Blog divulgativo sulla matematica applicata

L'eleganza del complesso: storie ed applicazioni di un'idea immaginaria

Alessio Giannotta - Pierandrea Vergallo

 

 

Alle prese con le radici. Paolo, povero studente delle scuole superiori, è alle prese con le prime equazioni di secondo grado della sua vita. Già l’esercizio

x^2+5x+6=0

lo disturba e gli si mette davanti con una serie di interrogativi senza risposta: che fare con la formula risolutiva? Perchè devo calcolare questo fatidico discriminante? E soprattutto, che succede nella matematica “vera” quando questo discriminante è negativo?

Ci hanno abituati fin dai primi anni di scuola a dire che non esiste la radice di un numero negativo e che, più in là, equazioni del tipo:

x^2=-1

non hanno soluzione. O ancora, che un numero elevato alla seconda non può essere negativo. Ma allora, a pensarci bene, per lo stesso motivo, non dovrebbe essere neanche valida la famosa formula di Elusero

e^{i\pi}=-1

E se vi dicessimo che esiste un “mondo matematico” non tanto lontano da quello che conosciamo in cui tutte le equazioni che abbiamo incontrato durante gli anni scolastici hanno soluzioni? Riuscite ad immaginare un insieme di numeri che permetta alla radice di -1 di esistere? Può davvero esserci, da qualche parte, questo mondo ideale dove tutto è così semplice?

Niccolo_TartagliaFu Niccolò Tartaglia, con l’introduzione delle formule risolutive di alcune equazioni, ad utilizzare, per la prima volta, le radici dei numeri negativi e a trattarle come se fossero numeri comuni, con dignità propria e un proprio modo di fare conti. In particolare, egli introdusse la radice di -1 e lo indicò con la lettera i. La scelta non fu totalmente casuale se consideriamo che tutti i numeri noti fino ad allora erano detti Reali e questi nuovi, in contrapposizione, vennero denominati Immaginari.

In realtà, di immaginario hanno ben poco, se consideriamo che la maggior parte della matematica e della fisica dall’ottocento fino ad ora ha fatto grossi passi avanti proprio grazie a questa famiglia di numeri. Che poi, a pensarci, persino quando maneggiamo lo stereo della nostra auto, giocando lì con bassi e volume, non facciamo altro che manipolare numeri immaginari, senza toccarli davvero. E’ come se questi abbiano la capacità di essere dovunque, proprio dove non ci aspettiamo, ma senza farsi riconoscere direttamente.

Facciamo un po’ di chiarezza. Iniziamo dicendo che se consideriamo tutti i numeri noti finora (già denominati numeri reali) e li “ampliamo” con tutti i numeri immaginari possibili otteniamo un insieme molto più grande, della seguente forma:

\mathbb{C}=\{a+ib\}

questo è detto insieme dei numeri complessi. In particolare, ritroviamo l’insieme dei Reali se consideriamo

\mathbb{R}=\{a+0i=a\}

e l’insieme degli immaginari come

I=\{0+ib=ib\}

Nell’insieme \mathbb{C}, quindi, ogni numero z è della seguente forma

 z=a+ib

e può essere visto come la somma di un numero reale a (detta la parte reale di z) e di uno immaginario ib (in cui b è detta la sua parte immaginaria e i è la famosa radice di -1 introdotta da Tartaglia).

Se prendiamo, allora, un piano cartesiano come quello della battaglia navale, basta porre lungo l’asse delle x la parte reale di z e lungo le y la sua parte immaginaria.

Schermata 2018-05-28 alle 23.13.55Questo è detto Piano di Gauss-Jordan.

Sfruttando un po’ di regole di tipo trigonometrico è sempre possibile esprimere un numero complesso z nella seguente forma:

z=\rho \cos(x)+i\rho \sin(x)

dove \rho è detto modulo di z ( la lunghezza del segmento OZ) e x è detta la sua fase (angolo tra l’asse reale e il suddetto segmento). Questa forma risulta del tutto equivalente a quella scelta in precedenza ed è anche detta la forma polare di z.

Ad esempio, il numero

z=1+i

può essere rappresentato nel grafico come segue:

Schermata 2018-05-28 alle 23.08.37

e trasformato in forma polare in questo modo:

z=\sqrt{2} cos(45)+i\sqrt{2} sin(45)

Un Teorema fondamentale.

Ritornando alla domanda che ci siamo posti in partenza: Chi ci assicura che ogni polinomio ammetta sempre soluzioni in questo mondo complesso?

Per convincerci interviene il teorema Fondamentale dell’Algebra, che in quest’ articolo ci limiteremo ad enunciare a causa della difficile dimostrazione.

Una delle prime formulazioni del teorema venne presentata nel 1629 nel libro L'invention en algebre di Albert Girard, senza però essere dimostrato. Una formulazione moderna dell’enunciato di Girard afferma che:

Ogni polinomio di grado n fissato possiede esattamente n radici nel campo complesso.

Diversi matematici si cimentarono nell’ardua imprese della presentazione di una sua dimostrazione. Curioso è il caso del famosissimo G. W. Leibniz che provò persino a smentire la verità  di questo risultato, sostenendo di aver trovato un semplice controesempio (l’equazione x^4+1=0) per il quale, a suo parere, il Teorema non era verificato. I matematici Bernoulli e Goldbach, dopo poco, lo bacchettarono smentendolo e sottolineando errori di calcolo evitabili nella sua falsa dimostrazione.

Tra i “positivi” che puntarono sulla validità del Teorema possiamo trovare personalità di spicco come Eulero, Lagrange e Laplace, ma soprattutto il principe dei matematici K. F. Gauss. Quest’ultimo fu il primo a pubblicare una dimostrazione corretta e degna di nota. A lui seguì la più formale verifica di J. R. Argan, un libraio svizzero.

