Blog divulgativo sulla matematica applicata

Matematica Creativa: un’applicazione della Teoria delle Categorie

La teoria delle categorie è un ramo della matematica, nato negli anni Quaranta, che usa diagrammi con specifiche proprietà per creare strutture generali. Le categorie forniscono una nuova prospettiva non soltanto su argomenti e metodi della matematica stessa, ma anche su altri ambiti.

Il testo seguente descrive un’applicazione delle categorie come ponte tra musica e immagini, e intende mostrare come concetti di “matematica astratta” possano stimolare la creatività in ambiti diversissimi.

pangolinoPANGOLINO (Ground Pangolin, manis temminckii)

Pangolino raggomitolato in posizione difensiva:

pangolino-raggomitolato

Quando è spaventato, il pangolino si chiude su se stesso, formando una sorta di palla corazzata che gli animali predatori non possono aprire, ma che può essere raccolta facilmente dai bracconieri. Caratterizzato da una solida corazza di squame che quasi lo rendono simile a un piccolo dinosauro, il pangolino è un animale troppo grande per correre, e troppo piccolo per nascondersi. Così la natura lo ha munito della corazza. La particolare armatura del pangolino può fare da guida alla scoperta di alcuni concetti basilari della teoria delle categorie.

Consideriamo una squama.

Poi due squame.

La ripetizione di due squame è definita da una trasformazione che chiamiamo g:

pangolino2

Le squame sono i nostri “oggetti”, e le frecce g sono i “morfismi” fra di essi. Se componiamo più frecce g, otteniamo ancora delle squame, come mostra l’immagine seguente.

pangolino3

Se non effettuiamo alcune ripetizione, dunque se partiamo da una sola squama e applichiamo la freccia “1” che ci restituisce ancora una sola squama, abbiamo appena definito quella che i matematici chiamano “identità”. Dunque, già la primissima osservazione permette di definire la categoria “squame”, con i suoi oggetti, frecce, frecce-identità, e composizione di frecce.

L’immagine complessiva del pangolino chiuso in posizione difensiva è molto più complicata. Proviamo ad aggiungere nuove “trasformazioni” per tentare di ricostruirla.

Alla composizione “orizzontale” aggiungiamo una composizione verticale, data dalla ripetizione verticale delle squame, attraverso la freccia h:

pangolino4In questo modo, combinando insieme g ed h, si possono costruire diverse schiere di squame, le une parzialmente sovrapposte alle altre. Guardando tuttavia l’immagine della vera corazza del pangolino, vediamo che, in realtà, le schiere sono sfalsate, come se fosse stato introdotto un piccolo spostamento (shift) nelle righe pari. Indichiamo questa trasformazione come Sh (ovviamente, sh sta per shift, non per ‘s composto con h’):

Screen Shot 2017-11-06 at 17.21.00

Otteniamo tutte le squame ripetendo N volte l’azione di g ed h. Per ottenere una forma complessiva più realistica, modifichiamo la “forma generale” dell’immagine attraverso la freccia I:

pangolino6

Ed infine, “richiudiamo” la figura ottenuta per imitare l’immagine del dorso del pangolino raggomitolato in posizione difensiva. Usiamo qui la lettera L che sta per l’inglese Loop.

pangolino7

Restando all’interno della categoria “squame”, abbiamo ricostruito un’immagine complessa attraverso una sequenza di trasformazioni progressive:

pangolino8Procedendo con una operazione tipica nella teoria delle categorie, prendiamo questa collezione di oggetti (punti) e di morfismi (frecce), ed applichiamola a qualcos’altro: è come se avessimo dei ponti, da un punto iniziale a un punto finale (da spostare eventualmente e opportunamente in un nuovo punto iniziale e in un nuovo punto finale), e volessimo trasformare ciascun ponte in un altro ponte: un “ponte di ponti”! Il concetto di “trasformazione fra trasformazioni”, infatti, è proprio il primum movens che ha portato alla nascita, negli anni Quaranta dello scorso secolo, della Teoria delle Categorie.

Proviamo ora ad applicare tutto questo alla musica.

Passiamo così dalla categoria “immagini” alla categoria “frammenti musicali”.

Vi sono infiniti modi (mapping) di trasferire una forma visiva in una struttura musicale (in generale, un insieme di dati-non-sonori in un insieme di dati sonori). Ci troviamo qui nell’ambito della “sonificazione”.

