Blog divulgativo sulla matematica applicata

Numeri, azzardo e dea bendata: giocare con la probabilità

Scommettiamo che perdo?

Ipotizziamo una serata qualsiasi. Qualche amico, una pizza, chiacchiere e risate. A un certo punto la conversazione cade sull'argomento denaro. Ecco, a questo punto, manco stessimo parlando di eventi quasi certi, qualcuno scrutando lo statistico o matematico di turno (a me personalmente è capitato con una certa frequenza), con fare ammiccante esclama “Ma perché non facciamo un sistema per vincere al superenalotto?!

La mia risposta solitamente consiste in un “Non ci trovo nessun gusto a giocare sapendo di perdere” e puntualmente mi sento rispondere “Però qualcuno vince, questo come lo spieghi?”.

Va bene. Allora proviamolo a spiegare. E approfittiamone per sfatare alcuni falsi miti legati al gioco d’azzardo.

Fra i vari giochi d’azzardo un posto d’onore è ricoperto dal Superenalotto, dove per vincere occorre indovinare una combinazione di 6 numeri estratti casualmente tra 90. Se siamo tanto “avventati” da investire in un biglietto, dopo l’estrazione, vedendo i numeri vincenti ci troveremmo a pronunciare frasi del tipo: “Li conosco quei numeri! Uno sta nel mio numero di cellulare, un altro è il giorno in cui è nata la zia, e quello è proprio due giorni prima della mia laurea. Ma perché non ho scelto questi sei numeri invece di quelli che ho giocato?”.

LOTTO+BALLS

Ma, sono stato veramente così sfortunato a non avere indovinato i numeri estratti?

Soffermiamoci un attimo a riflettere: la probabilità di un evento viene definita come rapporto tra gli eventi favorevoli sul totale degli eventi possibili.

Nel caso del Superenalotto si tratta di calcolare in quanti modi 90 oggetti possono essere sistemati a 6 a 6. Cominciamo a contare: il primo numero può essere pescato tra 90 oggetti, il secondo tra 89, il terzo tra 88, il quarto tra 87, il quinto tra 86 e il sesto tra 85. Dunque 90*89*88*87*86*85 sestine possibili. Questo numero è enorme, pari quasi a 500 miliardi. Ma niente panico. Fortunatamente, per vincere, l’ordine di estrazione non conta (la sestina 7,14,56,88,71,2 è uguale a 71,2,14,7,88,56) quindi dobbiamo dividere questo numero per i possibili modi in cui possiamo disporre 6 oggetti in 6 posti. Questo numero è uguale a 6*5*4*3*2*1=720 modi.

Pertanto (90*89*88*87*86*85)/(6*5*4*3*2*1) = 622.614.630 è il numero delle sestine possibili.

La probabilità di vincere è data da l’evento favorevole, la sestina (una) che sto giocando, in rapporto a tutti gli eventi possibili, cioè tutte le possibili sestine estraibili dai 90 numeri.

Pr-vittoria

Di fatto ci sono circa 600 milioni di possibilità per scegliere 6 numeri tra 90!

Ci vuole fortuna, e forse non dovremmo essere così severi con noi stessi quando perdiamo. Anzi, con 600 milioni di scelte, è la persona che vince ad essere straordinariamente fortunata. Questa persona ha fatto l’unica scelta giusta su 600 milioni. Sbalorditivo! Considerate che una schedina è lunga 30 cm. Se ne mettessimo in fila 622 milioni faremmo 4 volte il giro della terra. Vincere vorrebbe dire pescare una di queste schedine a caso (!!!).

