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La Trigonometria nello spazio: le coordinate sferiche [Parte 4]

Ciao a tutti e bentornati su Math Is In The Air!

Oggi proseguiamo il filo conduttore della trigonometria che, nella vastità delle sue applicazioni, ci conduce verso strabilianti risultati.

Dopo la parte 1 (link) in cui parlavo di navi e palazzi, la parte 2 (link) in cui parlavo di aerei e fiumi e la parte 3 (link) in cui vi introducevo ai sistemi di riferimento polari, oggi continuiamo a parlare di sistemi di riferimento, ma in 3 dimensioni!

Non anticipo altro, buona lettura!

Oltre le puntate precedenti

Nel corso della parte 3 vi ho fatto conoscere le coordinate polari. Queste sono coordinate diverse dalle solite, utilizzate per moltissimi fini e in moltissimi ambiti, sia teorici che pratici, per descrivere i punti nel piano. Quindi, invece che dare le coordinate (x,y) del riferimento cartesiano, per trovare e determinare la posizione di un punto dovremmo specificare (R,\theta), dove R è il cosiddetto raggio, rappresentante la distanza del punto dall'origine, e \theta è l'angolo formato dalla retta passante per l'origine ed il punto e l'ipotetico asse x.

Vi avevo anche mostrato come ci fosse una relazione ben precisa tra le coordinate: x=R\cos(\theta) e y=R\sin(\theta).

 coordinate_polari

La domanda che ci poniamo oggi è: cosa succede in 3 dimensioni? Esiste l'analogo delle coordinate polari?

La risposta è: sì!

Un punto sulla Terra

Vi ricordate quando vi parlavo di latitudine e longitudine? Ecco, il concetto è più o meno lo stesso.

Per localizzare una città o un luogo sul globo terrestre abbiamo bisogno di un sistema di riferimento. Questo è dato da latitudine e longitudine. La latitudine ci dice quanto siamo distanti, in gradi, dall'equatore mentre la longitudine specifica la distanza, in gradi, dal meridiano di Greenwich.

latitudine_e_longitudine

La domanda a questo punto è: perché usiamo questo sistema, invece di usare il ben noto e più comodo sistema cartesiano?

Ve lo spiego.

Immaginate che il centro della Terra fosse la nostra origine degli assi e che la Terra fosse esattamente sferica, con raggio R. Fissiamo il punto Z, polo nord. Poi disegnamo il punto X come l'intersezione tra meridiano di Greenwich e equatore e il punto Y come l'intersezione tra il meridiano posto a 90° Ovest e l'equatore. Congiungendo l'origine con Z, X e Y, otteniamo un sistema di riferimento cartesiano.

300px-Sphere_3d

Coordinate sferiche su una sfera. In questo disegno l'angolo theta non è la latitudine ma rappresenta la colatitudine, ovvero (90 - latitudine).

Riuscireste a dire facilmente quali sono le coordinate cartesiane di Roma? Un qualunque punto sulla Terra avrà ovviemente coordinate cartesiane specifiche ma sono alquanto difficili da trovare. Ed ecco che qui gli angoli ci semplificano la vita.

Le coordinate sferiche

Sappiamo che Roma ha latitudine e longitudine pari circa a 41.9 e 12.5 rispettivamente. L'unità di misura di queste è ovviamente il grado decimale. Come sarebbe invece nelle coordinate cartesiane che ho espresso precedentemente? Ho fatto un calcolo approssimativo...sempre considerando la Terra una sfera di raggio R = 6371 km, le coordinate di Roma sarebbero (x,y,z) = (4626.26, 1023.84, 4255.83), tutto in km. Belle? Insomma...!

Ecco quindi evidente il motivo di esprimere punti in angoli piuttosto che come punti cartesiani. Ed ora ci siamo riferiti solo alla sfera.

Per generalizzare un po', considerando assieme a questi angoli la distanza del punto dal centro degli assi, ovvero il centro della Terra nel nostro esempio, possiamo descrivere un qualunque punto nello spazio tridimensionale.

coordsferiche

Ogni punto dello spazio 3D è descritto da queste coordinate

Questo tipo di coordinate prende il nome di sferiche. Per determinare un punto, con questo tipo di riferimento, bisogna specificare la distanza dall'origine (R), l'angolo di distanza dall'asse X (longitudine, \theta) e l'angolo di elevazione dal piano <x,y> (latitudine, \phi), ovvero la terna (R,\theta,\phi).

Dire che Roma ha coordinate sferiche (6371 km, 41.9 gradi, 12.5 gradi) è sicuramente più elegante di (4629.6 km, 1026.36 km, 4254.76 km).

Per ottenere la corrispondenza si può ricorrere alle formule: x=R\cos(\phi)\cos(\theta), y=R\cos(\phi)\sin(\theta) e z=R\sin(\phi).

Invertirle non è semplice ma con un po' di lavoro ci si riesce.

Applicazioni delle coordinate sferiche

Le coordinate sferiche vengono applicate in molti contesti. Oltre che in geografia, fanno la loro comparsa in astronomia ed in meccanica celeste. Infatti, a dispetto della difficoltà iniziale e della controintuitività, risultano essere piuttosto naturali.

Inoltre, nelle modellizzazioni 3D di amplificatori, antenne radio e di tutti gli oggetti che interagiscono con onde, queste coordinate semplificano la descrizione dei pattern di output o di radiazione.

Ma non finisce qui. Ad esempio, per dirne una, viene utilizzata nello sviluppo di videogiochi, per ruotare gli oggetti in funzione della rotazione fisica dei personaggi del gioco.

Poi, questa viene utilizzata in quasi tutti i settori matematici. Le equazioni di Laplace e Helmholtz sono equazioni differenziali alle derivate parziali in cui le coordinate sferiche semplificano il problema, ad esempio permettendo la definizione delle armoniche sferiche.

Le matrici di rotazione sono descritte semplicemente attraverso questo tipo di coordinate.

L'equazione della sfera di raggio 5 passa da x^2 + y^2 + z^2 = 25 a R=5 in coordinate sferiche, evidente semplificazione.

Conclusione

Vi ho parlato delle coordinate sferiche, una cosa che avete sempre avuto in testa ma che forse nessuno vi aveva mai detto...quasi inquietante!

Alla prossima, allora, per un altro interessante post di trigonometria...o no?

Ciao!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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