Blog divulgativo sulla matematica applicata

Terra, Fuoco, Acqua, Aria e.. i solidi di Platone.

di A. Giannotta, P. Vergallo

 

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«… alla terra diamo la figura cubica; perché delle quattro specie la terra è la più immobile, e dei corpi il più plasmabile… e poi all’acqua la forma meno mobile delle altre (icosaedro), al fuoco la più mobile (tetraedro), e all’aria l’intermedia (ottaedro): e così il corpo più piccolo al fuoco, il più grande all’acqua, e l’intermedio all’aria, e inoltre il più acuto al fuoco, il secondo per acutezza all’aria, e il terzo all’acqua… Restava una quinta combinazione e il Demiurgo se ne giovò per decorare l’universo (dodecaedro) »

Con queste parole Platone descrive la composizione della natura che ci circonda restituendo alla geometria una visione armonica ed un posto privilegiato nella costruzione del Cosmo. Per il Demiurgo di Platone ogni elemento assume una particolare forma geometrica ed ogni cosa segue una regola matematica: tutto è in melodica sinfonia.
Il cubo, l'icosaedro, l'ottaedro, il tetraedro e il dodecaedro vengono qui presentate come le pietre costitutive della nostra realtà e meritano, quindi, un maggiore approfondimento. Gli studi sui poliedri regolari vennero avviati dalla scuola Pitagorica (di cui Platone fu allievo) e la scoperta delle principali proprietà matematiche si devono anche al matematico Teeteo che scrisse contemporaneamente alla stesura del Timeo di Platone.

Formalmente, un solido platonico è denominato in matematica poliedro regolare. La definizione tecnica di poliedro risulta un po' astrusa, ma con qualche semplice riflessione si può facilmente comprendere di cosa stiamo parlando.

Chiamiamo poliedro tridimensionale un sistema finito di poligoni giacenti su
piani distinti, posti in modo tale che in ogni spigolo si incontrino esattamente
due facce e che sia possibile passare da uno di tali poligoni a qualunque altro
esclusivamente oltrepassando spigoli

Intuitivamente, immaginiamo di prendere un insieme di poligoni e di posizionarli in modo tale che due di questi non si trovino mai sullo stesso piano. In seguito "avviciniamoli'' e ``uniamoli'' facendo coincidere esattamente due spigoli (non di più e non di meno) di due poligoni differenti senza mai "tagliare'' poligoni tra loro. Questo è un poliedro.
Possiamo davvero sbizzarrirci nel presentare esempi di poliedri, tanto in natura quanto in architettura o negli oggetti che troviamo quotidianamente intorno a noi. Sono poliedri i grattacieli, le pietre squadrate, i contenitori e le scatole delle più disparate forme.

milanoPer il caso specifico di solidi platonici, però, ci limitiamo nello scegliere solo poligoni regolari (con i lati uguali e gli angoli congruenti tra loro). In tal caso, poliedri come una domus romana (con il tipico patio centrale) sicuramente non è regolare poichè composto da rettagoli, o ancora, per lo stesso motivo, non lo è un grattacielo.
D'altro canto, il cubo è sicuramente un esempio di poliedro regolare.

Le origini di questa particolare famiglia di solidi sono molto antiche, infatti, vanno ricercate nella Grecia del IV secolo a.C. . Essi vengono definiti “platonici” in onore del filosofo e matematico Platone in quanto fu il primo a produrre una testimonianza scritta di tali solidi, nel dialogo denominato “Timeo”, di cui abbiamo letto uno straflcio poco fa.

L'idea di totale perfezione e armonia che suscitano i poliedri regolari ha scaturito un forte interesse, nel corso degli anni, da parte di molti artisti più o meno famosi.
I solidi Platonici occupano un posto privilegiato nell'arte rinascimentale, colpa forse dell'avvicinamento degli artisti allo studio della geometria, per introdurre concetti come la prospettiva, la luce e le proporzioni.
Fu Piero della Francesca nel trattato “De quinque corporibus regularibus” ad affermare in modo non matemfilesatico ma "artistico" che la realtà è costituita da oggetti di ogni forma ma, ognuno di essi, può essere ricondotto ad uno dei cinque poliedri regolari. Il testo fu tradotto in volgare da Fra Luca Pacioli con il titolo “Divina Proporzione” dove vennero inseriti i dipinti e raffiguravano i solidi platonici di Leonardo Da Vinci, il quale si occupò personalmente di studiarne le peculiarità. Ritroviamo i poliedri regolari anche molti anni più tardi nell' "Ultima cena" di Salvador Dalì, che si svolge interamente all'interno di un dodecaedro. Più recentemente incontriamo Lucio Zafferano che minuziosamente ha posto i solidi platonici al centro di ogni sua opera, tra queste è interessante ricordare "Monumento a Keplero''.