F55CBDacciamo un piccolo esempio. Consideriamo il fatidico polinomio

x^2+1=0

quali sono le sue radici? Per quanto visto ci aspettiamo di trovarne esattamente due (poiché l’equazione è di secondo grado). Esse sono:

x_1=i   e  x_2=-i

In effetti, (i)^2+1=\sqrt -1^2+1=-1+1=0. E analogamente per la seconda radice.

Come calcolare la radice di un numero complesso?

Cercando un’analogia con il mondo “reale”, vogliamo ottenere un metodo di calcolo delle radici di un numero complesso. Al presentarsi di un numero (per il quale ha senso fare la radice) conosciamo il modo esatto che ci permette di trovare le radici, per fortuna anche per quanto riguarda il mondo complesso abbiamo un teorema che ci indica come trovare e come sono fatte le radici di un numero complesso.

Dato quindi z scritto in forma polare z={\rho}(cos{theta}+isen{theta}), e fissato un numero naturale n, siamo sicuri che esso ha n radici complesse e ognuna di esse sarà del tipo:

  w_k=\sqrt[n]{\rho}\cos{\frac{2k\pi+\theta}{n}}+i\sqrt[n]{\rho} \sin{\frac{2k\pi +\theta}{n}} 

per tutti i k che vanno da 0 a n-1.

Di seguito, l’esempio delle radici terze di di 8, soluzioni del polinomio complesso

x^3=8

Schermata 2018-05-30 alle 21.42.24

Notiamo, infatti, che all’aumentare di k ci spostiamo lungo la circonferenza di raggio \sqrt{\rho} di un angolo costante pari a \frac{2\pi}{n}.

Pertanto, tutti quei k (numeri naturali) superiori a n-1 si ripresentano sugli stessi punti già “toccati nel precedente giro”. In particolare, per k=n mi ritrovo nello stesso punto iniziale trovato per k=0.

Se siete diffidenti provate a calcolare le radici per i k maggiori di 2 ed osservate che il risultato sarà identico alla radice calcolata in k-3.

Collochiamo le radici sul piano.

Cosa succede allora se rappresentiamo le radici di un polinomio sull’ormai noto piano di Gauss? Dall’esempio precedente notiamo che nel polinomio di terzo grado le radici (anche dette soluzioni) si dispongono in maniera equidistante tra loro, con un’angolazione fissa di \frac{2\pi}{3}=120^0.Schermata 2018-05-30 alle 21.33.03

Nel caso, invece, delle radici quarte del numero 1, è possibile osservare che queste si dispongono come nel disegno seguente:

Schermata 2018-05-28 alle 23.27.24

in cui le radici rappresentate sono le soluzioni del polinomio:

x^4=1

In questo caso, invece, gli angoli al centro definiti dalle nostre radici sono di ampiezza pari a \frac{2\pi}{4}=360^0/4=90^0, come è chiaro nel precedente disegno.

Un’ultima verifica: davvero il polinomio di Leibniz non ha quattro radici complesse? Ricordiamo che il polinomio in questione è

x^4=-1

che, calcolando le quattro radici w_0, w_1, w_2 e w_3 può essere rappresentato nel seguente disegno:


IMG-20180705-WA0035

 

Osserviamo, quindi, che in ogni caso le radici n-esime di un numero complesso o reale che sia si dispongono sempre lungo una circonferenza di raggio fissato e sono “equidistanti” in angoli tra loro. Inoltre, abbiamo visto che tutti questi angoli sono tra loro congruenti e pari a \frac{2\pi}{n} che, scritto nei più consueti gradi, è pari a 360^0/n.

Unendo pertanto tutte le radici di un numero complesso queste formano un poligono di n lati che, magicamente, risulta proprio un poligono regolare!  

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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3 commenti

  1. Nicola Filipponio's Gravatar Nicola Filipponio
    luglio 15, 2018    

    Esposizione chiara e veramente divulgativa dell'argomento in particolare, e della matematica in generale. Complimenti. Un cenno andava fatto sul come calcolare il modulo di z.

  2. Lucio Russo's Gravatar Lucio Russo
    luglio 15, 2018    

    Alcune affermazioni sono veramente strane: ad esempio quella che Tartaglia abbia chiamato "immaginari" i numeri ancora detti così perché gli altri erano detti "reali" e abbia perciò usato l'abbreviazione i. Non è vero che Tartaglia abbia usato sistematicamente i numeri complessi. Egli riteneva che il suo procedimento di soluzione delle equazioni di terzo grado non potesse essere usato quando richiedeva di estrarre la radice quadrata di un numero negativo. Fu Bombelli il primo a usare sistematicamente i numeri complessi, ma neppure lui usò la notazione i per la radice quadrata di -1, che apparve per la prima volta in un lavoro postumo di Eulero (due secoli e mezzo dopo Tartaglia) e si impose nei lavori di Gauss. I numeri reali furono ovviamente chiamati così dopo l'inntroduzione degli immaginari e non prima. Mi fermo qui.

    • Pierandrea's Gravatar Pierandrea
      luglio 16, 2018    

      La ringrazio personalmente e a nome del secondo autore per averci lasciato un suo commento. Mi spiace che abbia potuto individuare questo errore nella nostra breve esposizione di un argomento che, anche dal punto di vista della sua evoluzione storica, meriterebbe ben più spazio di quello che abbiamo potuto dedicargli.
      Provvederemo a correggere la svista nella quale siamo incappati e la ringraziamo ulteriormente per le attente e sicuramente competenti osservazioni presentateci.

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