Blog divulgativo sulla matematica applicata

La logica dei draghi: una questione di sguardi

Ciao a tutti e ben ritrovati!

Oggi affrontiamo un piccolo e simpatico quesito di logica, tentando anche di capire quale sia il giusto approccio davanti a un problema apparentemente molto complesso. Per fare questo abbiamo bisogno di utilizzare uno strumento mentale chiamato “generalizzazione”.

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In primo luogo, per generalizzazione si intende il saper riconoscere i tratti fondamentali di un oggetto per poi studiare l’intera classe di oggetti dello stesso tipo. Inoltre, è la capacità di portare a un livello di astrazione superiore il problema, ad esempio aggiungendo o eliminando complicazioni (ipotesi).

Con questo piccolo problemino logico voglio darvi un assaggio di cosa significhi generalizzare in matematica.

Il problema del drago con gli occhi verdi

Ecco il nostro problema.

Lavoriamo un po’ di fantasia. Immaginiamo che esista un’isola popolata da draghi. Tutti i draghi sono creature logiche e perfettamente razionali: vivono e pensano in modo razionale e coerente ed agiscono sempre seguendo la logica.

Un bel giorno un essere umano ha la fortuna e l’immenso onore di poter visitare l’isola e conoscerne i suoi abitanti draghi. Sembra tutto quanto nella norma (non quella euclidea) ma scopre ben presto che vige una strana regola. Nel caso in cui un drago fosse logicamente sicuro di avere gli occhi verdi, si sarebbe tramutato in albero durante la successiva notte.

Tutti i draghi possono certamente vedere gli occhi dei loro simili e dedurne il colore ma, poiché rispettano e temono questa regola, nessun drago parla mai di occhi e dei loro colori. Inoltre, per loro fortuna, sull’isola non esistono superfici riflettenti.

Il curioso visitatore umano resta buono fino all’ultimo giorno della sua visita quando, durante la sua festa di addio, si alza in piedi ed esclama: “Almeno uno di voi ha gli occhi verdi!”

I draghi credono immediatamente alle sue parole e, nella loro mente logica, diventano vere. La domanda è: cosa succede da quel momento alla popolazione dei draghi?

La soluzione del problema

Il problema è assolutamente non banale e richiede una attenta riflessione. Come spesso succede in matematica, il primo passo verso la soluzione di un problema è la sua semplificazione. Ovvero, si formulano delle ipotesi per restringere il campo delle possibilità in modo sufficiente e poter affrontare e risolvere il problema. Facciamo quindi questa restrizione: nell’isola uno solo dei draghi ha gli occhi verdi.

In tal caso, mettiamoci nei suoi panni. Sicuramente si guarderà intorno e noterà che nessun altro drago ha gli occhi verdi. Dedurrà quindi di averli lui stesso, poiché “almeno uno” dei draghi deve averli. Avendo preso consapevolezza di avere gli occhi verdi, quella notte stessa (la prima notte) diventerà un albero.

Bene! Per questo singolo caso il problema è risolto. Ma ora, come risolviamo la generalità dei casi? Facciamo un secondo passo: e se i draghi con gli occhi verdi fossero due?

Adesso, la situazione è più complicata, ma non molto. Infatti, appena ricevuta la notizia, i due draghi con gli occhi verdi si guarderanno intorno e ognuno dei due noterà che c’è un drago con gli occhi verdi.

Quindi la prima notte non morirà nessuno, poiché tutti i draghi vedranno almeno un drago con gli occhi verdi intorno a loro.

Ed il mattino dopo? Ognuno dei nostri due draghi con gli occhi verdi, vedendo che l’altro non è diventato albero, dedurrà che lui stesso ha gli occhi verdi. Infatti, se così non fosse, l’altro non avrebbe visto occhi verdi intorno a sé, diventato esso stesso un albero.

Quindi, la notte numero due, i due draghi con gli occhi verdi si trasformeranno entrambi in albero.

Avete capito il trucco? Se fossero k i draghi con gli occhi verdi, il k-esimo giorno verrebbero tutti e k trasformati in albero!

Infatti, ognuno di essi vedrà attorno a sé k-1 draghi con gli occhi verdi e aspetterà la (k-1)-esima notte prima di dedurre il colore dei propri occhi. Notando che nessun drago è diventato albero durante la (k-1)-notte (perché tutti gli altri k-1 avrebbero ragionato come lui), dedurrebbe di avere gli occhi verdi, e così anche gli altri k-1. Quindi la k-esima notte sarebbe la notte loro fatale.