200437338-001

E allora perché non siamo sbalorditi ogni volta che c’è un vincitore? Il vincitore è certamente sbalordito e ha il cuore che batte a mille. Ma vedete, quando il jackpot raggiunge cifre di centinaia di milioni, vengono vendute decine di milioni di biglietti. Quindi se decine di milioni di persone provano a fare qualcosa che ha una probabilità su 600 milioni di realizzarsi, verosimilmente qualcuno riuscirà nell'impresa. Se si fa un numero sufficientemente alto di tentativi si verificheranno anche eventi molto improbabili. Ma attenzione: la probabilità che qualcuno vinca non va confusa con la probabilità che sia tu a farlo. Che rimane sempre una su 622 milioni.

Intuito e probabilità

Sveliamo un’altra grande verità: una sestina di numeri consecutivi, per esempio {1, 2, 3, 4, 5, 6} ha esattamente la stessa probabilità di essere estratta di qualunque altra sestina.

Impossibile, direte voi, eppure le probabilità non mentono.

Cerchiamo di capire. Ogni numero che compone la sestina, ha la stessa probabilità degli altri numeri di essere pescato. Alla prima estrazione ogni numero ha 1/90 di probabilità, al secondo giro 1/89, al terzo 1/88, e così via fino ad aver estratto 6 numeri.

Ogni estrazione è indipendente dalla precedente. Sia che la sestina si composti da numeri casuali sia da numeri consecutivi. E questo perché il fenomeno è detto senza memoria: ciò che succede prima non può influenzare quello che avviene dopo.

Facciamo un esempio con il lancio di una moneta. La probabilità che esca una serie a caso come ad esempio

TESTA-CROCE-CROCE-TESTA-TESTA-CROCE

è la stessa della serie

TESTA-TESTA-TESTA-TESTA-TESTA-TESTA.

Infatti le probabilità nel primo caso sono (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)= 1/64

Ma anche nel secondo caso sono (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)= 1/64. Hai cioè 64 modi di disporre le monete su 6 lanci. E su 6 lanci ogni combinazione delle 64 possibili è equiprobabile. Altrimenti dovremmo supporre che la moneta sia truccata.

Per il superenalotto aumentano solo il numero delle cifre uscenti ma il discorso rimane lo stesso. Ma allora come mai a nessuno verrebbe mai in mente di giocare una sestina di numeri consecutivi? E perché non si ricordano estrazioni avvenute di tutti numeri consecutivi?

Qui il passaggio è delicato. Prestate attenzione.

Ipotizziamo di pescare il primo numero della sestina, pari ad x. Mi chiedo quale sia la probabilità di pescare alla seconda estrazione il suo successivo x+1.

pr-x1

In generale 1/89 è la probabilità di estrarre un qualsiasi numero definito y (con y≠x).

pr-y

Ma qual è la probabilità di estrarre un numero y diverso da x+1? Questa è pari a:

pr-ydivx

Quello che sto cercando di dirvi è che bisogna far attenzione a qual è l’oggetto della domanda.

Se la domanda è: “La sestina {14, 89, 4, 7, 25, 69} ha più probabilità di essere estratta della sestina {1, 2, 3, 4, 5, 6}?” la risposta è NO.

Se la domanda è: “E’ più probabile estrarre una sestina di numeri non consecutivi rispetto ad una con numeri consecutivi?” la risposta è SI'.

Di tutte le sestine possibili componibili con 90 numeri, solo 85 sono formate da numeri consecutivi. Quindi:

Pr-consecutivi

Altro tema ricorrente: qualsiasi giocatore del lotto, superenalotto e simili sa cosa sono i numeri ritardatari ed anzi, se si considera un professionista, probabilmente li segue e gioca solo numeri che non escono da molto. Ha senso farlo? No, non ha alcun senso giocare i numeri ritardatari credendo che abbiano più probabilità di uscire rispetto agli altri. Per quale motivo?

L'errore alla base di questo comportamento è da ricercarsi in un'errata applicazione della legge dei grandi numeri. La frase "A forza di giocare il 90 prima o poi esce" è vera solo considerando un altissimo numero di estrazioni. E' improbabile che, ad esempio, in 900 estrazioni il 90 non esca mai, ma non è impossibile. Potrebbe tranquillamente non uscire mai più. Questo perché, come già detto, ogni estrazione non è alcun modo legata alla precedente, è indipendente. Questo vuol dire che non ha alcun senso guardare quali numeri sono usciti il giorno, mese o anno precedente semplicemente perché questi eventi non hanno alcuna influenza sulla prossima estrazione.

