Blog divulgativo sulla matematica applicata

Matematica e Fisica con Arduino

Pubblichiamo questo articolo che ha come obiettivo quello di illustrare le potenzialità dell'utilizzo del microcontrollore  Arduino della didattica della matematica e della fisica.

Questo articolo è scritto, su invito di "Math is in the Air", da Giovanni Organtini, professore associato di Fisica Sperimentale all'Università La Sapienza di Roma.

Ringraziamo il prof. Organtini di aver accettato questo invito raccontando alcune delle attività delle Scuole di Fisica con Arduino e Smartphone.


 

Introduzione

Le Scuole di Fisica con Arduino e Smartphone sono una recente iniziativa del scuola-fisica-arduino-smartphoneDipartimento di Fisica di Sapienza Università di Roma, il cui scopo è quello d'incentivare l'uso del laboratorio nell'insegnamento della fisica nelle scuole.
Si tratta di una tre giorni full immersion in cui insegnanti senza alcuna esperienza nel campo della programmazione e dell'elettronica imparano a ideare, realizzare e condurre un esperimento di fisica usando le moderne tecnologie (decisamente più attraenti rispetto a quelle normalmente in uso nei laboratori scolastici) e lasciano la scuola potendo fregiarsi della quali ca di veri e propri maker.
Anche se l'obiettivo principale della scuola ruota attorno alla fisica, alcune delle esperienze condotte in occasione di queste giornate si possono facilmente adattare a un laboratorio di matematica. Vediamo quali nei prossimi paragra fi.
Va ricordato che l'ideazione e la realizzazione pratica delle esperienze che descriviamo in questo post è tutto frutto dei partecipanti alla scuola. Noi, come assistenti, off riamo solo qualche aiuto di tipo tecnico e qualche consiglio.

Dal moto circolare al moto armonico

Com'è noto il moto del cosiddetto punto materiale lungo una traiettoria circolare con velocita costante in modulo, su un sistema di assi cartesiani ortogonali con l'origine nel centro della circonferenza descritta dal moto, si può descrivere con una legge del tipo:

 \theta = \omega t

dove \theta rappresenta l'angolo compreso tra l'asse delle ascisse e quello individuato dal raggio che congiunge l'origine del sistema di riferimento con il punto materiale, \omega è una costante denominata velocita angolare e t il tempo.

In sostanza, quest'equazione è un modo compatto di scrivere che l'angolo percorso da un punto materiale che si muove lungo una circonferenza a velocita costante in modulo è proporzionale al tempo trascorso: maggiore è questo tempo, più grande sarà l'angolo in questione.
Chiunque conosca un minimo di matematica elementare capisce che, se l'angolo  é uguale al prodotto di \omega per t, il seno dell'angolo dev'essere uguale al seno del prodotto:

\sin{\theta} = \sin{\omega t}\,.

Il seno dell'angolo \theta altro non è se non l'ordinata y del punto materiale divisa per il raggio della circonferenza R. Poichè le stesse considerazioni si possono applicare al coseno dell'angolo, rappresentando questo l'ascissa x del punto in unità di R, si ha che il moto circolare uniforme si può anche rappresentare con le equazioni

\left\lbrace\begin{aligned}x&=R\cos{\omega t}\\y&=R\sin{\omega t}\,.\end{aligned}\right.

Usando una scheda Arduino UNO, un sensore ultrasonico e una grattugia si può facilmente costruire un dispositivo capace di rendere concreta una tale trasformazione. Avete capito bene: una grattugia. L'importante è che si tratti di una grattugia di quelle con la manovella con cui si aziona un cilindro contro il quale si pigia uno spicchio di formaggio.

 Le Prof.sse Tirocchi, Castelli e de Amicis, con questi pochi ingredienti hanno costruito un dispositivo indossabile come quello che si vede nella Fig. 1. Una scheda Arduino UNO è stata fissata su una striscia adesiva di velcro in modo da formare un bracciale.  Alla scheda e collegato, tramite quattro cavetti jumper, un sensore ultrasonico, anch'esso montato su una striscia di velcro che serve per posizionare il sensore sulle falangi della mano chiusa a pugno. Dei quattro cavi che collegano il sensore alla scheda Arduino, due servono per alimentarlo; uno (il trigger) serve per comandare l'emissione di un treno d'impulsi ultrasonici, mentre l'altro (l'eco) consente l'esecuzione della misura.

matematica e fisica con arduino: moto armonico

Figura 1: la trasformazione da moto circolare a moto armonico si può rendere palese con una scheda Arduino, un sensore ultrasonico e una grattugia.