Nella nostra analisi, scegliamo una melodia che imiti il bordo superiore della squama, con un movimento ascendente e discendente. È forse un caso che, in inglese, il termine “scale” indichi sia la scala musicale che la squama?

pangolino9Applichiamo adesso alla musica, una ad una, le varie trasformazioni che avremmo applicato all’immagine. È necessario tradurre opportunamente ogni freccia dall’ambito visivo all’ambito sonoro. La ripetizione orizzontale g può diventare una ripetizione nel tempo (g’) di un frammento musicale; la ripetizione verticale h può diventare una ripetizione simultanea del frammento melodico a diverse altezze (h’); lo shift spaziale delle righe pari può diventare uno shift temporale delle melodie pari.

Vi sono diversi modi di rendere musicalmente le trasformazioni I ed L. Una possibile scelta consiste nell’assegnare un cambiamento d’intensità del suono in corrispondenza del cambiamento della forma (I’), e un ciclo di ripetizioni di frammenti e melodie con L’. Otteniamo così una serie di frammenti musicali (oggetti) connessi da trasformazioni (le frecce g’, h’, Sh’, I’, L’). La composizione di due o più frecce ridà ancora frammenti musicali, ed una freccia che non apporta alcun cambiamento, restituendo un frammento musicale identico a prima, è l’identità. Si ha in tal modo la categoria dei frammenti musicali.

Si ottiene lo stesso risultato se si sonifica separatamente ogni immagine, e anche se si sonifica quella iniziale e successivamente si applicano le trasformazioni sonore. Per questa invarianza di risultati, i diagrammi ottenuti sono detti “commutativi”.

La trasformazione che porta ciascuna immagine in un frammento musicale (frecce rosse), e ciascuna trasformazione visiva in una trasformazione musicale (frecce verdi), è il “funtore sonificazione”. Nella teoria delle categorie un funtore è un ente matematico che trasporta oggetti e morfismi di una categoria in oggetti e morfismi in un’altra categoria. Una specie di… super-ponte fra ponti ed isole!

Chiamiamo S1 il funtore così definito: avremo g’ = S1(g), h’ = S1(h), …, e così via.

Ipotizziamo di avere un altro funtore sonificazione, S2. La teoria delle categorie ci permette anche qui di definire cosa cambia fra le musiche prodotte con S1 e le musiche prodotte con S2, limitatamente al punto di vista simbolico. Queste trasformazioni sono dette “naturali”: si tratta delle trasformazioni α definite da S1 a S2. Tutto quanto sopra può essere riassunto nel grafico seguente.

pangolin

Attraverso gli strumenti forniti dalla teoria delle categorie è possibile quindi creare musica, e inoltre analizzare sia musica scritta - “scomponendo” le strutture come è stato fatto per la corazza del pangolino - sia analizzare elementi basilari ed avanzati della pratica musicale. Un esempio per tutti: un crescendo dal piano al forte si può descrivere tramite una freccia; un crescendo più lento ed uno più veloce si possono rappresentare come due frecce fra gli stessi punti, connessi da una trasformazione temporale (una freccia tra frecce).

Concludendo, il particolare esempio considerato si può anche interpretare come una struttura per comporre, programmare, ma anche uno schema per improvvisare musica. Il link seguente rimanda ad un’improvvisazione la cui unica “partitura” è costituita non dalle note da suonare, ma dalle trasformazioni da applicare.

(Idea, studio, schemi e disegni di Maria Mannone)

Bibliografia essenziale

Un testo molto chiaro per iniziare lo studio della teoria delle categorie è certamente “Conceptual Mathematics” di F. William Lawvere e Stephen H. Schanuel; per una lettura più approfondita vale il testo classico di Saunders Mac Lane “Categories for the Working Mathematician”, e, per una visione interdisciplinare dell’argomento, può essere consultato “Categories for the Sciences” di David Spivak. La recente letteratura matematico-musicale sulle applicazioni di teoria delle categorie comprende i lavori di Guerino Mazzola e Franck Jedrzejewski. Il libro “Le Figure della Musica” del compositore Salvatore Sciarrino, pur non parlando di categorie, evidenzia l’importanza di concetti di matematica elementare per confrontare strutture e trasformazioni fra musica e arti visive; i lavori di Lawrence Zbikowski mettono in relazione musica e movimento dal punto di vista cognitivo, e trovano nella teoria delle categorie una naturale spiegazione formale che descrive graficamente le “trasformazioni di trasformazioni”. Il filosofo Charles Alunni utilizza il pensiero diagrammatico nei suoi lavori, e il fisico John Baez, esperto dell’argomento, gestisce un blog interdisciplinare considerato uno dei maggiori riferimenti per le categorie. I miei studi riguardano applicazioni delle categorie all’orchestra, alle strutture in composizione, e ai rapporti fra musica e immagini.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

1 commento

  1. Nicola Filipponio's Gravatar Nicola Filipponio
    novembre 26, 2017    

    Linguaggio semplice ed efficace che fa capire al lettore concetti matematici impegnativi.

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