L'Últim_Sopar_(Dalí)

Una delle motivazioni che ha reso i solidi platonici fonte di ispirazione per molti artisti nel corso dei secoli è sicuramente stata la ricchezza di proprietà geometriche di questi particolari poliedri, che hanno giocato un ruolo primario di "venerazione'' sia dal punto di vista matematico che dal punto di vista più profondamente esoterico. Il legame che lo stesso Platone aveva riscontrato tra la natura e i poliedri regolari ha continuato a sviluppare nel tempo un'idea mistica del concetto di solido platonico: analogamente agli elementi che formano la natura, anche questi poliedri sono strettamente legati tra loro e, ancor più misteriosamente, sono gli unici possibili.

In effetti, proprietà come la dualità e l'esistenza di solo cinque tipi di solidi platonici hanno permesso a quest'aura divina di presentarsi come intrinseca in essi, come se il tetraedro, l'ottaedro, l'icosaedro, il dodecaedro e il cubo avessero effettivamente un'origine ultraterrena.
La dualità, in particolare, è una caratteristica di tutti i poliedri (anche se composti da poligoni irregolari), ma assume un aspetto più interessante se applicata a poliedri regolari.
Prima di analizzare la dualità nei solidi platonici cerchiamo di dare una breve definizione:
Dato un generico poliedro P, sappiamo che esso ha un determinato numero di vertici, spigoli e facce, definiamo, quindi, duale di P un poliedro avente:

  1.  Vertici: i baricentri delle facce di P;
  2. Spigoli: i segmenti che uniscono i baricentri delle facce di P;
  3. In modo molto più semplice e intuitivo possiamo definire duale del poliedro P come il poliedro ottenuto scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di P.

Naturalmente si può notare che il duale del duale P è P stesso.
Se proviamo a trovare il duale di un solido platonico possiamo osservare che esso è ancora un solido platonico infatti:

  1. Il duale del cubo è l’ottaedro e viceversa, infatti il cubo ha 6 facce ed 8 vertici mentre l'ottaedro ha 8 facce e 6 vertici;
  2. Il duale dell’icosaedro è il dodecaedro e viceversa, infatti l'icosaedro ha 20 facce e 12 vertici mentre il dodecaedro ha 12 facce e 20 vertici;
  3. Il duale del tetraedro è ancora un tetraedro poiché esso ha 4 facce e 4 vertici e quindi scambiando si ha ancora un tetraedro. Poiché ha questa particolare caratteristica esso è detto autoscale.

Allo stesso modo si può costruire il duale di un solido platonico congiungendo i baricentri di tutte le facce. Essendo queste uguali tra loro, il solido che generano sarà ancora composto da poligoni tutti della stessa forma (regolare).

Guardando con gli occhi di un chimico, i solidi platonici sono particolari configurazioni nello spazio degli atomi di una specifica molecola.
Ad esempio, il metano si può rappresentare graficamente tramite un tetraedro. In effetti, la sua composizione atomica è identificato dalla formula CH_4 ed è, pertanto, composto da quattro atomi di idrogeno posizionati in maniera equidistante da un atomo di carbonio al centro. Geometricamente si ha un assetto di tipo tetraedrico, come nell'immagine:

metano

Un altro caso emblematico è quello dell'esafluoruro di zolfo, avente formula bruta SF_6 e forma ottaedrica, come nell'immagine:
In questa molecola è chiaro come l'unico atomo di zolfo si debba posizionare al centro di una struttura avente sei vertici nei 6 atomi di fluoro posizionati da esso in maniera equidistante. L'unico poliedro di questa tipologia è regolare ed è l'ottaedro.

download

La motivazione chimica per cui gli atomi si dispongono in questa maniera la si ritrova nella presenza di cariche negative presenti sugli atomi ai vertici che si respingono tra loro, secondo un processo detto ingombro sterico. La posizione scelta è la più lontana possibile, vincolata però dal legame con l'atomo interno. In tal caso i vertici sono tutti giacenti su di una sfera avente raggio la distanza di un vertice dall'atomo centrale e centro in quest'ultimo.