 La scheda Arduino è programmata per inviare al pin del trigger un impulso a onda quadra della durata di 10 \mu s. La generazione di quest'impulso è banale perche bastano tre righe di codice: una che porta l'uscita digitale di Arduino cui è collegato il pin di trigger allo stato logico 1 (5 V), una che produce un'attesa di 10 \mu s e un'altra che riporta lo stato del pin a 0.
Il sensore emette così un treno d'impulsi da circa 40 kHz di frequenza, non udibili dall'orecchio umano, che, se incontra un ostacolo, è riflesso all'indietro e rivelato dal microfono posto sul sensore, il quale produce, sul pin di eco, un segnale a onda quadra di lunghezza proporzionale al tempo trascorso dall'emissione dell'impulso.

matematica e fisica con Arduino

Figura 2: azionando la manovella della grattugia posta di fronte a uno schermo si misura la distanza tra il sensore posto sulla mano e lo schermo in funzione del tempo.

Basta un'istruzione nel codice di Arduino per attendere l'emissione di questo segnale e misurarne la durata T, che è restituita al programmatore in unità di microsecondi. E' evidente che la distanza d tra l'ostacolo e il sensore e proporzionale a questo tempo, essendo

 d = \frac{cT}{2},

dove c \approx 340m/s è la velocità del suono in aria.
Posizionando la grattugia di fronte a un ostacolo (per esempio di fronte al muro) e azionando la manovella si costringe la mano a percorrere una traiettoria circolare e la distanza d è una funzione del tempo che varia in modo sinusoidale.

Si può osservare in diretta l'evoluzione di d in funzione del tempo usando il Serial Plotter dell'ambiente di sviluppo di Arduino. Si tratta di uno strumento che permette di ottenere il gra fico di una grandezza, il cui valore è inviato dal software sulla porta USB connessa al dispositivo, in funzione del tempo, come nella Fig. 3

Arduino per fisica e matematica

Figura 3: il Serial Plotter mostra la distanza misurata in funzione del tempo

Il dispositivo, dunque, realizza una trasformazione f:\theta\to \sin\theta  che rappresenta una funzione che associa i valori del dominio degli angoli a quelli del codominio delle distanze.

La funzione esponenziale

Un altro esperimento interessante per l'insegnamento della matematica è quello dell'assorbimento della luce da parte di una lastra di un materiale semitrasparente. L'esperimento si realizza molto semplicemente usando un comune puntatore laser o una piccola torcia, una scheda Arduino UNO, un sensore d'intensità luminosa e qualche pezzo di plexiglass colorato.
Il puntatore laser si fissa in modo da illuminare il sensore d'intensità luminosa, a sua volta collegato alla scheda Arduino che ne acquisisce il valore misurato. Il sensore d'intensità luminosa fornisce in uscita una tensione proporzionale all'illuminazione. La tensione si misura sfruttando le porte analogiche di Arduino, che trasformano la tensione in ingresso, compresa tra 0 e 5 V, in un numero compreso tra 0 e 1023. Di fatto, in questo caso, Arduino è usato come voltmetro.

Il vantaggio rispetto al primo è che, se si dispone di una scheda Arduino per fare alcuni esperimenti, non occorre un voltmetro per fare questo.
Inoltre, in questo modo, s'impara a scrivere codice, il che non guasta.
La Fig. 4 mostra il prototipo realizzato dai Prof. Falciai e Prisco.

luce

Figura 4: il dispositivo per lo studio della funzione esponenziale.

Questo sistema si può usare anche per studiare come varia l'illuminazione con l'angolo d'incidenza. Sul laser è incollata una striscia di velcro che permette di modi ficarne facilmente l'inclinazione.
Nella figura si vedono due lastre di plexiglass blu posizionate proprio sopra il sensore. La matematica del fenomeno è molto semplice: se indichiamo con I l'intensità della luce che entra in una lastra di plexiglass spessa dx, la quantita dI di luce assorbita da quest'ultima sarà evidentemente proporzionale a dx; inoltre ci aspettiamo che la diminuzione dI dell'intensità luminosa sia proporzionale all'intensita I stessa (più luce invio sulla lastra e più questa ne assorbirà). In formule diremo che

dI=- \alpha I dx

dove \alpha è una costante di proporzionalità positiva e il segno meno indica che dI
rappresenta una diminuzione (è la di fferenza tra l'intensita della luce dopo aver attraversato la lastra e quella inviata sulla lastra, che è maggiore).