Facciamo un esempio con la stessa moneta di prima per provare a dipanare meglio il concetto.

Se vi chiedessi di puntare 100€ sul fatto che, tirando 10 volte una moneta (non truccata) uscirà almeno una volta testa. Accettereste? Io credo proprio che la maggior parte di voi accetterebbero, in quanto anche senza essere esperti probabilisti intuireste che la probabilità che ciò accada è molto alta (99,9% per l'esattezza). Se invece mi vedeste tirare in aria 9 volte una moneta (non truccata) e venisse sempre testa, sareste disposti a puntare 100€ sull'uscita, nuovamente, di testa? Dato il risultato dei lanci precedenti, istintivamente saremmo propensi a ritenere l’evento “esce croce” più probabile. Invece le probabilità sono sempre il 50% che esca testa e il 50% che esca croce. Non importa quante volte ho tirato quella moneta, ad ogni nuovo lancio le probabilità che esca testa o croce sono sempre le stesse. Esattamente come se la moneta non fosse mai stata lanciata prima e veniste sfidati ad un semplice testa o croce.

Con la stessa logica, ha senso dire che prima o poi uscirà il 90, ma le probabilità di azzeccarlo sono uguali a quelle di ogni altro numero. Dire "gioco il 90 perché prima o poi esce" o dire "gioco un numero, anche diverso ogni volta, prima o poi lo becco" è la stessa cosa. Qualche volta, quando si tratta di stimare le probabilità, dobbiamo rieducare il nostro intuito.

A voler proprio essere sinceri, non giocare sarebbe la scelta più ovvia e sensata.

Tuttavia la vita non è sempre sensata e ancor meno che ovvia. Se è pur vero che il superenalotto è un gioco dalle ridicole probabilità di vittoria, è comunque eccitante giocare una schedina per poter fantasticare fino all'estrazione su come potrebbe, in un attimo, cambiare la nostra vita.

Ma per fare questo non serve altro che fortuna. Oppure, se volete essere certi di vincere, giocate tutte le 622 milioni sestine possibili.

“Mi è parso che in realtà il calcolo significhi molto poco e comunque non abbia affatto tutta l'importanza che gli attribuiscono molti giocatori. Certi se ne stanno lì seduti davanti a dei pezzi di carta rigata, segnano tutti i colpi, li contano, ne deducono le probabilità, fanno i loro calcoli e alla fine puntano e perdono proprio come noi, semplici mortali che giochiamo senza calcolare niente.”

(Il giocatore - Fëdor Dostoevskij)

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

Similar posts

1 commento

  1. Nicola's Gravatar Nicola
    maggio 13, 2018    

    Complimenti per la chiarezza espositiva dell'argomento trattato.

Lascia una risposta

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

È possibile utilizzare questi tag ed attributi XHTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Partecipa all’indagine “Io e la Matematica”

Clicca sull'immagine sottostante per rispondere al breve e anonimo questionario:

MIA15 - Nomination

Conviditi con i tuoi contatti questo link!

Canale Telegram dedicato alla Matematica

Iscriviti sul nostro canale Telegram

MIA15 - Nomination

Rimani aggiornato sui più interessanti articoli di divulgazione matematica e non solo!

Iscriviti alla nostra newsletter

Resta aggiornato sui nostri post e su quello che facciamo.

Seguici su Twitter

Tag Cloud

Grazie per il sostegno ai #MIA2015

Grazie a tutti per averci votato ai "Macchia Nera Awards 2015" nella categoria "Miglior Sito Tecnico-Divulgativo".

Siamo arrivati in finale grazie al vostro sostegno!

MIA15 - Nomination