Avete capito quindi come abbiamo ragionato? Siamo partiti da un problema complesso a noi sconosciuto, abbiamo indagato semplificando le ipotesi e una volta trovata quella giusta abbiamo seguito quella strada; infine, abbiamo generalizzato risolvendo così il problema nella sua forma originale.

(Socio)logico

In ambito logico (e anche sociologico), questo tipo di problema evidenzia il concetto di conoscenza comune. Con questo termine si indica un’affermazione nota a tutti i componenti di un particolare gruppo e in cui ogni membro sa che l’altro sa. Nel nostro caso la conoscenza iniziale comune è che “almeno un drago ha gli occhi verdi”. Tutto parte da questo. Il punto cruciale è che lo sanno tutti i draghi.

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Nel caso di k draghi con occhi verdi nell’isola, ogni giorno la conoscenza comune aumenta. Così al giorno n < k, l’informazione comune sarà “almeno n draghi hanno gli occhi verdi”. Perciò il k-esimo giorno è quello in cui ogni drago dagli occhi verdi, sapendo che “almeno k draghi hanno gli occhi verdi” e vedendo intorno a loro k-1 draghi con gli occhi verdi, dedurrà di avere a sua volta gli occhi verdi.

Tutto ciò ha anche una formulazione matematica ben precisa e rigorosa. Si può formalizzare usando la teoria degli insiemi o la logica modale. Molti matematici hanno cercato di investigare la relazione tra questi tipi di problemi e la conoscenza comune.

Generalizziamo ancora?

Un vero matematico non si ferma mai. E se è vero che un problema è risolto molti ne possono nascere a partire da esso. Ed ecco qui una serie di problemi alternativi che generalizzano quello originale:

  1. Abbiamo supposto prima che tutti dovessero credere alle parole dell’uomo. E se così non fosse? Potremmo supporre che è ammissibile che ci siano draghi che non credano alle parole dell’uomo. Cosa accadrebbe in tal caso?
  2. Ritorniamo alla versione in cui tutti i draghi credono all’uomo. Supponiamo invece che, per qualche motivo, qualche drago abbia problemi di vista (come il daltonismo o la cecità). Vedendo quindi colori diversi o non vedendo affatto gli occhi degli altri, come affronterebbero la situazione? Che conseguenze avrebbe ciò?
  3. Potremmo unire il punto 1 al il punto 2. (Molto complesso).
  4. Supponiamo di nuovo che tutti i draghi credano all’uomo. Cosa accadrebbe se con il trascorrere del tempo ci fosse per ogni drago una certa probabilità di ammalarsi di daltonismo?
  5. Cambiamo tutte le carte in tavola. E se l’uomo mentisse? In tal caso, potremmo supporre o che tutti i draghi credano all’uomo o che ognuno abbia facoltà di scelta e ogni caso avrebbe una soluzione diversa.
  6. Potremmo studiare tutti i casi precedenti insieme, supponendoli tutti veri.

Ed è solo una breve lista.

Come vedete, la generalizzazione 6 comprende tutte le precedenti, compresa l’originale. Quest’ultima, ora, non è che una semplificazione del numero 6.

Vedete, è questa la potenza della generalizzazione. Se risolvessimo il problema 6, avremmo risolto tutti i problemi dall’1 al 5, poiché essi sono delle versioni con più costrizioni e vincoli, ovvero dei “semplici” casi particolari.

Volete la soluzione? Provateci voi!!

Nota: Questo è un adattamento di un articolo scritto da me circa un anno fa ed originariamente pubblicato sulla rivista il positivismo.com (link). Spero vi sia piaciuto.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