I matematici sanno che quella scritta è un'equazione di fferenziale la cui soluzione è

I(x) = I_0 \exp{\left(-\alpha x\right)}\,,

dove I(x) rappresenta l'intensità misurata dopo che la luce, d'intensità I_0, ha attraversato uno spessore x di plexiglass.
L'andamento di questa funzione si può semplicemente misurare con Arduino variando lo spessore attraversato ponendo sul sensore da una a cinque o sei lastre di uguale spessore e riportando il valore letto dal sensore in funzione del numero di lastre. Quella che si ottiene è una curva come quella mostrata in Fig. 5.

luce-2

Figura 5: l'intensità della luce (in unità arbitrarie) in funzione dello spessore di plexiglass attraversato in mm.

Quella trovata è la forma caratteristica di ogni curva che descrive un processo nel quale la variazione dy di una grandezza fisica y è proporzionale a quest'ultima e a un'altra grandezza dx. Abbiamo, infatti, che
dy = \alpha ydx.

Secondo il tipo di processo, la costante di proporzionalità \alpha può essere positiva o negativa. Per esempio, nel processo di scarica di un condensatore di capacità C su una resistenza, la carica dQ che fluisce nel circuito è evidentemente tanto maggiore quanto maggiore è quella residua Q nel condensatore. E naturalmente è tanto maggiore quanto piu lungo è il tempo dt che si attende per misurare dQ.
Possiamo allora scrivere che
dQ = \alpha Qdt

con   \alpha negativo perché dQ rappresenta la perdita di carica del condensatore.

Di conseguenza, la carica che lascia il condensatore per  fluire attraverso la resistenza ha un andamento variabile col tempo, come

Q(t) = Q_0\exp{\left(\alpha t\right)}\,,

come la tensione V_C ai suoi capi, visto che

V_C = \frac{Q}{C}

In maniera del tutto analoga, quando si carica un condensatore con una pila, ai poli della quale si misura una di fferenza di potenziale V_0, la corrente che passa nel circuito è proporzionale alla di fferenza di potenziale V ai capi della resistenza, che diminuisce col tempo poiché V = V_0 -V_C.
Ma la corrente è una misura di quanta carica si accumula nel'unita di tempo:

I = \frac{V}{R} = \frac{V_0}{R}-\frac{Q}{RC} = \frac{\Delta Q}{\Delta t}\,.

Se ne ricava che \Delta Q è proporzionale a Q e a \Delta t e di nuovo il risultato è un andamento esponenziale.
Nel primo caso la tensione ai capi del condensatore decresce esponenzialmente, mentre in questo caso la tensione cresce, ma sempre con la stessa legge.

Anche il processo di carica e scarica di un condensatore si può osservare facilmente con Arduino, come hanno fatto le Proff. Camilli, Mamone e Pulvirenti in occasione della precedente edizione della scuola. Basta procurarsi un condensatore e una resistenza qualunque da montare in serie. Il terminale libero del condensatore si collega al pin GND di Arduino e l'altro (quello connesso alla resistenza) a uno dei pin analogici A0-A5. Il valore della tensione su questo pin si ottiene con l'istruzione analogRead di Arduino e lo si scrive sulla porta seriale in continuazione.

Osservando l'andamento di questo valore col tempo si vedrà che è stabilmente pari a zero. Ma non appena si collega l'estremo libero della resistenza al pin dei 5V di Arduino il condensatore inizia a caricarsi e si vedra l'andamento della tensione ai capi del condensatore salire come nella Fig. 6.

arduino-charge-RC

Figura 6: la carica di un condensatore osservata attraverso il Serial Monitor di Arduino.

Scollegando il fi lo che collega il circuito ai 5V e collegandolo al pin di GND, il condensatore inizia a scaricarsi e si osserva l'andamento di Fig. 7.

arduino-discharge-RC

Figura 7: la scarica di un condensatore osservata attraverso il Serial Monitor di Arduino.

Usando queste tecniche, oltre a insegnare un po' di coding, si può di fatto risolvere sperimentalmente l'equazione di erenziale a variabili separabili senza la necessità di fare conti o invocare concetti complicati: la forma della soluzione semplicemente si osserva.

A questo punto si comprende facilmente anche la fi sica di tutti quei fenomeni nei quali qualcosa varia proporzionalmente a una quantità che si accumula o che si perde col passare del tempo o con lo spessore o con un'altra qualunque grandezza fi sica.
Una volta capito il meccanismo non c'è più bisogno di ricavare la legge fisica in ogni circostanza. La forma della legge sarà sempre la stessa: a cambiare saranno solo le grandezze coinvolte.

Sitogra fia

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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