessante, ha armonizzato la melodia con degli accordi (eseguiti dalla mano sinistra). Sebbene sia una tecnica molto semplice e, apparentemente, statica e poco creativa, questa può rivelarsi interessante a seconda dell’abilità del compositore.

La seconda tecnica consiste nel suddividere il brano musicale secondo parti le cui durate sono in rapporto aureo. Per spiegare questa tecnica consideriamo la messa Ecce ancilla domini di Dufay (1397 – 1474). Il Kyrie è formato da Kyrie I (48 brevi), Christe (33 brevi) e Kyrie II (45 brevi). Il segmento che comprende Christe e Kyrie II (78 brevi) è la sezione aurea dell’intero Kyrie (126 brevi), infatti:

126 : 78 = 78 : 48

Inoltre la durata del Kyrie corrisponde alla sezione aurea del Credo (204 brevi).

dufayFigura 2: sezione aurea in Ecce ancilla domini di Dufay

Apparentemente si potrebbe pensare ad una banale casualità: suddividendo un brano nelle sue parti e analizzando i rapporti temporali fra essi potrebbero capitare i più svariati numeri.

Ma un filone dell’analisi musicale moderna ha scoperto che la sezione aurea si trova in tanti brani musicali di compositori di varie epoche: Machaut (1300 ca – 1377), Obrecht (1457 – 1505), Desprez (1440 ca – 1521), Bach (1685 – 1750), Mozart (1756 – 1791), Beethoven (1770 – 1827), Schubert (1797 – 1828), Chopin (1810 – 1849), Debussy (1862 – 1918), Satie (1866 – 1925), Bartòk (1881 – 1945), Krenek (1900 – 1991), Xenakis (1922 – 2001), Stockhausen (1928 – 2007) e addirittura i Genesis (1967 –). Gaudenzio Temporelli ha riassunto gli studi più importanti in un saggio pubblicato su http://www.sectioaurea.com/sectioaurea/S.A.&Musica.htm.
Vista la vastità e diversità di compositori che hanno impiegato la sezione aurea nelle loro composizione sorge spontanea una domanda: si è trattato di un uso consapevole?

In alcuni compositori del ‘900 come Debussy, Bartòk, Krenek, Xenakis e Stockhausen, sono stati trovati riferimenti espliciti sull’uso della sezione aurea. Quindi, almeno nei loro casi, l’uso è stato consapevole.

Per gli altri compositori non sono state trovate fonti che possano testimoniare lo stesso, e dopo varie diatribe musicologiche sembra che l’orientamento principale sia quello di ritenere che si tratti di un semplice caso.

A breve sarà pubblicata la seconda parte in cui si vedrà come si possono utilizzare strutture geometriche

Note

[1] I temi qui trattati sono stati esposti e discussi durante la conferenza internazionale art*science, organizzata a Bologna da Noema, in collaborazione con La comunicazione diffusa, per i 50 anni di Leonardo.

[2] In musica un intervallo indica la distanza fra due suoni, dal punto di vista fisico è rappresentato dal rapporto delle loro frequenze. Per ulteriori info di teoria musicale consultare la pagina http://www.lanaturadellecose.it/sonia-cannas-289/matematica-e-musica-290/scale-e-intervalli-320.html.

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