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Premio INDAM SIMAI UMI a Maurizia Rossi dello staff

Maurizia_RossiLe buone notizie è bello condividerle e, per questo motivo, oggi siamo molto fieri di fare i complimenti a Maurizia Rossi  dello staff di “Math is in the Air” per aver vinto il Premio INDAM SIMAI UMI 2017 per la sua tesi di dottorato.

A questo link trovate tutte le info ufficiali.

Qui di seguito inseriamo una breve sintesi dell’argomento dei suoi studi e vi rimandiamo a questo post di Maurizia in cui aveva trattato le figure di Chladni


 

Titolo: Geometria nodale e chaos di Wiener

Sommario: Verso la fine del XVIII secolo il fisico e musicista tedesco Chladni fece un’importante scoperta: se si impartiscono delle vibrazioni a lastre metalliche ricoperte di sabbia, quest’ultima si allontana dalle zone di maggiore vibrazione raggruppandosi in curiose figure geometriche. Solo nella seconda met`a del XIX secolo, soprattutto grazie ai lavori di Kirchhoff e Lamb, si capì che le figure di Chladni corrispondono agli zeri (o punti nodali) di autofunzioni del bi-Laplaciano con free boundary conditions. Nel 1982 Yau ha congetturato che il volume (la lunghezza nel caso bidimensionale) dell’insieme nodale di autofunzioni del Laplaciano su una varieà Riemanniana compatta è comparabile alla radice quadrata dell’autovalore corrispondente. Nel caso di superfici caotiche generiche, nel 1977 Berry ha congetturato che il comportamento locale delle autofunzioni “ad alta energia” è universale, nel senso che è  comparabile al comportamento di un particolare campo aleatorio Gaussiano definito sul piano Euclideo - ad oggi noto come modello di Berry.
In questa comunicazione si studiano le proprietà geometriche degli insiemi nodali di au- tofunzioni aleatorie ad alta energia. Nel caso del toro o della sfera in dimensione 2, si definisce una misura Gaussiana su ogni autospazio; si è interessati alla lunghezza delle curve nodali corrispondenti: la sua media, la sua varianza asintotica e la sua distribuzione limite. Risultati sulle prime due ottenuti da Rudnick e Wigman alcuni anni fa confermano la congettura di Yau in questo caso. Uno dei risultati principali della mia tesi di Dottorato, in collaborazione con Marinucci, Peccati e Wigman, è un teorema limite per la lunghezza nodale sul toro che ne afferma la non Gaussianità e non universalità. Nel caso della sfera invece, un risultato ottenuto recentemente con Marinucci e Wigman ne prova la Gaussianità asintotica. Le dimostrazioni si basano sull’espansione caotica di Wiener e Ito per funzionali non lineari di campi Gaussiani, e un’attenta analisi dei termini dello sviluppo. Nel caso di varietà generali (rimaniamo comunque in dimensione 2 per il momento), non è possibile definire un modello Gaussiano come per il toro o la sfera. Si lavora quindi con le monochromatic random waves introdotte da Zelditch nel 2009, cioé combinazioni lineari Gaussiane di autofunzioni che corrispondono ad uno stretto intervallo (o finestra) di frequenze, il cui scaling limit è il modello di Berry introdotto in precedenza. Da quest’ultima proprietà si deducono dei risultati locali sul legame tra il comportamento nodale delle monochromatic random waves e quello del modello di Berry. Un recente risultato in collaborazione con Nourdin e Peccati svela il comportamento asintotico Gaussiano della lunghezza nodale di quest’ultimo, anch’esso ottenuto con tecniche di espansione caotica. Alcune domande sono quindi spontanee: perché sul toro la lunghezza nodale non è asintoticamente Gaussiana ma sulla sfera e sul piano sì? E' possibile dedurre il comportamento globale asintotico della lunghezza nodale delle monochromatic random waves dalle informazioni locali sul legame con il modello di Berry? I risultati ottenuti sono universali, cioè indipendenti dalla legge delle autofunzioni? Cosa accade in dimensione maggiore di due? Le risposte a queste domande fanno parte degli sviluppi presenti e futuri del lavoro svolto durante la mia tesi di Dottorato.

 

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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