Quando Platone parlò di poliedri regolari ne scelse esclusivamente cinque, identificandoli come già visto con cinque elementi presenti in natura. Per anni ci si chiese se questi fossero gli unici solidi plationici possibili o ve ne fossero degli altri.
12Pensandoci, a prima impressione, non sembra ci sia alcuna motivazione per cui un poliedro regolare costruito come nella definizione debba essere esclusivamente tra uno di questi cinque. Eppure, tentandoci, si può osservare che la costruzione di un solido platonico ``ulteriore'' risulta un'ardua impresa.
La questione è: siamo noi incapaci di trovarne degli altri o questi non esistono?
La natura vuole, in realtà, che Platone non si sbagliasse e che, per fortuna, vi sono solo cinque poliedri che soddisfano la definizione di solido platonico. In termini più mistici, possiamo assicurarci che non esistono altri elementi naturali che non conoscimento o almeno questi non saranno solidi platonici.

Dimostrazione unicità

(La lettura di questa sezione risulta unappendice più tecnica ma facilemnte comprensibile anche ad un pubblico non esperto)

Consideriamo, allora, un poliedro regolare P. Per definizione esso è composto da un numero F di poligoni regolari, da un numero V di vertici e da S spigoli. Ad esempio, un tetraedro ha 4 facce (F=4), 4 vertici (V=4) e 6 spigoli (S=6).
Non è difficile convincersi del fatto che se P è un poliedro regolare, su ogni vertice V giunge sempre lo stesso numero di spigoli. Chiamiamo questo numero n. Allo stesso modo, ogni faccia ha lo stesso numero r di lati (che è proprio il numero di lati del poligono regolare scelto). Ad esempio, nel caso del tetraedro ogni faccia ha 3 lati e ogni vertice ha 3 spigoli. Ricordando, infine, che ogni lato ha 2 vertici e che ogni spigolo ha 2 facce si ha:

V\cdot n=2S \quad \Rightarrow \quad V=\frac{2S}{n}
F\cdot r=2S\quad \Rightarrow \quad F=\frac{2S}{r}

Per i poliedri regolari vale poi la Formula di Eulero: F+V=S+2 anche nota con la formula ``Fatti Vedere Sabato alle 2''. Quindi sostituendo quanto trovato prima \frac{2S}{r}+\frac{2S}{n}=S+2 e dividendo per \frac{S}{2} si ha la formula: \frac{1}{S}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{r}
Per il loro significato geometrico vale sicuramente che r\geq 3 e n\geq 3 ma anche che essi non possono entrambi essere maggiori di 4. Se così fosse:

r\geq 4 \quad n\geq 4 \Rightarrow \frac{1}{r}\leq \frac{1}{4} \quad \frac{1}{n}\leq \frac{1}{4}

e quindi

\frac{1}{S}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{r}\leq \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=0

da cui si avrebbe un numero di spigoli S negativo.

Ne deduciamo che o r=3 oppure n=3.

Se r=3 allora

\frac{1}{S}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{6-n}{6n}>0

e quindi 6-n>0, cioè n=3, ,4, 5 e analogamente per n=3 r=3,4,5
Dalle varie combinazioni si hanno cinque casi differenti:

(3,3)\quad (3,4)\quad (3,5)\quad (4,3)\quad (5,3)

Ricordando che r è il numero di lati per faccia e n il numero di spigoli per vertice si hanno i cinque solidi platonici:

  1. r=3 e n=3 è il caso del tetraedro;
  2. r=3 e n=4 è il caso del cubo;
  3. r=3 e n=5 è il caso del dodecaedro;
  4. r=4 e n=3 è il caso dell'ottaedro;
  5. r=5 e n=3 è il caso dell'icosaedro.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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