5 commenti

  1. Luca's Gravatar Luca
    dicembre 3, 2017    

    Molto interessante e ben scritto l'articolo! Nel caso in cui un solo drago ha gli occhi verdi, la frase detta dall''uomo e' una informazione nuova per il drago dagli occhi verdi per cui mi sembra logico ed intuitivo che porta alla trasformazione del drago in albero. Nel caso in cui due draghi hanno gli occhi verdi, ogni drago già sa che almeno un drago ha gli occhi verdi, per cui la frase dell'uomo apparentemente non fornisce nessuna informazione ulteriore. Ma solo apparentemente perchè senza l'intervento dell'uomo i draghi non iniziano a trasformarsi. Questo fatto mi ha incuriosito molto. In effetti, se sono un drago dagli occhi verdi e ne vedo solo un'altro che ha gli occhi come i miei, posso pensare che solo quel drago ha occhi verdi per cui l'affermazione "almeno un drago ha gli occhi verdi" non è vera per l'altro drago. Quindi e' importante che l'affermazione sia vera per tutti i draghi e che ogni drago pensi che sia vera per gli altri. Ma andando avanti ancora con il ragionamento, nel caso in cui tre draghi hanno gli occhi verdi tutti i draghi sanno che l'affermazione e' vera, ed e' vera anche per gli altri. Ma non e' ancora sufficiente per far trasformare i draghi perche' il ragionamento precedente si applica in maniera ricorsiva. Se sono uno dei tre draghi con gli occhi verdi, faccio inferenze sugli altri due draghi ma con due draghi si hanno i problemi scritti sopra...

  2. Alessandro Bencini's Gravatar Alessandro Bencini
    dicembre 3, 2017    

    nel caso che i draghi con gli occhi verdi fossero tre si interromperebbe la carneficina di draghi perché tutti sarebbero tranquilli che almeno uno li abbia, vedendone almeno due o addirittura almeno tre. Il problema ora sono i congiuntivi: avrei dovuto dire li avesse, li avrebbe, li ha, li abbia? li avrà avuti?

    • Luca's Gravatar Luca
      dicembre 3, 2017    

      ... uso solo il presente per evirate problemi! :)

      nel caso di tre draghi con occhi verdi e con l'intervento dell'uomo la carneficina c'e' il terzo giorno ... mentre niente carneficina senza l'intervento dell'uomo.

      Dove sta la differenza?

      Nel secondo caso (no uomo) se sono un drago con occhi verdi non sono certo che un altro drago dagli occhi verdi sia certo che per il terzo drago dagli occhi verdi l'affermazione "almeno un drago ha gli occhi verdi" e' vera .. lo so e' un po' contorta la cosa ... ma supponiamo che i draghi dagli occhi verdi siano A, B e C. Io sono A. Per me B vede solo un altro drago dagli occhi verdi cioe' C. Per cui per me, B pensa che C non veda nessun drago dagli occhi verdi.

      Questo non e' vero se l'uomo dice la famosa frase ... Questa e' la differenza tra i due casi. La conoscenza comune e' differente.

  3. Luca's Gravatar Luca
    dicembre 3, 2017    

    .. per cui la cosa fondamentale è che l'affermazione sia vera per tutti i draghi e che ogni drago abbia la certezza che l'affermazione sia vera per gli altri e che ogni drago sia certo che tutti gli altri draghi siano certi che l'affermazione sia vera per tutti e cosi' via .. solo cosi' i draghi inizieranno a trasformarsi. Il fatto che mi ha colpito e' che questo tipo di conoscenza comune può essere data solamente da un attore esterno e non puo' essere dedotta internamente tramite l'osservazione.. Questi tipi di ragionamenti hanno una applicazione nella teoria dei giochi o cose simili ?

    • Francesco Bonesi's Gravatar Francesco Bonesi
      dicembre 4, 2017    

      Ciao Luca e Alessandro, grazie dei vostri commenti e delle domande. È un tema veramente affascinante quello della conoscenza comune.
      Da quel che so, le applicazioni principali di questo concetto sono in teoria degli insiemi, ma ci sono anche lievi applicazioni in teoria dei giochi.
      In teoria degli insiemi, utilizzando questo concetto si dimostra il teorema dell'accordo di Aumann, che ha implicazioni interessanti in economia.
      In teoria dei giochi invece questo concetto è spesso ritenuto erroneamente fondamentale per le successive deduzioni e analisi. Diciamo che per semplificare la vita e i concetti, assumere che certe informazioni siano vere per tutti i giocatori è una tentazione. Alcuni matematici (Aumann anche) hanno dimostrato che alcuni risultati sono veri anche non assumendo la conoscenza comune di alcune informazioni. Vedi ad esempio : Aumann Robert and Adam Brandenburger (1995) "Epistemic Conditions for Nash Equilibrium".
      Se hai altre domande sarò contento di rispondere!
      Ciao

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