Blog divulgativo sulla matematica applicata

Il modello di Ising: an hot and cold start.

Ci ho pensato un po' mia alla fine la decisione è stata abbastanza immediata: dopo un'estate torrida, e un autunno prematuro, quale lettura migliore per conciliare questi drastici sbalzi di temperatura?

Ciao a tutti mi presento: sono Valerio “fisico tuttofare”, e desidero che al mondo si parlasse di più del modello di Ising.

Andiamo con ordine.

Cosa è? Il modello di Ising è un modello (costruzione logica/analitica che ci permette dimodello_ising descrivere/e predire un fenomeno) elaborato da Ernst Ising tra il 1920 e il 1925, allievo di un certo Heinrich Friedrich Emil Lenz (proprio lui quello della famosa legge), che ci permette di descrivere il modo estremamente semplice i materiali ferromagnetici e paramagnetici, in altre parole descrive la magnetizzazione nei materiali.
E’ un modello semplice ma così semplice, che può essere rappresentato schematicamente dal disegno qui affianco (perdonatemi per il disegno un po' rozzo ma essenziale).

La griglia rappresenta un materiale cristallino, dove sappiamo bene che gli atomi hanno posizioni precise nello spazio. I quadrati della nostra griglia sono gli atomi, i quali potranno avere spin, ovvero il momento magnetico intrinseco, positivo (+1) oppure negativo (-1).

Un materiale ha molti atomi, proporzionali al numeri di Avogadro N_A \approx 10^{23} atomi, quindi anche un disegno come questo risulta essere riduttivo.

modello_ising_bis

Questo disegno però ci permette di avere un'idea di come funzionano le cose, almeno un po' più in grande. A seconda che siate più o meno artistici in genere la griglia viene rappresentata con + o -, oppure con rosso e blu. Quest’ultimo modo in particolare ci permette di vedere che si creano isole di spin, domini di rosso e blu, o meglio ancora fasi.

Se la somma di tutti gli spin N_+ + N_{-}=0 allora il materiale non è magnetico, altrimenti il materiale potrà avere magnetizzazione N_+ + N_{-}>0 positiva , oppure negativa N_+ + N_{-}<0  .

Quindi possiamo fare già una prima osservazione: pur partendo da un modello con un enorme numero di gradi di libertà (gli spin), il comportamento del materiale viene riassunto in una grandezza media che ne descrive il comportamento globale (la magnetizzazione). Questo approccio è proprio alla base della meccanica statistica, di cui il modello di Ising è uno dei principali esempi.

In tutto questo, quale è il ruolo della temperatura? Semplice! La temperatura è il nostro parametro di controllo, superato un certo valore critico T_c , il nostro materiale può passare da una condizione di paramagnetismo, a una condizione di ferromagnetismo.

Lo ammetto però, ancora vi sto dicendo molto poco su tutta questa storia, il modello di Ising ha ancora molti assi nella manica da sfoderare! Giusto per stuzzicare la vostra curiosità ecco alcune delle altre possibili applicazioni, alcune delle quali sicuramente sentite in giro..

  • modelli di teoria delle stringhe
  • quantum field theory
  • machine learning e reti neurali
  • page rank
  • guerra fredda (si proprio la guerra fredda che ci hanno fatto studiare sui libri di scuola)

Questo è quanto. Nulla di più semplice. Per iniziare…

…… molto c’è ancora da dire, come funziona nel dettaglio, e soprattutto come interviene la temperatura in tutto questo?

Così giusto per stuzzicarvi ancora di più la curiosità vi butto lì la rappresentazione (matematica stavolta) del modello di Ising, attraverso la sua hamiltoniana, ovvero la funzione che descrive lo stato energetico del sistema:

 

ising

  • \mathcal H è l’hamiltoniana appunto il reticolo su cui sommare (2D, 3D, …, nD)
  • variabile di spin, uguale a $\pm 1$, con posizione i all’interno del reticolo
  • J_{ij} è l’interazione tra le due variabili di spin

 

 

Se questo post vi è piaciuto, ci sentiamo presto con il resto della storia!
Saluti quantistici, Valerio

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Similar posts

Nessun commento ancora

Lascia una risposta

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

È possibile utilizzare questi tag ed attributi XHTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Partecipa all’indagine “Io e la Matematica”

Clicca sull'immagine sottostante per rispondere al breve e anonimo questionario:

MIA15 - Nomination

Conviditi con i tuoi contatti questo link!

Canale Telegram dedicato alla Matematica

Iscriviti sul nostro canale Telegram

MIA15 - Nomination

Rimani aggiornato sui più interessanti articoli di divulgazione matematica e non solo!

Iscriviti alla nostra newsletter

Resta aggiornato sui nostri post e su quello che facciamo.

Seguici su Twitter

Tag Cloud

Grazie per il sostegno ai #MIA2015

Grazie a tutti per averci votato ai "Macchia Nera Awards 2015" nella categoria "Miglior Sito Tecnico-Divulgativo".

Siamo arrivati in finale grazie al vostro sostegno!

MIA15 - Nomination